4.3 Distanze
Il concetto di distanza, intuitivamente, è legato all’idea di percorso più
breve, quindi, in Geometria Euclidea, si tratta di un segmento.
Con il termine distanza si indicano sia l’ente geometrico sia la sua
lunghezza.
È un concetto molto importante, tramite cui si definisce l’altezza in un
poligono.
Tra quali enti geometrici ha senso definire la distanza?
Definiamo tre distanze:
I
La distanza tra due punti è il segmento che ha quei due punti come
estremi (e anche la sua lunghezza).
I
La distanza tra un punto e una retta è il segmento che ha un estremo
in quel punto e uno sulla retta e che è perpendicolare alla retta.
I
La distanza tra due rette parallele è un segmento che ha gli estremi
sulle due rette ed è ad esse perpendicolare.
Si può definire la distanza tra rette incidenti?
Si può definire la distanza tra rette coincidenti?
Quali attività di tipo motorio si possono proporre?
Quali potrebbero essere gli errori tipici nella rappresentazione della
distanza?
Attività. Distanza tra punti su un percorso obbligato (da PRISTEM).
Ecco il piano delle strade di Triangopoli, dove ogni lato dei triangolini
misura 1 km. Jacob si trova nel cortile della sua abitazione (A) e prende
la bicicletta per andare a scuola in via Bognetti (B). Quale distanza
percorrerà Jacob al minimo?
Quali sono i possibili percorsi minimi?
È possibile disegnare questa sagoma su un cartellone e prendere le
misure. Poi ci si può chiedere se per Jacob sarebbe stato più comodo se
avessero costruito un’altra strada.
Punto medio e asse.
Dato un segmento, il suo punto medio è il punto appartenente al
segmento ed equidistante dai suoi estremi.
L’asse di un segmento è la retta che passa per il suo punto medio ed è
perpendicolare al segmento stesso.
L’asse gode di una proprietà: è il luogo dei punti equidistanti dagli
estremi del segmento.
Attività. Costruire, in palestra, un segmento e il suo asse. Verificare la
proprietà con delle corde.
Attività. Costruzione dell’asse di un segmento (e del suo punto medio)
con riga e compasso.
Abbiamo già visto questa costruzione perché viene sfruttata quando si
vuole costruire la retta perpendicolare a una retta data e passante per un
punto.
Attività. La riva del fiume (da Kangourou, 2005).
Sulla riva di un fiume un tratto rettilineo lungo 8 m viene limitato da due
paletti A e B. Considerando tale tratto come un segmento, viene gettato
un ponte che costituisce l’asse del segmento e attraversa il fiume
terminando nel punto C. Altri due ponti rettilinei vengono posti a partire
dai due estremi A e B fino al punto C.
Quale dei tre ponti ha lunghezza minore?
Se uno dei due ponti laterali misura 5 m e la somma delle lunghezze dei
tre ponti 13 m, quanto misura il ponte centrale?
4.4 Il semipiano
Si chiama semipiano ciascuna delle due parti di piano separate da una
retta (compresa). La retta viene denominata origine del semipiano.
4.5 L’angolo
Scriviamo alcune definizioni di angolo
e alcuni termini legati al concetto di angolo.
L’angolo è una parte di piano delimitata da due semirette che hanno
l’origine in comune (semirette comprese).
Chiameremo vertice dell’angolo l’origine comune delle due semirette e lati
dell’angolo le semirette stesse.
Quali misconcetti?
Da che cosa sono ingenerati?
Il concetto di angolo può derivare da molte esperienze: il cambiamento di
direzione, la rotazione e l’intersezione di due semipiani.
Angolo come rotazione:
Attività. Rappresentazione, verbalizzazione, ... utilizzando opportuni
strumenti.
Angolo come cambiamento di direzione:
Attività. Spazzare angoli sulla farina.
Angolo come intersezione di semipiani:
Attività. Utilizzare corde tese (che rappresentano le rette che
individuano i semipiani). Passare dall’attività motoria, alla
verbalizzazione, alla rappresentazione dall’alto.
Testi scolastici.
Testi scolastici.
Testi scolastici.
Notazioni. Gli angoli si possono indicare in vari modi:
I
tramite una lettera greca: ad es. α̂;
I
attraverso una semiretta, il vertice e l’altra semiretta: aV̂ b;
ˆ
con le sole semirette: ab;
I
I
tramite un punto su una semiretta, il vertice e un punto sull’altra
semiretta: AV̂ B;
I
attraverso il solo vertice: V̂ .
Attenzione!
I
Due angoli!
I
Parte di piano illimitata!
I
Semirette, non segmenti! Ed evitare lati della “stessa lunghezza”!
Confronto di angoli. Due angoli aV̂ b e c Ôd sono congruenti se,
facendo coincidere il vertice V con il vertice O e un lato del primo angolo
(supponiamo a) con un lato del secondo angolo (supponiamo c),
coincidono anche gli altri due lati e le regioni angolari.
Se cosı̀ non è, si possono collocare gli angoli in modo che coincidano un
lato e il vertice e uno sia interamente contenuto nell’altro. In tal caso il
primo è minore del secondo.
Rilevazione Nazionale INValSI 2009/2010, classe V
Come è stata scelta la raffigurazione? Quali sono le possibili difficoltà?
Strumenti per il confronto.
I
Ricalcare gli angoli tramite la carta velina e sovrapporre.
I
Strumento che consente di effettuare più misurazioni:
I
Costruzione geometrica con riga e compasso.
Potendo trasportare un angolo, con riga e compasso, possiamo anche
costruire la retta parallela a una retta r data e passante per un punto P
esterno a r .
Oppure, analogamente:
Link
Classificazione di angoli.
Gli angoli si classificano in base a...
Concavità e convessità.
Angolo concavo
Angolo convesso
Maggiore dell’angolo piatto
Minore dell’angolo piatto
Contiene i prolungamenti dei lati
Non contiene i prolungamenti dei lati
Esistono segmenti con gli estremi
Contiene tutti i segmenti
nell’angolo che non sono interam.
che hanno gli estremi nell’angolo
contenuti nell’angolo stesso
Classificazione di angoli.
