DISPENSE DI GEOMETRIA

ISTITUTO
DI
ISTRUZIONE
SUPERIORE
“ L E O P O L D O
P I R E L L I ”
DISPENSE DI GEOMETRIA
CON COSTRUZIONI GEOMETRICHE IN GEOGEBRA
PARTE PRIMA
I PRIMI ELEMENTI
Prof. Emanuela Botta
A.S. 2011/2012
Dispense di geometria – parte prima
prof. Botta
pag. 1
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Ogni costruzione geometrica presentata è corredata dalle nozioni di base di geometria euclidea cui fa riferimento, per cui l’insieme
delle costruzioni costituisce una sintetica dispensa del modulo di geometria relativo al primo anno del corso delle scuole superiori.
La dispensa non è esaustiva e deve essere integrata dalle lezioni in classe o in laboratorio.
Il protocollo di costruzione allegato a ciascuna costruzione è la guida per gli studenti per la realizzazione in autonomia della stessa
costruzione.
Avvertenza: le costruzioni debbono essere effettuate senza tenere conto delle coordinate specifiche dei punti o delle equazioni
assegnate per le rette poiché si costruisce sul piano libero, privo di assi cartesiani, in cui non è stato introdotto il concetto di misura,
come quando si effettuano le classiche costruzioni con riga e compasso.
Dispense di geometria – parte prima
prof. Botta
pag. 2
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COSTRUZIONE 1: ENTI PRIMITIVI E ASSIOMI
Dispense di geometria – parte prima
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pag. 3
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Protocollo di costruzione 1 – Enti primitivi e assiomi
N.
Nome
Comando
Valore
1 Punto A
A = (-1.64, 5.24)
2 Testo testo1
testo1 = "PUNTO: è un ente primitivo, e non ha dimensioni"
3 Punto B
B = (-2.42, 3.95)
4 Punto C
C = (0.06, 3.93)
5 Retta a
Retta[B, C]
a: 0.02x + 2.48y = 9.75
6 Testo testo2
testo2 = "RETTA: è un ente primitivo, ha una sola dimensione, è illimitata, densa e ordinata.
Le rette individuano tutte le direzioni dello spazio."
7 Testo testo3
testo3 = "L'ambiente in cui lavoreremo è il PIANO, lo spazio è costituito da infiniti piani.
Il piano può essere rappresentato come un rettangolo o un parallelogramma che immaginiamo
infinitamente esteso."
8 Punto D
D = (-3.72, 2.14)
9 Punto E
E = (-3.72, 0.94)
10 Punto F
F = (-1.48, 0.92)
11 Punto G
G = (-1.48, 2.16)
12 Quadrilatero
α
Poligono[D, E, F, G]
α = 2.73
12 Segmento d
Segmento[D, E, α]
d = 1.2
12 Segmento e
Segmento[E, F, α]
e = 2.24
12 Segmento f
Segmento[F, G, α]
f = 1.24
12 Segmento g
Segmento[G, D, α]
g = 2.24
13 Punto H
H = (-0.24, 0.59)
14 Punto I
I = (-1.16, -0.55)
15 Punto J
J = (2.4, -0.51)
16 Punto K
K = (3.26, 0.65)
17 Quadrilatero
β
Poligono[H, I, J, K]
β = 4.02
17 Segmento h
Segmento[H, I, β]
h = 1.46
17 Segmento i
Segmento[I, J, β]
i = 3.56
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pag. 4
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17 Segmento j
Segmento[J, K, β]
j = 1.44
17 Segmento k
Segmento[K, H, β]
k = 3.5
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18 Testo testo4
testo4 = "ENTI PRIMITIVI E ASSIOMI"
19 Testo testo5
testo5 = "ASSIOMA DI INCIDENZA: Per due punti distinti passa una ed una sola retta."
20 Punto L
L = (-2.94, -2.26)
21 Punto M
M = (0.36, -2.26)
22 Retta b
Retta[L, M]
b: y = -2.26
23 Punto N
N = (0.26, -2.98)
24 Punto O
O = (-0.48, -7.14)
25 Punto P
P = (3.27, -7.14)
26 Retta c
Retta[O, P]
27 Punto Q
28 Retta l
c: y = -7.14
Q = (-0.46, -6.44)
Retta[Q, P]
l: 0.7x + 3.73y = -24.32
29 Testo testo6
testo6 = "RETTE INCIDENTI: hanno al più un punto in comune."
30 Testo testo7
testo7 = "Data una retta, esiste almeno un punto al di fuori di essa"
31 Testo testo8
testo8 = "ASSIOMA: dati una retta ed un punto fuori di essa esiste una ed una sola retta passante
per il punto e parallela alla retta data."
32 Punto R
R = (-3.89, -4.8)
33 Punto S
S = (2.64, -4.82)
34 Retta m
Retta[R, S]
35 Punto T
36 Retta n
m: 0.02x + 6.54y = -31.45
T = (-1, -4.23)
Retta[T, m]
37 Testo testo9
n: 0.02x + 6.54y = -27.69
testo9 = "RETTE PARALLELE: giacciono sullo stesso piano e non hanno alcun punto in comune."
