vol2_blu_rec_10 1..11

Scheda
10
A Ripasso
Scheda per il recupero 10
Circonferenza e cerchio
Circonferenza, cerchio e loro parti
DOMANDE
RISPOSTE
Che cos’è una
circonferenza?
È il luogo dei punti del piano equidistanti da un dato punto
detto centro.
Che cos’è il raggio di
una circonferenza?
Si chiama raggio sia la distanza costante dei punti della
circonferenza dal centro sia ogni segmento che congiunge il
centro con un punto della circonferenza.
Che cos’è un cerchio?
È la figura costituita dai punti di una circonferenza e da tutti
i suoi punti interni.
DISEGNO
onferenz
circ
a
io
centro
ragg
cerchio
Che cos’è un angolo al
centro?
È un angolo che ha il vertice nel centro di una circonferenza.
B
O
A
C
L’angolo al centro insiste sull’arco AB
Che cos’è un arco?
È la figura che si ottiene intersecando una circonferenza con
un suo angolo al centro.
arco AB
B
A
È la figura che si ottiene intersecando un cerchio con un suo
angolo al centro.
Quanti tipi di segmenti
circolari si possono
definire?
Due tipi:
1. Il segmento circolare a una base è la figura che si ottiene
intersecando un cerchio con un semipiano la cui origine
contiene una corda del cerchio;
settore
circolare
segmento circolare
a una base
2. Il segmento circolare a due basi è la figura che si ottiene
intersecando un cerchio con una striscia i cui lati
intersecano il cerchio.
segmento circolare
a due basi
La matematica a colori – Petrini f 2014 – De Agostini Scuola SpA – Novara
Che cos’è un settore
circolare?
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Scheda
10
Scheda per il recupero 10
A Ripasso
Circonferenza e cerchio
Corde e loro proprietà
DOMANDE
RISPOSTE
FIGURA
Che cos’è una corda?
Una corda è il segmento che
congiunge due punti di una
circonferenza.
Che cos’è un diametro?
Un diametro è una corda che passa
per il centro di una circonferenza.
Quali proprietà sussistono
circa le perpendicolari a
una corda passanti per
il centro della
circonferenza?
1. La retta perpendicolare a una
corda condotta dal centro
dimezza la corda.
2. La retta perpendicolare a una
corda passante per il suo punto
medio passa per il centro della
circonferenza.
rda
co
diamet
ro
O
r
OM ? AB
+
AM ffi MB
O
A
r ? AB, M 2 r
+
O2r
M
B
Quali relazioni sussistono
tra due corde e le rispettive
distanze dal centro?
Due corde sono congruenti se e
solo se hanno la stessa distanza dal
centro.
D
K
C
AB ffi CD
m
OH ffi OK
O
A
H
B
Quali relazioni sussistono
tra due archi e le corde
sottese?
Due archi sono congruenti se e solo
se lo sono le corde sottese.
D
C
AB ffi CD
m
C ffi CD
C
AB
A
B
DOMANDE
RISPOSTE
Quali posizioni reciproche possono
presentare una circonferenza
e una retta?
Sia r il raggio della circonferenza e d la distanza della retta dal centro.
Le posizioni reciproche sono le seguenti:
d>r
O
a
Quante tangenti si possono condurre a
una circonferenza da un suo punto?
d=r
O
r
retta esterna
b
La retta tangente a una circonferenza
di centro O in un suo punto T è unica
ed è la retta passante per T e
perpendicolare al raggio OT.
d<r
O
r
c
retta tangente
O
r
r
retta secante
T
,
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Retta e circonferenza
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Scheda
10
A Ripasso
Scheda per il recupero 10
Circonferenza e cerchio
,
Quante tangenti si possono condurre a
una circonferenza da un punto esterno?
Per un punto P esterno a una
circonferenza si possono condurre
due tangenti distinte:
detti A e B i punti di contatto, risulta:
PA ffi PB e PO è la bisettrice dell’angolo
APbB.
