Applicazioni della MATEMATICA all’ECONOMIA Schema riassuntivo Legge della domanda Le variabili utilizzate sono: x quantità richiesta di un bene (i cui valori vengono riportati sull’asse verticale) p prezzo unitario (i cui valori vengono riportati sull’asse orizzontale) Attraverso rilevazioni statistiche si trovano vari tipi di funzioni della domanda, tutte decrescenti: □ lineare x a bp ; □ parabolica x x a bp 2 ; □ iperbolica x a b ; □ esponenziale x a e bp ; □ pc a p L’inversa della funzione domanda è la funzione del prezzo, anch’essa decrescente, che si ottiene ricavando p in funzione di x; ad es. data x 80 4 p si può ricavare p 20 x . 4 Indico con : p p 2 p 1 la variazione assoluta del prezzo; x x 2 x 1 la variazione assoluta della domanda; p 2 p1 p1 la variazione relativa del prezzo; Si definisce coefficiente di elasticità della domanda e = x2 x1 x1 la variazione relativa della domanda. x2 x1 p 2 p1 p1 x1 ; esso permette di valutare come il mercato reagisce alla variazione di prezzo di un determinato bene. Possiamo avere tre casi: e>1 domanda elastica, in cui la variazione relativa della domanda è maggiore della variazione del prezzo; è il caso dei beni voluttuari; e=1 domanda anelastica; e<1 domanda rigida: è il caso, ad esempio, dei beni di prima necessità. Il coefficiente di elasticità ora definito si chiama anche elasticità d’arco. Se la legge della domanda è espressa da una funzione continua e derivabile è possibile considerare l’elasticità puntuale della domanda in un punto p, definita quando p 2 p 1 , cioè quando p 0 ; anch’essa si indica con e = p ' f ( p). x Legge dell’offerta Utilizziamo le grandezze p e x come in precedenza, ma con un diverso significato, in quanto x indica la quantità di un bene offerta sul mercato. Si hanno diverse leggi dell’offerta, funzioni crescenti o non decrescenti: □ lineare x a bp ; □ x a bp ; □ x a p b . Se si ricava p in funzione di x in questo caso si trova la funzione di produzione. Si può calcolare il coefficiente di elasticità dell’offerta seguendo lo stesso procedimento di quello della domanda. Equilibrio tra domanda e offerta In condizioni di libera concorrenza, conoscendo le leggi della domanda e dell’offerta è possibile determinare il prezzo di equilibrio, con la corrispondente quantità domandata e offerta, risolvendo il sistema formato dalle due equazioni corrispondenti. Di questo problema è possibile fornire una rappresentazione grafica. Costi di produzione Si considerano i costi fissi, indipendenti dalla quantità prodotta, ed i costi variabili. Si considera la funzione costo totale, sempre crescente, y C( x) dove con y indichiamo il costo e con x la quantità di merce prodotta. Ponendo x 0 si ottengono i costi fissi C(0) . Si possono presentare i seguenti tipi di funzioni costo più diffuse: □ lineare y ax b ; □ parabolica y ax 2 bx c di cui si considera il ramo crescente; □ y kex . Definiamo la funzione costo medio come oppure come ym C( x 2 ) C( x 1 ) x 2 x1 ym C( x) x , che tiene conto della totalità della merce prodotta, che fa riferimento al passaggio dalla produzione x 1 alla produzione x 2 . Col termine costo marginale intendiamo il costo relativo ad una unità addizionale di prodotto ed è definito dalla funzione yma C( x 1) C( x) . Ricavi e utili di produzione Nel caso di libera concorrenza abbiamo che il ricavo dalla vendita di una quantità x di merce è rappresentato dalla funzione R( x) p x ; in regime di monopolio il prezzo unitario è funzione della quantità venduta, p f ( x) , quindi R( x) f ( x) x . Costo Marginale E’ la derivata prima del costo totale, cioè C'( x) . Ricavo marginale E’ la derivata prima del ricavo totale, cioè R'( x) . Utile netto E’ rappresentato dalla funzione y R( x) C( x) . Per determinare la quantità x di merce prodotta (e quindi venduta) che consente il massimo utile y occorre trovare y' 0 , cioè R'( x) C'( x) 0 . Esercizi proposti . p; 1) La domanda e l’offerta di un bene economico sono espresse dalle seguenti funzioni: f ( p) 20 01 g( p) 4 0.3 p . Rappresentare graficamente le due funzioni e determinare il prezzo di equilibrio e la corrispondente quantità domandata e offerta. 2) La domanda e l’offerta di un bene sono espresse dalle seguenti funzioni: f ( p) 17 p p 1 ; g ( p) p 3 . Determinare graficamente e analiticamente il prezzo di equilibrio e la corrispondente quantità domandata e offerta. Calcola quanto valgono l’elasticità della domanda e l’elasticità dell’offerta nel punto di equilibrio. 3) La domanda e l’offerta di un bene sono espresse dalle seguenti funzioni: f ( p) 60000 20 p ; g( p) 2500 5 p . Determinare il prezzo di equilibrio e la corrispondente quantità domandata e offerta. Dopo un certo tempo le funzioni cambiano. Determinare le nuove funzioni, sapendo che l’equilibrio si ottiene allo stesso prezzo, mentre la corrispondente quantità domandata e offerta risulta superiore del 20% alla precedente. Fare inoltre la rappresentazione grafica. 4) La domanda e l’offerta di un bene sono espresse dalle seguenti funzioni: f ( p) 1200000 p ; g( p) 900 3 p . Determinare graficamente e analiticamente il prezzo di equilibrio e la corrispondente quantità. La funzione dell’offerta muta nella seguente: g( p) 1800 3 p . Determinare il nuovo prezzo di equilibrio e la corrispondente quantità. 5) Per la produzione di una merce un’impresa sostiene i seguenti costi: - una spesa fissa settimanale di 600 euro; - una spesa per materie prime di lavorazione di 2.50 euro per ogni Kg prodotto. La capacità massima produttiva è di 300 Kg alla settimana. Determinare e rappresentare graficamente le funzioni del costo totale, del costo unitario e del costo marginale. Ricavare inoltre per quale quantità il costo unitario è minimo. 6) Per la produzione di una merce un’impresa sostiene i seguenti costi: - una spesa fissa settimanale di 5.000 euro; - un costo di 2 euro per ogni unità prodotta; - una spesa per la manutenzione degli impianti pari al 10% del quadrato delle quantità prodotte. Si chiede di: a) determinare e rappresentare graficamente le funzioni del costo unitario e del costo marginale, nell’ipotesi che la massima capacità produttiva mensile sia di 35.000 unità; b) determinare per quale quantità si ottiene il massimo utile se il prezzo unitario di vendita è di 5 euro e quali sono i limiti di produzione per non essere in perdita. 7) Un’impresa sostiene per la produzione le seguenti spese: - una spesa fissa mensile di 5.000 euro; - un costo variabile di 1,50 euro per ogni unità prodotta; - una spesa pari al 10% del quadrato delle quantità prodotte: Il prezzo di vendita del prodotto è di 3 euro. Determinare le funzioni del costo totale, del costo unitario, del ricavo e del guadagno. Calcolare per quale quantità il costo unitario è minimo, per quali quantità il ricavo supera il costo e per quale quantità il guadagno risulta massimo. 8) Se C( x) 3x 4 è la funzione costo allora il costo marginale è yma ......