Applicazioni della Matematica all`Economia

Applicazioni della MATEMATICA all’ECONOMIA
Schema riassuntivo
Legge della domanda
Le variabili utilizzate sono: x quantità richiesta di un bene (i cui valori vengono riportati sull’asse verticale)
p prezzo unitario
(i cui valori vengono riportati sull’asse orizzontale)
Attraverso rilevazioni statistiche si trovano vari tipi di funzioni della domanda, tutte decrescenti:
□ lineare x  a  bp ; □ parabolica
x
x  a  bp 2 ; □ iperbolica x 
a
 b ; □ esponenziale x  a  e  bp ; □
pc
a
p
L’inversa della funzione domanda è la funzione del prezzo, anch’essa decrescente, che si ottiene ricavando p in funzione
di x; ad es. data x  80  4 p si può ricavare p  20 
x
.
4
Indico con : p  p 2  p 1 la variazione assoluta del prezzo; x  x 2  x 1 la variazione assoluta della domanda;
p 2  p1
p1
la variazione relativa del prezzo;
Si definisce coefficiente di elasticità della domanda e =
x2 x1
x1
la variazione relativa della domanda.
x2  x1
p 2  p1

p1
x1
; esso permette di valutare come il mercato
reagisce alla variazione di prezzo di un determinato bene. Possiamo avere tre casi:
e>1 domanda elastica, in cui la variazione relativa della domanda è maggiore della variazione del prezzo;
è il caso dei beni voluttuari;
e=1 domanda anelastica;
e<1 domanda rigida: è il caso, ad esempio, dei beni di prima necessità.
Il coefficiente di elasticità ora definito si chiama anche elasticità d’arco.
Se la legge della domanda è espressa da una funzione continua e derivabile è possibile considerare l’elasticità puntuale
della domanda in un punto p, definita quando p 2  p 1 , cioè quando p  0 ; anch’essa si indica con e
=
p '
 f ( p).
x
Legge dell’offerta
Utilizziamo le grandezze p e x come in precedenza, ma con un diverso significato, in quanto x indica la quantità
di un bene offerta sul mercato. Si hanno diverse leggi dell’offerta, funzioni crescenti o non decrescenti:
□ lineare x  a  bp ; □
x  a  bp ; □ x  a  p  b .
Se si ricava p in funzione di x in questo caso si trova la funzione di produzione.
Si può calcolare il coefficiente di elasticità dell’offerta seguendo lo stesso procedimento di quello della domanda.
Equilibrio tra domanda e offerta
In condizioni di libera concorrenza, conoscendo le leggi della domanda e dell’offerta è possibile determinare il
prezzo di equilibrio, con la corrispondente quantità domandata e offerta, risolvendo il sistema formato dalle
due equazioni corrispondenti. Di questo problema è possibile fornire una rappresentazione grafica.
Costi di produzione
Si considerano i costi fissi, indipendenti dalla quantità prodotta, ed i costi variabili. Si considera la funzione
costo totale, sempre crescente, y  C( x) dove con y indichiamo il costo e con x la quantità di merce prodotta.
Ponendo x  0 si ottengono i costi fissi C(0) . Si possono presentare i seguenti tipi di funzioni costo più diffuse:
□ lineare y  ax  b ; □ parabolica y  ax 2  bx  c di cui si considera il ramo crescente; □ y  kex .
Definiamo la funzione costo medio come
oppure come ym 
C( x 2 )  C( x 1 )
x 2  x1
ym 
C( x)
x
, che tiene conto della totalità della merce prodotta,
che fa riferimento al passaggio dalla produzione x 1 alla produzione x 2 .
Col termine costo marginale intendiamo il costo relativo ad una unità addizionale di prodotto ed è definito
dalla funzione yma  C( x  1)  C( x) .