APPUNTI…
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pag. 5
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Definizione 1: chiameremo assioma una proposizione che non richiede di essere dimostrata poiché ci appare evidentemente
vera.
Definizione 2: chiameremo teorema una proposizione che per accertare la verità della quale è necessaria una dimostrazione.
Il teorema (thm) è articolato in tre parti:
- Ipotesi (hp): l’insieme delle affermazioni che assumiamo come vere; nell’enunciato del teorema è usualmente preceduto
dal “se…”.
- Tesi (th): l’insieme delle affermazioni che dobbiamo dimostrare, delle quali vogliamo accertare la verità.
- Dimostrazione (dim): l’insieme dei passaggi logici, di induzione o deduzione, che ci consentono di andare dall’ipotesi alla
tesi.
In alcuni casi daremo una dimostrazione formale dei teoremi, in altri casi ne daremo una dimostrazione intuitiva o pratica
attraverso opportune costruzioni geometriche, come vedremo nei primi teoremi sulla retta (cfr. Thm 1 e Thm 2 ).
Osservazione: avrai notato che nell’assioma 2 si usa la scrittura “…una ed una sola…”:
“Dati una retta ed un punto fuori di essa esiste una ed una sola retta passante per il punto e parallela alla retta data”.
Soffermiamoci un momento ad osservare che questa espressione non vuole essere semplicemente un rafforzativo ma ha un
significato ben preciso: il primo “una” ci dice infatti che la retta esiste, cioè che ve ne è almeno una, il secondo “ed una sola” ci
dice che tale retta è unica, cioè non ve ne sono altre.
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pag. 6
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COSTRUZIONE 2: PRIMI TEOREMI SULLA RETTA
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pag. 7
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Protocollo di costruzione 2 – Primi teoremi sulle rette
N.
Nome
Definizione
Valore
1 Punto A
A = (-0.48, 3.66)
2 Punto B
B = (6.16, 3.64)
3 Retta a
Retta per A e B
a: 0.02x + 6.64y = 24.29
4 Punto C
Punto medio tra A e B
C = (2.84, 3.65)
5 Punto D
Punto medio tra C e B
D = (4.5, 3.65)
6 Punto E
Punto medio tra D e B
E = (5.33, 3.64)
7 Punto F
Punto medio tra E e B
F = (5.75, 3.64)
8 Punto G
Punto medio tra F e B
G = (5.95, 3.64)
9 Testo
testo1
testo1 = "Teorema 1: la retta è densa e su di essa vi sono infiniti punti.
Lo dimostriamo costruendo la successione dei punti medi."
10 Testo
testo2
testo2 = "Teorema 2: Per ogni punto del piano passano infinite rette.
Lo dimostriamo congiungendo il punto dato con gli infiniti punti di una retta."
11 Punto H
H = (-0.4, -0.8)
12 Punto I
I = (-1.82, -3.66)
13 Punto J
J = (7, -3.68)
14 Retta b
Retta per I e J
b: 0.02x + 8.82y = -32.32
15 Retta c
Retta per H e J
c: 2.88x + 7.4y = -7.07
16 Retta d
Retta per H e I
d: 2.86x - 1.42y = 0
17 Punto K
Punto medio tra I e J
K = (2.59, -3.67)
18 Retta e
Retta per H e K
e: 2.87x + 2.99y = -3.54
19 Punto L
Punto medio tra I e K
L = (0.39, -3.67)
20 Retta f
Retta per H e L
f: 2.87x + 0.79y = -1.77
COSTRUZIONE 3: SEMIRETTE E SEGMENTI
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pag. 8
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Protocollo di costruzione 3 – Semirette e segmenti
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pag. 9
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Nome
Definizione
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Valore
1 Punto A
A = (1.26, 2.82)
2 Punto B
B = (6.42, 2.8)
3 Retta a
Retta per A e B
a: 0.02x + 5.16y = 14.58
4 Semiretta b
Semiretta per A e
B
b: 0.02x + 5.16y = 14.58
5 Testo testo1
testo1 = "SEMIRETTA: Ciascuna delle due parti in cui una retta resta divisa da ciascuno dei suoi punti."
6 Punto C
C = (-0.86, 0.1)
7 Punto D
D = (4.1, 0.06)
8 Retta c
Retta per C e D
c: 0.04x + 4.96y = 0.46
9 Segmento d
Segmento [C, D]
d = 4.96
10 Testo testo2
testo2 = "SEGMENTO: L'insieme dei punti che stanno fra A e B, compresi A e B."
11 Punto E
E = (-2.32, -4.32)
12 Punto F
F = (-0.42, -2.6)
13 Segmento e
Segmento [E, F]
14 Punto G
15 Segmento f
e = 2.56
G = (2.94, -5.4)
Segmento [F, G]
f = 4.37
16 Testo testo3
testo3 = "SEGMENTI CONSECUTIVI: hanno un estremo in comune."
17 Punto H
H = (9.12, -7.16)
18 Punto I
I = (11.88, -7.16)
19 Segmento g
Segmento [H, I]
20 Punto J
21 Segmento h
J = (14.96, -7.18)
Segmento [I, J]
22 Testo testo4
23 Retta i
g = 2.76
h = 3.08
testo4 = "SEGMENTI ADIACENTI: Hanno un estremo in comune e giacciono sulla stessa retta.