B
P
O
A
Posizione reciproca di due circonferenze
La tabella fa riferimento a due circonferenze di raggi r e r 0 , con r > r 0 .
CIRCONFERENZE
Esterne
RELAZIONI TRA RAGGI E DISTANZE FRA I CENTRI
0
OO > r þ r
DISEGNO
0
O
Tangenti
esternamente
r
r
T
r'
O'
r r 0 < OO0 < r þ r 0
r
O
A
B
r'
O'
OO0 ffi r r 0
O r
O' r'
Interne
T
OO0 < r r 0
O rA
B
O' r'
Concentriche
circonferenze interne, con O O0
O ≡ O'
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Tangenti
internamente
O'
OO0 ffi r þ r 0
O
Secanti
r'
P Q
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Scheda
10
A Ripasso
Scheda per il recupero 10
Circonferenza e cerchio
Angoli alla circonferenza e relazioni con gli angoli al centro
DOMANDE
RISPOSTE
Che cos’è un angolo alla
circonferenza?
È un angolo convesso che ha
il vertice su una
circonferenza e i due lati o
entrambi secanti la
circonferenza, oppure uno
secante e uno tangente la
circonferenza.
ESEMPI
C
B
C
B
A
A
Entrambi i lati secanti
Un lato secante
e uno tangente
C
Entrambi gli angoli insistono sull’arco AC
Che cosa significa che un
angolo al centro e un angolo
alla circonferenza sono
corrispondenti?
Quale relazione sussiste tra
un angolo alla circonferenza
e il suo corrispondente
angolo al centro?
Significa che insistono sullo
stesso arco.
Quali conseguenze si
possono trarre
dalla relazione tra un angolo
alla circonferenza
e il suo corrispondente
angolo al centro?
Tutti gli angoli alla
circonferenza che insistono
sullo stesso arco sono
congruenti.
B
O
Ogni angolo alla
circonferenza è la metà del
corrispondente angolo al
centro.
R
Q
P
Q
B
O
O
A
B
P
R
A
bB ffi ARbB
APbB ffi AQ
P'
se e solo se sono
congruenti le corde
sottese agli archi;
se e solo se sono
congruenti gli angoli alla
circonferenza (o al centro)
che insistono su quegli
archi.
1 b
AOB
2
A
Due archi sono congruenti:
oppure
AVbB ffi
bB ¼ ARbB ¼ 90
APbB ¼ AQ
A'
P
AB ffi A0 B 0
m
C ffi A0 B 0
AB
m
bB 0
bB ffi A0 O
AO
m
APbB ffi A0 Pb0 B 0
C
O
A
B
B'
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Ogni angolo alla
circonferenza che insiste su
una semicirconferenza è
retto.
Quali relazioni sussistono
tra archi, corde sottese
e angoli al centro o alla
circonferenza che insistono
su quegli archi?
V
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Scheda
10
Scheda per il recupero 10
B Verifica delle conoscenze
Circonferenza e cerchio
Vero o falso?
1
la circonferenza è un sottoinsieme del cerchio
V
F
2
sia la circonferenza sia il cerchio sono figure convesse
V
F
3
ogni settore circolare è una figura convessa
V
F
4
ogni segmento circolare è una figura convessa
V
F
5
ogni raggio di una circonferenza è minore del diametro
V
F
6
due circonferenze sono congruenti se e solo se hanno lo stesso raggio
V
F
[4 affermazioni sono vere e 2 false]
Completa.
7
Il cerchio è il luogo dei punti del piano la cui distanza da un punto O è ....................................................... .
8 Quanti assi di simmetria ha una circonferenza?
simmetria? .........................
.........................
E un cerchio?
..............................
Quali sono questi assi di
Facendo riferimento alla circonferenza di centro O nella figura qui sotto, completa scrivendo, a fianco di ciascun
simbolo, il termine corrispondente:
B
C
Arco;
a. AB
A
9
b. OC
.......... ;
c. AD
.......... ;
C
d. ACD
.......... .
