061114 CAP 4
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4.3 Distanze Il concetto di distanza, intuitivamente, è legato all’idea di percorso più breve, quindi, in Geometria Euclidea, si tratta di un segmento. Con il termine distanza si indicano sia l’ente geometrico sia la sua lunghezza. È un concetto molto importante, tramite cui si definisce l’altezza in un poligono. Tra quali enti geometrici ha senso definire la distanza? Definiamo tre distanze: I La distanza tra due punti è il segmento che ha quei due punti come estremi (e anche la sua lunghezza). I La distanza tra un punto e una retta è il segmento che ha un estremo in quel punto e uno sulla retta e che è perpendicolare alla retta. I La distanza tra due rette parallele è un segmento che ha gli estremi sulle due rette ed è ad esse perpendicolare. Si può definire la distanza tra rette incidenti? Si può definire la distanza tra rette coincidenti? Quali attività di tipo motorio si possono proporre? Quali potrebbero essere gli errori tipici nella rappresentazione della distanza? Attività. Distanza tra punti su un percorso obbligato (da PRISTEM). Ecco il piano delle strade di Triangopoli, dove ogni lato dei triangolini misura 1 km. Jacob si trova nel cortile della sua abitazione (A) e prende la bicicletta per andare a scuola in via Bognetti (B). Quale distanza percorrerà Jacob al minimo? Quali sono i possibili percorsi minimi? È possibile disegnare questa sagoma su un cartellone e prendere le misure. Poi ci si può chiedere se per Jacob sarebbe stato più comodo se avessero costruito un’altra strada. Punto medio e asse. Dato un segmento, il suo punto medio è il punto appartenente al segmento ed equidistante dai suoi estremi. L’asse di un segmento è la retta che passa per il suo punto medio ed è perpendicolare al segmento stesso. L’asse gode di una proprietà: è il luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento. Attività. Costruire, in palestra, un segmento e il suo asse. Verificare la proprietà con delle corde. Attività. Costruzione dell’asse di un segmento (e del suo punto medio) con riga e compasso. Abbiamo già visto questa costruzione perché viene sfruttata quando si vuole costruire la retta perpendicolare a una retta data e passante per un punto. Attività. La riva del fiume (da Kangourou, 2005). Sulla riva di un fiume un tratto rettilineo lungo 8 m viene limitato da due paletti A e B. Considerando tale tratto come un segmento, viene gettato un ponte che costituisce l’asse del segmento e attraversa il fiume terminando nel punto C. Altri due ponti rettilinei vengono posti a partire dai due estremi A e B fino al punto C. Quale dei tre ponti ha lunghezza minore? Se uno dei due ponti laterali misura 5 m e la somma delle lunghezze dei tre ponti 13 m, quanto misura il ponte centrale? 4.4 Il semipiano Si chiama semipiano ciascuna delle due parti di piano separate da una retta (compresa). La retta viene denominata origine del semipiano. 4.5 L’angolo Scriviamo alcune definizioni di angolo e alcuni termini legati al concetto di angolo. L’angolo è una parte di piano delimitata da due semirette che hanno l’origine in comune (semirette comprese). Chiameremo vertice dell’angolo l’origine comune delle due semirette e lati dell’angolo le semirette stesse. Quali misconcetti? Da che cosa sono ingenerati? Il concetto di angolo può derivare da molte esperienze: il cambiamento di direzione, la rotazione e l’intersezione di due semipiani. Angolo come rotazione: Attività. Rappresentazione, verbalizzazione, ... utilizzando opportuni strumenti. Angolo come cambiamento di direzione: Attività. Spazzare angoli sulla farina. Angolo come intersezione di semipiani: Attività. Utilizzare corde tese (che rappresentano le rette che individuano i semipiani). Passare dall’attività motoria, alla verbalizzazione, alla rappresentazione dall’alto. Testi scolastici. Testi scolastici. Testi scolastici. Notazioni. Gli angoli si possono indicare in vari modi: I tramite una lettera greca: ad es. α̂; I attraverso una semiretta, il vertice e l’altra semiretta: aV̂ b; ˆ con le sole semirette: ab; I I tramite un punto su una semiretta, il vertice e un punto sull’altra semiretta: AV̂ B; I attraverso il solo vertice: V̂ . Attenzione! I Due angoli! I Parte di piano illimitata! I Semirette, non segmenti! Ed evitare lati della “stessa lunghezza”! Confronto di angoli. Due angoli aV̂ b e c Ôd sono congruenti se, facendo coincidere il vertice V con il vertice O e un lato del primo angolo (supponiamo a) con un lato del secondo angolo (supponiamo c), coincidono anche gli altri due lati e le regioni angolari. Se cosı̀ non è, si possono collocare gli angoli in modo che coincidano un lato e il vertice e uno sia interamente contenuto nell’altro. In tal caso il primo è minore del secondo. Rilevazione Nazionale INValSI 2009/2010, classe V Come è stata scelta la raffigurazione? Quali sono le possibili difficoltà? Strumenti per il confronto. I Ricalcare gli angoli tramite la carta velina e sovrapporre. I Strumento che consente di effettuare più misurazioni: I Costruzione geometrica con riga e compasso. Potendo trasportare un angolo, con riga e compasso, possiamo anche costruire la retta parallela a una retta r data e passante per un punto P esterno a r . Oppure, analogamente: Link Classificazione di angoli. Gli angoli si classificano in base a... Concavità e convessità. Angolo concavo Angolo convesso Maggiore dell’angolo piatto Minore dell’angolo piatto Contiene i prolungamenti dei lati Non contiene i prolungamenti dei lati Esistono segmenti con gli estremi Contiene tutti i segmenti nell’angolo che non sono interam. che hanno gli estremi nell’angolo contenuti nell’angolo stesso Classificazione di angoli.