Lo verifico tracciando la retta passante per H e J."
Retta per H e J
i: 0.02x + 5.84y = -41.63
24 Punto K
K = (-1.8, 5.38)
25 Punto L
L = (5.14, 5.4)
26 Retta j
Retta per K e L
27 Testo testo5
Dispense di geometria – parte prima
j: -0.02x + 6.94y = 37.37
testo5 = "ASSIOMA DI PARTIZIONE DEL PIANO: Ogni retta divide il piano in due parti distinte dette
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SEMIPIANI."
28 Punto M
M = (-0.76, 5.98)
29 Punto N
N = (0.78, 4.9)
APPUNTI…
Abbiamo già visto in algebra la distinzione fra insiemi discreti, come l’insieme dei numeri naturali, densi, come l’insieme dei
numeri razionali, e continui come l’insieme dei numeri reali. Per comprenderne intuitivamente il significato abbiamo paragonato
l’insieme ad un recipiente che viene riempito aggiungendo gradualmente sostanze diverse: se lo riempiamo con palline da golf
osserviamo che fra esse restano evidenti spazi “vuoti” che non è possibile occupare con altre palline da golf, un insieme come
questo viene detto discreto; se aggiungiamo della sabbia essa colmerà gli spazi vuoti e si compatterà, sarà allora difficile
osservare gli spazi fra un granello e l’altro, che non possono essere riempiti con la sabbia, e il recipiente sembrerà pieno, questa
è un’approssimazione dell’idea di insieme denso; infine possiamo osservare che se versiamo nel recipiente dell’acqua essa
riuscirà ad infiltrarsi fra la sabbia fino a colmare il recipiente non lasciando più spazi vuoti, questa è un’approssimazione
dell’idea di insieme continuo.
COSTRUZIONE 4: ANGOLI
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pag. 11
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Protocollo di costruzione 4 – Angoli
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pag. 12
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Nome
Definizione
1 Testo
testo1
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Valore
testo1 = "ANGOLI
SI DICE ANGOLO LA PARTE DI PIANO DELIMITATA DA DUE SEMIRETTE AVENTI LA STESSA
ORIGINE.
DUE SEMIRETTE INDIVIDUANO SEMPRE DUE ANGOLI, GENERALMENTE UNO CONVESSO ED UNO
CONCAVO."
2 Punto A
A = (2.18, -0.32)
3 Punto B
B = (6.72, 1.04)
4 Semiretta a Semiretta per A e B
a: -1.36x + 4.54y = -4.42
5 Punto C
C = (6.86, -2.3)
6 Semiretta b Semiretta per A e C
b: 1.98x + 4.68y = 2.82
7 Angolo α
Angolo tra C, A, B
α = 39.61°
8 Angolo β
Angolo tra B, A, C
β = 320.39°
9 Testo
testo2
testo2 = "ANGOLO CONVESSO"
10 Testo
testo3
testo3 = "ANGOLO CONCAVO"
11 Testo
testo4
testo4 = "CASI PARTICOLARI: SE LE DUE SEMIRETTE SONO OPPOSTE SI FORMANO DUE ANGOLI
PIATTI.
SE LE DUE SEMIRETTE COINCIDONO SI FORMANO UN ANGOLO GIRO E UN ANGOLO NULLO."
12 Punto D
D = (-0.48, -5.68)
13 Punto E
E = (2.82, -5.68)
14 Retta c
Retta per D e E
c: y = -5.68
15 Punto F
Punto su c
F = (-3.3, -5.68)
16 Angolo γ
Angolo tra E, D, F
γ = 180°
17 Angolo δ
Angolo tra F, D, E
δ = 180°
18 Punto G
G = (-0.66, -7.92)
19 Punto H
H = (2.44, -7.92)
20 Semiretta d Semiretta per G e H
d: y = -7.92
21 Punto I
I = (3.24, -7.92)
Punto su d
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pag. 13
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22 Semiretta e Semiretta per G e I
e: y = -7.92
23 Angolo ε
Angolo tra I, G, H
ε = 0°
24 Angolo ζ
Angolo tra H, G, I
ζ = 360°
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APPUNTI…
Gli angoli sono dunque figure piane illimitate, dobbiamo cioè immaginarli infinitamente estesi come il piano, in contrapposizione
con figure piane limitate, dotate di frontiera e costituite da una linea chiusa e da tutti i punti del piano che essa racchiude.
Sia per gli angoli sia per le figure piane distingueremo fra figura concava e figura convessa.
Definizione 3: diremo che una figura piana è concava se in essa vi è almeno una coppia di punti per unire i quali con un segmento
è necessario uscire dalla figura stessa.
Definizione 4: diremo che una figura piana è convessa se comunque presi due suoi punti è possibile unirli con un segmento
interamente contenuto nella figura stessa.
COSTRUZIONE 5: ANGOLI CONSECUTIVI E ANGOLI ADIACENTI
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pag. 15
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Protocollo di costruzione 5 – Angoli
N.
Nome
Definizione
Valore
1 Testo testo1
testo1 = "DUE ANGOLI AVENTI UN LATO ED IL VERTICE IN COMUNE SI DICONO CONSECUTIVI.