O
D
C
10 La circonferenza è una figura convessa o concava? :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
11 Facendo riferimento alla figura dell’esercizio 9, scrivi il nome relativo a ciascuna delle figure descritte qui di seguito.
a. La parte di circonferenza compresa tra A e D, a cui appartiene B: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::.
b. Il segmento che ha per estremi O e D: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::.
c. La parte di cerchio limitata da AB e dal minore dei due archi che hanno estremi in A e B: :::::::::::::::.
C e BD
C compresi fra le corde AB e CD: ::::::::::::::::::::::::::::::.
d. La parte di cerchio limitata da AB, CD e dagli archi AC
12 Siano A, B e C tre punti allineati. Per quale ragione non esiste un punto equidistante da A, B e C?
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
13 La retta perpendicolare a una corda e passante per il suo punto medio è :::::::::::::::::::::::::::::: della corda.
14 Se la distanza di una retta dal centro di una circonferenza è 3 cm e la retta è tangente alla circonferenza, qual è la
lunghezza del raggio della circonferenza? :::::::::::::::
15 Se una circonferenza ha diametro di 6 cm e la distanza di una retta dal centro della circonferenza è 4 cm, qual è la
posizione della retta rispetto alla circonferenza? :::::::::::::::::::::::::::::::::::
16 Per quale ragione la retta passante per il punto medio di una corda e perpendicolare alla corda passa per il centro
della circonferenza? :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
17 Quanti punti d’intersezione possono avere al massimo una retta e una circonferenza? :::::::::::::::
18 Se una retta ha in comune con una circonferenza due punti coincidenti, essa si dice :::::::::::::::::::::::::::::::::::.
19 Se due circonferenze sono tangenti esternamente, come risulta la distanza dei loro centri rispetto ai raggi delle due
circonferenze?:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: E se le due circonferenze sono tangenti internamente? ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
20 Un angolo alla circonferenza è ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::.
21 Un angolo al centro è ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::.
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C : ::::::::::::::::::::.
e. La parte di cerchio limitata dai due segmenti OC, OD e dal minore dei due archi CD
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Scheda
10
Scheda per il recupero 10
B Verifica delle conoscenze
Circonferenza e cerchio
22 Completa la seguente tabella.
Disegna tre angoli alla circonferenza
corrispondenti all’angolo al centro
disegnato qui sotto.
Disegna l’angolo al centro
corrispondente all’angolo alla
circonferenza disegnato qui sotto.
Disegna due angoli alla circonferenza
corrispondenti all’angolo al centro
disegnato qui sotto.
O
O
O
Test
23 Quante circonferenze passano per due punti distinti A e B?
A
Una sola
B
Due
C
Infinite
D
Può non esistere alcuna circonferenza che passa per A e B
24 Quante circonferenze passano per tre punti distinti A, B e C non allineati?
A
Una sola
B
Due
C
Infinite
D
Può non esistere alcuna circonferenza che passa per A, B e C
25 Una retta dista 10 cm dal centro di una circonferenza di diametro 20 cm; come risulta la retta rispetto alla circonferenza?
Secante
B
Tangente
C
Esterna
D
Le informazioni non sono sufficienti per stabilirlo
26 Dato un angolo alla circonferenza, quanti sono gli angoli al centro che insistono sullo stesso arco su cui insiste l’angolo alla circonferenza?
A
Uno e uno solo
B
Due
C
Infiniti
D
Può non esisterne alcuno
27 Dato un angolo al centro, quanti sono gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco su cui insiste l’angolo al centro?