Ricavi e utili di produzione
Nel caso di libera concorrenza abbiamo che il ricavo dalla vendita di una quantità x di merce è rappresentato
dalla funzione R( x)  p  x ; in regime di monopolio il prezzo unitario è funzione della quantità venduta, p  f ( x) ,
quindi R( x)  f ( x)  x .
Costo Marginale E’ la derivata prima del costo totale, cioè C'( x) .
Ricavo marginale E’ la derivata prima del ricavo totale, cioè R'( x) .
Utile netto
E’ rappresentato dalla funzione y  R( x)  C( x) .
Per determinare la quantità x di merce prodotta (e quindi venduta) che consente il massimo utile y occorre
trovare y' 0 , cioè R'( x)  C'( x)  0 .
Esercizi proposti
. p;
1) La domanda e l’offerta di un bene economico sono espresse dalle seguenti funzioni: f ( p)  20  01
g( p)  4  0.3 p . Rappresentare graficamente le due funzioni e determinare il prezzo di equilibrio e la
corrispondente quantità domandata e offerta.
2) La domanda e l’offerta di un bene sono espresse dalle seguenti funzioni:
f ( p) 
17  p
p 1
; g ( p)  p  3 .
Determinare graficamente e analiticamente il prezzo di equilibrio e la corrispondente quantità domandata e
offerta. Calcola quanto valgono l’elasticità della domanda e l’elasticità dell’offerta nel punto di equilibrio.
3) La domanda e l’offerta di un bene sono espresse dalle seguenti funzioni: f ( p)  60000  20 p ; g( p)  2500  5 p .
Determinare il prezzo di equilibrio e la corrispondente quantità domandata e offerta.
Dopo un certo tempo le funzioni cambiano.
Determinare le nuove funzioni, sapendo che l’equilibrio si ottiene allo stesso prezzo, mentre la corrispondente
quantità domandata e offerta risulta superiore del 20% alla precedente. Fare inoltre la rappresentazione grafica.
4) La domanda e l’offerta di un bene sono espresse dalle seguenti funzioni:
f ( p) 
1200000
p
; g( p)  900  3 p .
Determinare graficamente e analiticamente il prezzo di equilibrio e la corrispondente quantità.
La funzione dell’offerta muta nella seguente: g( p)  1800  3 p .
Determinare il nuovo prezzo di equilibrio e la corrispondente quantità.
5) Per la produzione di una merce un’impresa sostiene i seguenti costi:
- una spesa fissa settimanale di 600 euro;
- una spesa per materie prime di lavorazione di 2.50 euro per ogni Kg prodotto.
La capacità massima produttiva è di 300 Kg alla settimana.
Determinare e rappresentare graficamente le funzioni del costo totale, del costo unitario e del costo marginale.
Ricavare inoltre per quale quantità il costo unitario è minimo.
6) Per la produzione di una merce un’impresa sostiene i seguenti costi:
- una spesa fissa settimanale di 5.000 euro;
- un costo di 2 euro per ogni unità prodotta;
- una spesa per la manutenzione degli impianti pari al 10% del quadrato delle quantità prodotte.
Si chiede di:
a) determinare e rappresentare graficamente le funzioni del costo unitario e del costo marginale,
nell’ipotesi che la massima capacità produttiva mensile sia di 35.000 unità;
b) determinare per quale quantità si ottiene il massimo utile se il prezzo unitario di vendita è di 5 euro
e quali sono i limiti di produzione per non essere in perdita.
7) Un’impresa sostiene per la produzione le seguenti spese:
- una spesa fissa mensile di 5.000 euro;
- un costo variabile di 1,50 euro per ogni unità prodotta;
- una spesa pari al 10% del quadrato delle quantità prodotte:
Il prezzo di vendita del prodotto è di 3 euro.
Determinare le funzioni del costo totale, del costo unitario, del ricavo e del guadagno.
Calcolare per quale quantità il costo unitario è minimo, per quali quantità il ricavo supera il costo
e per quale quantità il guadagno risulta massimo.
8)
Se C( x)  3x  4 è la funzione costo allora il costo marginale è yma ......