SE DUE ANGOLI CONSECUTIVI HANNO I LATI NON COMUNI SU SEMIRETTE OPPOSTE SI DICONO
ADIACENTI."
2 Punto A
A = (0.42, 1.24)
3 Punto B
B = (3.12, 2.42)
4 Semiretta a
Semiretta per A e
B
5 Punto C
6 Semiretta b
a: -1.18x + 2.7y = 2.85
C = (4.26, 1.26)
Semiretta per A e
C
7 Punto D
b: -0.02x + 3.84y = 4.75
D = (5.68, -0.04)
8 Semiretta c
Semiretta per A e
D
c: 1.28x + 5.26y = 7.06
9 Angolo α
Angolo tra D, A, C α = 13.98°
10 Angolo β
Angolo tra C, A, B β = 23.31°
11 Punto E
E = (-2.24, -4.94)
12 Punto F
F = (4.24, -4.88)
13 Retta d
Retta per E e F
d: -0.06x + 6.48y = -31.88
14 Punto G
Punto su d
G = (0.9, -4.91)
15 Punto H
H = (3.5, -3.22)
16 Semiretta e
Semiretta per G e
H
e: -1.69x + 2.6y = -14.29
17 Angolo γ
Angolo tra F, G, H γ = 32.51°
18 Angolo δ
Angolo tra H, G, E δ = 147.49°
19 Testo testo2
testo2 = "CONSECUTIVI"
20 Testo testo3
testo3 = "ADIACENTI"
21 Testo testo4
testo4 = "EVIDENTEMENTE LA SOMMA DI DUE ANGOLI CONSECUTIVI E' UN ANGOLO PIATTO."
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pag. 16
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Esegui le costruzioni richieste.
1. Disegna un angolo convesso α e un angolo concavo β aventi lo stesso vertice e tali che:
a. Abbiano intersezione vuota;
b. Siano uno contenuto nell’altro;
c. Abbiano come intersezione un angolo ottuso;
d. Abbiano come unione l’angolo giro.
2. Disegna due angoli concavi che abbiano come intersezione un angolo piatto e due angoli convessi che abbiano come unione
un angolo piatto.
COSTRUZIONE 6: CONGRUENZA
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Protocollo di costruzione 6 – Congruenza
N.
Nome
Definizione
Valore
1 Testo testo1
testo1 = "CONGRUENZA"
2 Testo testo2
testo2 = "Si dice che due figure piane sono congruenti se sovrapposte tramite un
movimento rigido esse combaciano.
Figure congruenti hanno la stessa forma e le stesse dimensioni.
La congruenza è una relazione di equivalenza tra figure essa gode infatti delle
seguenti proprietà:
1. RIFLESSIVA: ogni figura è congruente a se stessa;
2. SIMMETRICA: se F è congruente a F' allora F' è congruente a F;
3. TRANSITIVA: se F è congruente a F' e F' è congruente a F'' allora F è congruente
a F''.
Esempi di movimenti rigidi sono le traslazioni e le simmetrie:"
3 Punto A
A = (-1.6, 1.18)
4 Punto B
B = (-2.68, -0.2)
5 Punto C
C = (0.58, -0.22)
6 Triangolo poli1
Poligono A, B, C
poli1 = 2.26
6 Segmento c
Segmento [A, B] di Triangolo poli1
c = 1.75
6 Segmento a
Segmento [B, C] di Triangolo poli1
a = 3.26
6 Segmento b
Segmento [C, A] di Triangolo poli1
b = 2.59
7 Punto D
D = (-2.72, -1.18)
8 Punto E
E = (4.84, -1.16)
9 Vettore u
Vettore[D, E]
u = (7.56, 0.02)
10 Punto A'
Traslazione di A di u
A' = (5.96, 1.2)
11 Punto B'
Traslazione di B di u
B' = (4.88, -0.18)
12 Punto C'
Traslazione di C di u
C' = (8.14, -0.2)
13 Triangolo poli1'
Poligono A', B', C'
poli1' = 2.26
13 Segmento c'
Segmento [A', B'] di Triangolo poli1'
c' = 1.75
13 Segmento a'
Segmento [B', C'] di Triangolo poli1'
a' = 3.26
13 Segmento b'
Segmento [C', A'] di Triangolo poli1'
b' = 2.59
14 Punto F
Dispense di geometria – parte prima
F = (-1.66, -3.42)
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pag. 19
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15 Punto G
G = (1.18, -3.82)
16 Punto H
H = (4.86, -3.04)
17 Punto I
I = (3.18, -2.46)
18 Quadrilatero
poli2
Poligono F, G, H, I
poli2 = 4.05
18 Segmento f
Segmento [F, G] di Quadrilatero poli2
f = 2.87
18 Segmento g
Segmento [G, H] di Quadrilatero poli2
g = 3.76
18 Segmento h
Segmento [H, I] di Quadrilatero poli2
h = 1.78
18 Segmento i
Segmento [I, F] di Quadrilatero poli2
i = 4.93
19 Punto J
J = (-3.06, -5.38)
20 Punto K
K = (3.68, -5.38)
21 Retta d
Retta per J e K
d: y = -5.38
22 Punto F'
F trasformato rispetto a d
F' = (-1.66, -7.34)
23 Punto G'
G trasformato rispetto a d
G' = (1.18, -6.94)
24 Punto H'
H trasformato rispetto a d
H' = (4.86, -7.72)
25 Punto I'
I trasformato rispetto a d
I' = (3.18, -8.3)
26 Quadrilatero
poli2'
Poligono F', G', H', I'
poli2' = 4.05
26 Segmento f'
Segmento [F', G'] di Quadrilatero poli2' f' = 2.87
26 Segmento g'
Segmento [G', H'] di Quadrilatero poli2' g' = 3.76
26 Segmento h'
Segmento [H', I'] di Quadrilatero poli2'
h' = 1.78
26 Segmento i'
Segmento [I', F'] di Quadrilatero poli2'
i' = 4.93
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27 Testo testo3
testo3 = "TRASLAZIONE"
28 Testo testo4
testo4 = "SIMMETRIA RISPETTO AD UNA RETTA"
COSTRUZIONE 7: ASSIOMI DEL TRASPORTO
Dispense di geometria – parte prima
prof. Botta
pag. 20
ISTITUTO
DI
ISTRUZIONE
SUPERIORE
“ L E O P O L D O
P I R E L L I ”
Protocollo di costruzione 7 – Assiomi del trasporto
N.
