Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica
Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni
Anno Accademico 2007/08
Programma di Complementi di Matematica / Analisi
A.Capozzi
Funzioni di variabile complessa
Il campo dei numeri complessi. Funzioni di variabile complessa. Definizione di ez , sinz, cosz, sihz, coshz tangz,
tanghz, logz, zμ . Funzioni olomorfe. Teorema di Cauchy-Riemann. Integrale di una funzione complessa di variabile
reale. Integrale di una funzione complessa di variabile complessa. Lemma di Darboux. Teorema di Cauchy-Goursat.
Prima formula di Cauchy. Seconda formula di Cauchy. Primitive delle funzioni complesse. Condizione necessaria e
sufficiente per l’esistenza di primitive. Teorema di Morera. Serie di potenze. Analiticità delle funzioni olomorfe.
Sviluppo in serie di potenze di ez , sinz, cosz, sihz, coshz tangz, log(z+1). La serie di Laurent. Zeri di una funzione
olomorfa e loro caratterizzazione. Principio di identità delle funzioni olomorfe. Singolarità isolate delle funzioni
olomorfe e loro caratterizzazione. Teorema di Picard. Teorema di Casorati. Il punto all’infinito. Residui al finito.
Residui all’infinito. Calcolo dei residui nei poli del primo ordine. Calcolo dei residui nei poli multipli. Il teorema dei
residui. Applicazioni del teorema dei residui. Calcolo di integrali di linea con il metodo dei residui. Calcolo degli
integrali di funzioni del tipo F(cost, sent). Valore principale dell’integrale. Relazione tra integrale di Lebesgue, integrale
improprio e valore principale. Lemmi di Jordan. Calcolo del valore principale dell’integrale per mezzo del teorema dei
residui. Calcolo di integrali impropri di funzioni razionali con il metodo dei residui. Scomposizione in fratti semplici.
Cenni sulle trasformazioni conformi.
Equazioni differenziali alle derivate parziali.
Generalità. Equazioni lineari del II ordine. Classificazione. Equazioni tipo e problemi associati. Il problema di Cauchy.
Caratteristiche. Generalità sui problemi al contorno. Nozione di problema ben posto. Problemi di unicità. Cenni su
problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace nel cerchio, proprietà delle funzioni armoniche, problema di CauchyDirichlet per l’equazione del calore, problema della corda vibrante con estremi fissi.
Trasformata di Fourier.
Spazi vettoriali e spazi normati. Funzioni lineari e continue. Prodotto scalare. Cenni sull'integrazione astratta. Funzioni
misurabili. L'integrale di Lebesgue. Insiemi di misura nulla e misure complete. Spazi Lp. Prodotto di convoluzione.
Trasformata di Fourier in L1. Trasformata di Fourier in L2. Esempi e applicazioni. Distribuzioni. Derivazione nel senso
delle distribuzioni. Trasformata di Fourier di distribuzioni.
Dimostrazioni dei teoremi : 3.3.1 – 3.5.1 – 3.5.2 – 3.5.3 – 3.9.1 – 3.9.2 – 3.9.3 – 3.10.1 – 3.10.3 – 3.13.1 – 3.13.2 ,
teorema di immersione per gli spazi Lp , teorema di invertibilità della trasformazione di Fourier in L2 .
Testo di riferimento:
G. Di Fazio , M. Frasca, Metodi Matematici per l’Ingegneria, Monduzzi Ed.
Altri testi di riferimento:
M. Codegone, Metodi Matematici per l’Ingegneria, Zanichelli Ed.
C.D. Pagani , S. Salsa, Analisi Matematica, volume 2, Masson