A
Uno e uno solo
B
Due
C
Infiniti
D
Può non esisterne alcuno
28 L’ampiezza di un angolo alla circonferenza è 110 ; qual è l’ampiezza del corrispondente angolo al centro?
A
50
B
55
C
60
D
220
29 Considera un punto P su una circonferenza di diametro AB, diverso da A e da B. Cosa si può dire del triangolo APB?
A
È certamente isoscele
B
È certamente scaleno
C
È certamente rettangolo
D
Nessuna delle precedenti risposte è corretta
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A
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Scheda
10
Scheda per il recupero 10
C Esercizi guidati
Circonferenza e cerchio
Nella figura qui a fianco costruisci la circonferenza che passa per A, B e C (circoscritta ad ABC), seguendo i seguenti passi.
1
a.
b.
c.
d.
A
Traccia l’asse di AC.
Traccia l’asse di BC.
Qual è il centro della circonferenza che passa per A, B e C? ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Traccia tale circonferenza.
B
C ffi BC
C.
Fai riferimento alla figura qui a fianco, in cui ABCD è un trapezio e AD
C ffi BC
C puoi dedurre che AD ffi ::::::::::, poiché :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: .
a. Dall’ipotesi che AD
b. Quindi il trapezio ABCD è ::::::::::::::::::::::::: .
c. In particolare, si può dedurre che AC ffi :::::::::: , poiché ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: .
C
D
2
A
C
B
Fai riferimento alla figura qui a fianco, in cui AB e CD sono due corde congruenti della circonferenza di centro O e
P è il punto in cui si incontrano i prolungamenti di AB e CD.
3
4 Nella figura qui a fianco le semirette PB e PC sono tangenti alla circonferenza di centro O in B e C e a quella di centro O 0 in A e D. Completa:
B
A
perché :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::;
PB ffi ::::::::::
P
O
O'
PA ffi ::::::::::
perché :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::;
r
AB ffi CD
perché ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: .
D
PO è la bisettrice dell’angolo BPbC e PO0 è la bisettrice dell’angolo
C
0
:::::::::::::::::::: . Poiché PO e PO sono bisettrici dello stesso angolo e la bisettrice di un angolo è unica, P, O e O0 sono :::::::::::::::::::::::::::::::::::: chiamiamo r la
retta a cui appartengono.
e. Il triangolo PBC è ::::::::::::::: sulla base BC poiché PB ffi ::::::::::; dal momento che in un triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è anche ::::::::::::::::::::, si deduce che r ? :::::::::::::::::::: . Ragionando analogamente si può dire che :::::::::: ? AD:
ma allora BC k ::::::::::, poiché BC e AD sono ::::::::::::::::::::::::: alla stessa retta.
f. Da quanto dedotto in c. e in e. puoi concludere che il quadrilatero ABCD è un ::::::::::::::::::::::::: .
a.
b.
c.
d.
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a. Congiungi O con P e indica con H e K le proiezioni di O, rispettivamente, su AB e CD.
b. I due triangoli rettangoli OHP e OKP hanno OP in comune e OH ffi :::::::::: perché corde congruenti hanno::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::, quindi sono congruenti in base al:
B
primo criterio di congruenza
A
secondo criterio di congruenza
terzo criterio di congruenza
P
O
criterio di congruenza dei triangoli rettangoli
D
In particolare:
C
PH ffi ::::::::::
c. Poiché OH e OK sono, per costruzione, le perpendicolari alle corde AB e CD condotte da O, i punti H e K sono i punti
medi delle corde ::::::::::::::::::::::::::::::. Quindi puoi concludere che:
AH ffi DK
perché
corde che hanno la stessa distanza dal centro sono congruenti
differenze di corde congruenti
metà di corde congruenti
d. Tenendo conto di quanto dimostrato ai passi a. e b. e osservando che:
PA ffi PH ::::::::::
e
PD ffi PK ::::::::::
puoi concludere che:
PA ffi ::::::::::
perché
corde che hanno la stessa distanza dal centro sono congruenti
differenze di segmenti congruenti
metà di corde congruenti
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Scheda
10
Scheda per il recupero 10
C Esercizi guidati
Circonferenza e cerchio
Nella figura qui a fianco P è un punto esterno alla circonferenza, da cui sono state tracciate la tangenti alla circonferenza. Tali tangenti, che incontrano la circonferenza rispettivamente in A e B, sono perpendicolari.