Nome
Definizione
Dispense di geometria – parte prima
Valore
prof. Botta
pag. 21
ISTITUTO
DI
ISTRUZIONE
SUPERIORE
“ L E O P O L D O
1 Testo testo1
P I R E L L I ”
testo1 = "ASSIOMA DEL TRASPORTO DEI SEGMENTI:
Comunque dati un segmento AB e una semiretta a di origine O,
sulla semiretta esiste uno e un solo punto C tale che il segmento AB è congruente al segmento OC.
In parole semplici possiamo ''trasportare'' il segmento AB sulla semiretta in modo cha A coincida con
O".
2 Punto A
A = (-1.78, 3.4)
3 Punto B
B = (0.86, 3.4)
4 Segmento a1
Segmento [A, B]
a1 = 2.64
5 Punto O
O = (-1.8, 2.26)
6 Punto C
C = (3.2, 2.3)
7 Semiretta a
Semiretta per O e C
a: -0.04x + 5y = 11.37
8 Vettore u
Vettore[A, O]
u = (-0.02, -1.14)
9 Punto A'
Traslazione di A di u
A' = (-1.8, 2.26)
10 Punto B'
Traslazione di B di u
B' = (0.84, 2.26)
11 Segmento b
Segmento [A', B']
b = 2.64
12 Testo testo2
testo2 = "Mediante il trasporto è possibile effettuare il confronto fra segmenti, la somma e la differenza
di segmenti."
13 Punto D
D = (-2.98, 0.8)
14 Punto E
E = (-0.74, 0.82)
15 Segmento c
Segmento [D, E]
c = 2.24
16 Punto F
F = (-2.98, -0.46)
17 Punto G
G = (0.48, -0.42)
18 Segmento d
Segmento [F, G]
d = 3.46
19 Vettore v
Vettore[D, F]
v = (0, -1.26)
20 Punto D'
Traslazione di D di v
D' = (-2.98, -0.46)
21 Punto E'
Traslazione di E di v
E' = (-0.74, -0.44)
22 Segmento c'
Segmento [D', E']
c' = 2.24
23 Punto H
H = (9.3, 0.88)
24 Punto I
I = (11.12, 0.88)
Dispense di geometria – parte prima
prof. Botta
pag. 22
ISTITUTO
DI
ISTRUZIONE
SUPERIORE
“ L E O P O L D O
25 Segmento e
Segmento [H, I]
P I R E L L I ”
e = 1.82
26 Punto J
J = (8.3, -0.38)
27 Punto K
K = (11.36, -0.4)
28 Segmento f
Segmento [J, K]
f = 3.06
29 Vettore w
Vettore[H, K]
w = (2.06, -1.28)
30 Punto H'
Traslazione di H di w
H' = (11.36, -0.4)
31 Punto I'
Traslazione di I di w
I' = (13.18, -0.4)
32 Segmento e'
Segmento [H', I']
e' = 1.82
33 Testo testo3
testo3 = "confronto e differenza: si fa coincidere il primo estremo dei due segmenti."
34 Testo testo4
testo4 = "somma: si fa coincidere il primo estremo di un segmento con l'ultimo dell'altro."
35 Testo testo5
testo5 = "ASSIOMA DEL TRASPORTO DEGLI ANGOLI:
Comunque dati un angolo convesso α, una semiretta r di origine O e uno dei semipiani da essa
individuati, esiste una ed una sola semiretta s di origine O e giacente nel semipiano dato tale che
l'angolo ottenuto è congruente ad α.
In parole semplici possiamo ''trasportare'' l'angolo in modo da far coincidere uno dei suoi lati con la
semiretta r.
Anche in questo caso il trasporto ci consente di effettuare il confronto, la somma e la differenza di
angoli."
36 Punto L
L = (0.22, -5.32)
37 Punto M
M = (-2.68, -7.04)
38 Segmento g
Segmento [L, M]
39 Punto N
g = 3.37
N = (1.26, -6.98)
40 Segmento h
Segmento [M, N]
h = 3.94
41 Angolo α
Angolo tra N, M, L
α = 29.8°
42 Punto P
P = (5.76, -5.72)
43 Punto Q
Q = (10.62, -5.7)
44 Semiretta i
Semiretta per P e Q
i: -0.02x + 4.86y = -27.91
45 Punto Q'
Q ruotato di un angolo
330.2°
Q' = (9.99, -8.12)
46 Angolo β
Angolo tra Q', P, Q
β = 29.8°
Dispense di geometria – parte prima
prof. Botta
pag. 23
ISTITUTO
DI
ISTRUZIONE
SUPERIORE
“ L E O P O L D O
47 Segmento j
Segmento [P, Q']
P I R E L L I ”
j = 4.86
APPUNTI…
.
La congruenza è uno dei diversi tipi di uguaglianza che hai trovato o troverai in matematica: uguaglianza, equivalenza,
similitudine, coincidenza,…. Se in italiano, in contesti diversi, puoi usare questi termini come sinonimi, in matematica non è così,
essi infatti hanno significati molto diversi e vengono indicati con simboli diversi.
La congruenza è un’uguaglianza molto “forte”, nel senso che essa implica che due figure siano uguali sia nella forma che nelle
dimensioni.
Le circonferenze ad esempio sono tutte simili fra loro, hanno cioè la stessa forma, ma non necessariamente sono congruenti,
possiamo infatti disegnare circonferenze con raggi diversi.
E’ abbastanza facile anche costruire figure equivalenti, cioè con la stessa estensione ma diverse nella forma.
figure simili
figure equivalenti
L’applicazione degli assiomi del trasporto e la definizione di congruenza ci consentono di giungere ad una definizione delle
grandezze geometriche di lunghezza di un segmento e di ampiezza di un angolo osservando che segmenti congruenti hanno tutti
la stessa lunghezza e che angoli congruenti hanno tutti la stessa ampiezza; ci permettono inoltre di definire multipli e
sottomultipli di angoli e segmenti rispettivamente moltiplicando e dividendo per un numero naturale n la grandezza data.
In particolare possiamo dare le seguenti definizioni:
Definizione 5: Chiameremo punto medio di un segmento il punto che divide un segmento in due parti congruenti.
Definizione 6: Chiameremo bisettrice di un angolo la semiretta che ha origine nel vertice dell’angolo e divide l’angolo in due
parti congruenti.
Dispense di geometria – parte prima
prof. Botta
pag. 24
ISTITUTO
DI
ISTRUZIONE
SUPERIORE
“ L E O P O L D O
P I R E L L I ”
Possiamo ora richiamare alcune definizioni che certamente ti sono già note:
1. Chiameremo angolo retto la metà di un angolo piatto;
2. Diremo che un angolo è acuto se è minore di un angolo retto;
3. Diremo che un angolo è ottuso se è maggiore di un angolo retto;
4. Diremo che due angoli sono supplementari se la loro somma è un angolo piatto;
5. Diremo che due angoli sono complementari se la loro somma è un angolo retto;
6. Diremo che due angoli sono esplementari se la loro somma è un angolo giro;
RICORDA: il punto medio è un “punto”, è quel punto che divide il segmento a metà, non è la metà del segmento, che invece è a
sua volta un segmento, cioè un oggetto costituito da infiniti punti!
Esercizio 1: rappresenta ciascuna delle definizioni precedenti con un’opportuna costruzione in geogebra.
Esercizio 2: costruisci il quintuplo di un segmento dato e il triplo di un angolo dato.
COSTRUZIONE 8: COSTRUZIONE CON RIGA E COMPASSO DI UN ANGOLO DI DATO LATO CONGRUENTE AD UN ANGOLO
ASSEGNATO
Dispense di geometria – parte prima
prof. Botta
pag. 25
ISTITUTO
DI
ISTRUZIONE
SUPERIORE
“ L E O P O L D O
P I R E L L I ”
Protocollo di costruzione 8 – Costruzione con riga e compasso di un angolo di dato lato congruente ad un angolo assegnato
N.