5
P
B
A
a. Congiungi O con i punti di contatto A e B delle tangenti con la circonferenza.
Come risultano gli angoli del quadrilatero OAPB? ......................... Perché? ...............................
O
b. Da quanto osservato nel punto a. risulta che il quadrilatero OAPB è un rettangolo. Ma tale rettangolo ha due lati consecutivi congruenti (infatti OA ffi OB, in quanto OA e OB sono ..................................................), quindi OAPB è un .................................................. .
c. In base a quanto dimostrato nel punto precedente completa il seguente enunciato: «se le tangenti condotte da un
punto esterno a una circonferenza sono perpendicolari, i segmenti di tangente sono congruenti al ................................... della circonferenza».
Nella figura qui a fianco, le due circonferenze di centri O e O 0 sono tangenti
esternamente in T. È stata tracciata una retta passante per T, che incontra le due
circonferenze, rispettivamente, in P e Q. Completa le seguenti deduzioni.
6
P
a. Congiungi O e O0 con T e traccia la tangente comune t in T alle due cirO
O'
T
conferenze. Come risultano i raggi OT e O 0 T rispetto a tale tangente?
0
:::::::::::::::::::::::::::::::::::. Perché si può dire che O, T e O sono allineati?
b
b
b. OP T ffi PT O
perché :::::::::::::::::::::::::::::::::::;
Q
P TbO ffi Q TbO0
perché :::::::::::::::::::::::::::::::::::;
b O0
Q TbO0 ffi T Q
perché ::::::::::::::::::::::::::::::::::: .
Ne segue, per la proprietà transitiva della congruenza, che ::::::::::::::::::::::::::::::. Quindi le rette OP e O0 Q sono ::::::::::::::::::::, poiché
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: .
c. Che tipo di quadrilatero è POQO 0 ? ::::::::::::::::::::::::::::::::::: Come devono essere le due circonferenze perché POQO 0 sia un
parallelogramma? ::::::::::::::::::::::::: .
7 Osserva la figura qui sotto. Due circonferenze secanti si intersecano in A e B. Abbiamo tracciato il diametro BC della
circonferenza di centro O e il diametro BD della circonferenza di centro O0 .
A
C
O
D
O'
bB? .........................................
a. Come risulta l’angolo CA
b
b. Come risulta l’angolo BAD? .........................................
c. Come risultano i punti A, C e D? ..............................
Perché? ...................................................................................................................
Perché? ...................................................................................................................
Perché? ....................................................................................................................
Nella figura qui a fianco AB è un diametro della circonferenza di centro O.
bC è:
a. L’ampiezza di BA
180 :::::::::: :::::::::: ¼ :::::::::::::::
b. AC è tangente alla circonferenza?
Sı̀
No
perché ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
c. Nella figura, traccia la corda AP. Che cosa si può dire dell’angolo BPbA?
È acuto
È retto
È ottuso
Questo perché BPbA è un angolo che insiste su una :::::::::::::::::::::::::::::::::::.
bP è:
d. L’ampiezza di BA
180 :::::::::: :::::::::: ¼ :::::::::::::::
bP è l’angolo al centro corrispondente di ::::::::::::::::::::, quindi:
e. AO
b
AOP ffi 2 :::::::::::::::
bP è allora :::::::::::::::::::::::::::::::::::.
L’ampiezza di AO
bP è l’angolo al centro corrispondente di ::::::::::::::::::::, quindi:
f. BO
bP ffi 2 :::::::::::::::
AO
bP è allora :::::::::::::::::::::::::::::::::::.
L’ampiezza di BO
8
A
O
55°
B
P
36°
C
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B
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Scheda
9
10
Scheda per il recupero 10
C Esercizi guidati
Circonferenza e cerchio
Facendo riferimento alla figura qui sotto, completa le seguenti affermazioni:
D
P
A
C
B
a. APbB ffi DPbC perché :::::::::::::::::::::::::::::: .
bD perché entrambi insistono sull’arco :::::::::: .
b. ABbD ffi AC
b
b
c. BAC ffi BDC perché ::::::::::::::::::::::::::::::::::: .