Nome
Definizione
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Valore
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pag. 26
ISTITUTO
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“ L E O P O L D O
P I R E L L I ”
1 Testo testo1
testo1 = "COSTRUZIONE CON RIGA E COMPASSO DI UN ANGOLO DI DATO LATO
CONGRUENTE AD UN ANGOLO ASSEGNATO"
2 Punto A
A = (3.44, 1.18)
3 Punto B1
B1 = (7.94, 3.38)
4 Semiretta a
Semiretta per A e B1
5 Punto C1
a: -2.2x + 4.5y = -2.26
C1 = (5.14, 1.18)
6 Semiretta b
Semiretta per A e C1
b: y = 1.18
7 Punto C
Punto su a
C = (7.01, 2.93)
8 Circonferenza Circonferenza per C di centro A
c
c: (x - 3.44)² + (y - 1.18)² = 15.81
9 Punto B
Punto di intersezione tra c e b
B = (7.42, 1.18)
10 Angolo α
Angolo tra B, A, C
α = 26.05°
11 Segmento d
Segmento [A, C]
d = 3.98
12 Punto O
O = (8.74, -5.08)
13 Punto E1
E1 = (15.54, -5.14)
14 Semiretta e
Semiretta per O e E1
e: 0.06x + 6.8y = -34.02
15 Circonferenza f Circonferenza di centro O e
raggio d
f: (x - 8.74)² + (y + 5.08)² = 15.81
16 Punto D
Punto di intersezione tra f e e
D = (12.72, -5.12)
17 Segmento g
Segmento [C, B]
g = 1.79
18 Circonferenza Circonferenza di centro D e
h
raggio g
h: (x - 12.72)² + (y + 5.12)² = 3.21
19 Punto E
Punto di intersezione tra f e h
E = (12.33, -3.37)
20 Semiretta i
Semiretta per O e E
i: -1.71x + 3.59y = -33.21
21 Angolo β
Angolo tra D, O, E
β = 26.05°
COSTRUZIONE 9: TEOREMI SU ANGOLI E SEGMENTI
Dispense di geometria – parte prima
prof. Botta
pag. 27
ISTITUTO
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“ L E O P O L D O
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Protocollo di costruzione 9 - Teoremi su angoli e segmenti
N.
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pag. 28
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“ L E O P O L D O
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1
Testo testo1
testo1 = "TEOREMI SU ANGOLI E SEGMENTI"
2
Testo testo2
testo2 = "Dagli assiomi del trasporto si possono dedurre in modo evidente alcune proprietà
dell'addizione fra angoli e segmenti:
1. L'addizione di angoli e segmenti è commutativa e associativa;
2. Le somme di segmenti congruenti sono congruenti,
3. Le somme di angoli congruenti sono congruenti;
4. Tutti gli angoli piatti sono congruenti fra loro.
Inoltre quanto studiato finora ci consente di effettuare le prime dimostrazioni, come già
osservato infatti gli assiomi non richiedono di essere dimostrati mentre i teoremi, anche se
molto semplici, richiedono una dimostrazione.
E' importante osservare che è bene evitare di assumere come assiomi affermazioni che
possono essere dimostrate."
3
Testo testo3
testo3 = "TEOREMA 1:"
4
Testo testo4
testo4 = "Angoli supplementari di angoli congruenti sono congruenti."
5
Testo testo5
testo5 = "IPOTESI (Hp): α ؆ α', α + β = P, α' + β' = P
TESI (Th): β ؆ β'"
6
Punto A
A = (-3.34, -0.36)
7
Punto B
B = (4.5, -0.38)
8
Segmento a
Segmento [A, B]
a = 7.84
9
Punto C
Punto su a
C = (0.44, -0.37)
10
Punto B'
B ruotato di un angolo 40°
B' = (3.56, 2.23)
11
Angolo β
Angolo tra B, C, B'
β = 40°
12
Segmento b
Segmento [C, B']
b = 4.06
13
Angolo α
Angolo tra B', C, A
α = 140°
14
Punto D
D = (6.24, -0.4)
15
Punto E
E = (14.3, -0.4)
16
Segmento c
Segmento [D, E]
c = 8.06
17
Punto F
Punto su c
F = (10.26, -0.4)
18
Punto E'
E ruotato di un angolo 40°
E' = (13.35, 2.2)
19
Angolo β1
Angolo tra E, F, E'
β1 = 40°
20
Segmento d
Segmento [F, E']
d = 4.04
21
Angolo α1
Angolo tra E', F, D
α1 = 140°
22
Testo testo6
Dispense di geometria – parte prima
testo6 = "Ricorda di evidenziare sempre in figura le ipotesi, indicando con simboli uguali gli
prof. Botta
pag. 29
ISTITUTO
DI
ISTRUZIONE
SUPERIORE
“ L E O P O L D O
P I R E L L I ”
elementi congruenti."
23
Testo testo7
testo7 = "DIMOSTRAZIONE:
Da α + β = P possiamo scrivere che β = P - α, analogamente da α' + β' = P possiamo
scrivere che β' = P - α'. Ma poichè, per ipotesi α ؆ α', possiamo scrivere anche β = P - α' =
β'. Quindi β = β', perchè differenze di angoli congruenti."
24
Testo testo8
testo8 = "DEFINIZIONE:"
25
Testo testo9
testo9 = "Si dicono opposti al vertice due angoli convessi che hanno il vertice in comune e
come lati semirette opposte.Due rette incidenti formano sempre due coppie di angoli opposti
al vertice, ε con ε', e δ con δ'."
26
Punto G
G = (0.46, -4.46)
27
Punto H
H = (5.06, -2.42)
28
Segmento e
29
Punto I
I = (0.34, -2.52)
30
Punto J
J = (5.28, -4.34)
31
Segmento f
Segmento [I, J]
f = 5.26
32
Punto O
Punto di intersezione tra e e f
O = (2.8, -3.42)
33
Angolo δ1
Angolo tra I, O, G
δ1 = 44.14°
34
Angolo δ
Angolo tra J, O, H
δ = 44.14°
35
Angolo ε
Angolo tra H, O, I
ε = 135.86°
36
Angolo ε1
Angolo tra G, O, J
ε1 = 135.86°
37
Testo testo10
testo10 = "TEOREMA 2:"
38
Testo testo11
testo11 = "Angoli opposti al vertice sono congruenti."
39
Testo testo12
testo12 = "IPOTESI (Hp): ε e ε' opposti al vertice; δ e δ' opposti al vertice. TESI (Th): ε = ε',
δ = δ'."
40
Testo testo13
testo13 = "DIMOSTRAZIONE: ε e δ, avendo il vertice e un lato in comune e gli altri lati
semirette opposte, sono adiacenti e quindi supplementari, ε + δ = P. La stessa affermazione
si può fare per ε' e δ, ε' + δ = P. Ma allora per il TEOREMA 1 possiamo affermare che ε = ε'.
In modo analogo si dimostra che δ = δ', perchè supplementari dello stesso angolo ε."
Segmento [G, H]
e = 5.03
ESERCIZI
Dispense di geometria – parte prima
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pag. 30
ISTITUTO
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ISTRUZIONE
SUPERIORE
“ L E O P O L D O
P I R E L L I ”
1. Il teorema che segue si dimostra in modo analogo al teorema 1. Individua l’ipotesi e la tesi e scrivi la dimostrazione
producendo una scheda in geogebra che contenga anche i disegni necessari alla dimostrazione.
TEOREMA: Angoli complementari di angoli congruenti sono congruenti.
2. Siano dati tre punti non allineati A, B e C. Può una retta incontrare tutti e tre i segmenti AB, AC, e BC? Può incontrarli
tutti in loro punti interni? Costruisci la figura richiesta e trasformala in modo dinamico. Dai la tua risposta in una casella
di testo e accompagnala con disegni opportuni.
3. Disegna quattro segmenti diversi. Somma i due maggiori e i due minori e determina la differenza fra le due somme
ottenute. Verifica che tale differenza è congruente alla somma della differenza tra il maggiore e il minore e della
differenza tra i due segmenti intermedi. Effettua la verifica sia utilizzando la funzione distanza o lunghezza di geogebra
sia in via algebrica, senza utilizzare le misure effettive dei segmenti. Dai le tue risposte in una casella di testo.
COSTRUZIONE 10: PUNTO MEDIO E ASSE DI UN SEGMENTO
Dispense di geometria – parte prima
prof. Botta
pag. 31
ISTITUTO
DI
ISTRUZIONE
SUPERIORE
“ L E O P O L D O
P I R E L L I ”
Protocollo di costruzione 10 – Punto medio e asse di un segmento
N.
Nome
Definizione
Dispense di geometria – parte prima
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pag. 32
ISTITUTO
DI
ISTRUZIONE
SUPERIORE
“ L E O P O L D O
1 Punto A
A = (-0.38, 0.8)
2 Punto B
B = (3.46, 0.78)
P I R E L L I ”
3 Segmento a
Segmento [A, B]
4 Circonferenza c
Circonferenza di centro A e raggio a c: (x + 0.38)² + (y - 0.8)² = 14.75
5 Circonferenza d
Circonferenza di centro B e raggio a d: (x - 3.46)² + (y - 0.78)² = 14.75
6 Punto C
Punto di intersezione tra c e d
C = (1.56, 4.12)
7 Punto D
Punto di intersezione tra c e d
D = (1.52, -2.54)
8 Retta b
Retta per C e D
b: 6.65x - 0.03y = 10.22
9 Punto E
Punto di intersezione tra b e a
E = (1.54, 0.79)
10 Segmento e
Segmento [A, E]
e = 1.92
11 Segmento f
Segmento [E, B]
f = 1.92
12 Testo testo1
a = 3.84
testo1 = "PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO: Chiameremo punto medio di un
segmento,
il punto che divide il segmento in due segmenti fra loro congruenti.
Nel nostro disegno E risulta essere il punto medio del segmento AB,
come puoi verificare misurando i segmenti AE e EB."
13 Testo testo2
testo2 = "ASSE DI UN SEGMENTO: Chiameremo asse di un segmento la retta
perpendicolare al segmento e
passante per il suo punto medio.
Nel nostro disegno la retta b è l'asse del segmento AB;
puoi verificare la perpendicolarità misurando l'angolo BEC."
14 Testo testo3
15 Angolo α
testo3 = "RICORDA: due rette si dicono perpendicolari quando sono incidenti
e formano quattro angoli retti;
la perpendicolare ad una retta passante per un punto dato è unica."
Angolo tra B, E, C
α = 90°
ESERCIZI:
Dispense di geometria – parte prima
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pag. 33
ISTITUTO
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ISTRUZIONE
SUPERIORE
“ L E O P O L D O
P I R E L L I ”
1. Disegna quattro segmenti diversi. Somma i due maggiori e i due minori e determina la differenza fra le due somme
ottenute. Verifica che tale differenza è congruente alla somma della differenza tra il maggiore e il minore e della
differenza tra i due segmenti intermedi.
2. Sia M il punto medio del segmento AB (disegnalo usando la funzione punto medio) e sia C un punto compreso fra M e B.
Scrivi tutte le diseguaglianze che intercorrono fra i segmenti AB, AC e CB.
Dispense di geometria – parte prima
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pag. 34