Contrassegna nella figura con lo stesso simbolo gli angoli che abbiamo appena osservato essere congruenti. Che cosa
puoi concludere dei triangoli APB e DPC? :::::::::::::::::::::::::::::::::::
bC ¼ e BO
bD ¼ 2.
10 Facendo riferimento alla figura qui sotto, in cui AO
Determina, in funzione di , le ampiezze degli angoli seguenti.
1
perché :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: .
a. P BbC ¼ 2
bD ¼ :::::::::::::::
b. BC
perché :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: .
P
A
c. Poiché, per il teorema dell’angolo esterno applicato al triangolo PCB è:
bD ffi :::::::::: þ ::::::::::
BC
Ne puoi dedurre l’ampiezza di BPbC:
BPbC ¼ ::::::::::::::::::::::::::::::
Dalle relazioni ricavate, si può dedurre che il triangolo PCB è :::::::::::::::::::::::::::::: .
Scheda
10
C
B
α
O
2α
D
D Esercizi da svolgere
L’angolo somma di un angolo alla circonferenza e del corrispondente angolo al centro ha ampiezza 240 . Determina l’ampiezza di ciascuno dei due angoli.
[160 , 80 ]
2
3 Due circonferenze sono tangenti esternamente, il raggio di una delle due è lungo 4 cm e la distanza fra i centri delle
due circonferenze è di 10 cm. Qual è la lunghezza del raggio dell’altra circonferenza?
[6 cm]
4 Due circonferenze sono tangenti internamente, il raggio di una delle due è 2 cm e la distanza fra i centri delle due circonferenze è di 1 cm. Qual è la lunghezza del raggio dell’altra circonferenza?
(Attenzione: ci sono due possibili soluzioni!) [1 cm o 3 cm]
bC. Applicando il teorema dell’an5 Fai riferimento alla figura sotto e determina l’ampiezza di AEbB e l’ampiezza di EB
b
golo esterno al triangolo AEB, deduci infine qual è l’ampiezza di EAB.
[35 ]
E
D
A
O
30°
B
100°
C
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Un arco di circonferenza è un nono dell’intera circonferenza. Qual è l’ampiezza di un angolo alla circonferenza che
insiste su tale arco?
[20 ]
1
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Scheda
10
Scheda per il recupero 10
Circonferenza e cerchio
D Esercizi da svolgere
Sia AB una corda di una circonferenza. Per il centro della circonferenza conduci la retta perpendicolare ad AB, che
incontra la circonferenza in C e D. Dimostra che i triangoli ABC e ABD sono isosceli e che i triangoli ACD e BCD sono
congruenti.
6
7 Nella figura qui sotto, O è il centro della circonferenza e AOB è un triangolo isoscele sulla base AB. Dimostra che
AC ffi DB.
O
A
C
D
B
8 Sia AB un diametro e CD una corda di una circonferenza di centro O. Indica con H e K le proiezioni di A e B, rispettivamente, sulla retta CD e dimostra che:
a. OH ffi OK
b. HC ffi DK
(Suggerimento: traccia da O la perpendicolare a CD e ricorda il piccolo teorema di Talete)
Nella figura qui a fianco i lati AB, BC e AC del triangolo ABC sono tangenti alla circonfeb. Dimostra che BQ ffi QC.
renza, rispettivamente in P, Q e R; inoltre Bb ffi C
9
A
P
B
R
Q
10 Due circonferenze, di centri O e O0 , sono secanti in A e B. Dimostra che OO0 è perpendi-
colare ad AB.
C
11 Due circonferenze sono concentriche. Una corda AB, della circonferenza di raggio maggiore, è tangente alla circonfe-
renza di raggio minore in T. Dimostra che AT ffi BT.
A
12 Nella figura qui a fianco le due circonferenze di centri O e O0 sono con-
gruenti e si intersecano nei punti A e B.
C nella circonferenza di centro O è congruente
a. Dimostra che l’arco AB
C
all’arco AB della circonferenza di centro O0 .
O
b. Dimostra che il triangolo APQ è isoscele.
Q
O'
B
P
A
13 Nella figura qui a fianco BC è un diametro della circonferenza di centro O e AD è
B
una corda perpendicolare a BC. Dimostra che il triangolo ABC e il triangolo DEC hanno gli angoli ordinatamente congruenti.
D
O
C ffi AD
C.
guono sulla circonferenza in quest’ordine). Dimostra che BC
C
(Suggerimento: ricorda che, se due angoli alla circonferenza sono congruenti, lo sono anche gli archi su cui insistono)
15 Sia AB una corda di una circonferenza di centro O. Considera su tale corda due punti C e D tali che AC ffi DB. Dimo-
stra che COD è un triangolo isoscele sulla base CD.
16 Considera due circonferenze esterne di centri O e O0 . Una retta t è tangente alla circonferenza di centro O in A e alla
bP ffi BO
b0 P.
circonferenza di centro O0 in B. Inoltre la retta t incontra la retta OO0 in P. Dimostra che AO
17 In una semicirconferenza di diametro AB e centro O, sia AC una corda e OD il raggio parallelo alla corda. Dimostra
C ffi BD
C.
che CD
bC incontra la circonferenza nel
18 Siano AB e AC due corde di una stessa circonferenza. La bisettrice dell’angolo BA
punto P. Traccia la corda PQ, parallela alla corda AB, e dimostra che PQ ffi AC.
19 Sia AB un diametro di una circonferenza e AC una sua corda. Prolunga AC, dalla parte di C, di un segmento CD congruente ad AC e dimostra che il triangolo ABD è isoscele.
20 Data una circonferenza di centro O, sia AB una sua corda. Traccia la tangente in A alla circonferenza. Considera su
tale tangente il punto T, appartenente al semipiano avente come origine la retta AB che contiene O, tale che AT ffi AB.
Indica con P il punto d’intersezione della retta BT con la circonferenza e dimostra che il triangolo APT è isoscele sulla base AT.
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14 Disegna in una circonferenza due corde parallele AB e CD (A, B, C e D si susse-
E
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Scheda
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Scheda per il recupero 10
D Esercizi da svolgere
Circonferenza e cerchio
21 Sia A un punto di una circonferenza di centro O. Traccia due corde distinte, AB e AC, della circonferenza e indica con
P e Q i loro punti medi. Indica con R il punto medio del raggio AO e dimostra che i segmenti RP e RQ sono congruenti.
(Suggerimento: può essere utile tracciare i raggi OB e OC)
22 Scrivi l’enunciato del teorema che ha come modello la figura qui a fianco
e l’ipotesi e la tesi indicate qui sotto. Poi dimostra il teorema.
IPOTESI:
TESI:
circonferenza di centro O;
AB?CD, O 2 AB, P 2 AB,
fQ g ¼ AB \ CD
PC ffi PD
C
A
P
O
B
Q
D
23 Scrivi l’enunciato del teorema che ha come modello la figura qui a fianco
e l’ipotesi e la tesi indicate qui sotto. Poi dimostra il teorema.
IPOTESI:
AB ffi DC; AC \ BD ¼ fPg
TESI:
AC ffi DB
B
C
P
A
24 Nella figura qui sotto, O è il centro della circonferenza e AB ffi BD. Dimostra che BPbD ffi
D
1
bB A O
bCÞ.
ðAO
2
(Suggerimento: congiungi A con D)
D
O
B
C
A
P
α
θ
β
γ
δ
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La matematica a colori – Petrini f 2014 – De Agostini Scuola SpA – Novara
25 Quanto vale la somma delle ampiezze degli angoli , , , , ?
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