Testo - Dipartimento di Matematica

Cognome:
Nome:
Matricola:
Laboratorio di Calcolo Numerico - Corso di Laurea in Matematica
Appello del 10/02/2011
ESERCIZIO 1 [10 punti]
Sia A ∈ R4×4 la matrice

4 −1
0
0
 −1
4 −1
0 
,
A=
 0 −1
4 −1 
0
0 −1
4

e A = D + L + U lo splitting di A tale che D è la parte diagonale di A, L la sua parte
triangolare inferiore e U la sua parte triangolare superiore. Per la risoluzione del sistema
lineare Ax = b, si considera il metodo iterativo
xk+1 = Bα xk + f,
dove Bα = (I − α(D + L)−1 A) è la matrice d’iterazione, con α parametro reale d’accelerazione e I matrice identità ∈ R4×4 , e dove f è una funzione nota di b.
1. Stabilire utilizzando Matlab per quali valori di α il metodo iterativo proposto è
convergente. A questo scopo, utilizzare il criterio necessario e sufficiente per la
convergenza di un metodo iterativo.
2. Dedurre dai risultati del punto precedente qual è il valore ottimale di α. Quanto
vale il raggio spettrale di Bα in corrispondenza del valore ottimale di α?
3. Per α = 1 il metodo iterativo proposto coincide con il metodo di Gauss-Seidel.
Risolvere quindi il sistema lineare Ax = b, con b=A*ones(4,1), usando tale metodo
con toll=1e-6, nmax=100, x0=zeros(4,1). Quanto vale la norma 2 del residuo
all’ultima iterazione?
• valori di α per cui il metodo è convergente:
• valore ottimale di α e corrispondente raggio spettrale:
• norma 2 del residuo all’ultima iterazione di Gauss-Seidel:
1
ESERCIZIO 2 [10 punti]
Sia data f (x) = ex − 1 nell’intervallo [0, 1].
• Si calcoli la parabola p(x) = c1 x2 + c2 x + c3 che interpola f (x) in tre nodi
equispaziati dell’intervallo assegnato.
R1
• Si utilizzi la formula di Cavalieri-Simpson semplice per calcolare 0 p(x); si indichi
con Ip il risultato ottenuto. Perché la formula semplice di Cavalieri-Simpson è una
buona scelta per il calcolo dell’integrale dato?
• Si
il calcolo dell’integrale
R 1 applichi la formula di Cavalieri-Simpson composita per
∗
0 f (x) dx su m = 10, 100, 1000 sottointervalli. Sia Im il valore approssimato
dell’integrale calcolato, tenuto conto che l’integrale esatto è I = e − 2, si calcolino
∗ | e si giustifichino i risultati ottenuti alla
infine gli errori commessi em = |I − Im
luce dei risultati noti sull’ordine di convergenza.
Risposte all’Esercizio 2 (riportare i valori in format short e)
• c1 =
c2 =
• Ip =
giustificare i risultati ottenuti
c3 =
• Completare la tabella e giustificare i risultati ottenuti
m
10
100
1000
em
ESERCIZIO 3 [10 punti]
Data la funzione f (x) = 1/(x2 + 1) sull’intervallo [5, 5], costruire con Matlab la spline
cubica S3 (x) interpolante f in n nodi equispaziati.
1. Calcolare gli errori en := max |f (x) − s3 (x)| al variare del numero di punti (n + 1),
con n = 20 : 10 : 1000, basandosi su una griglia fine di 104 punti.
2. Definito H = 10/(n − 1), verificare che, quando H → 0, l’errore decresce come H 4
per la spline cubica rappresentando graficamente la curva degli errori.
• riportare qualitativamente grafico errore evidenziando la pendenza 4 e valori
significativi dell’errore
2
Cognome:
Nome:
Matricola:
Laboratorio di Calcolo Numerico - Corso di Laurea in Matematica
Appello del 10/02/2011
ESERCIZIO 1 [10 punti]
Siano

8 −3
0
0



 −3

8
−3
0



,
A=

 0 −3
8 −3 


0
0 −3
8

1
 0 

b=
 0 .
1

Per la risoluzione del sistema lineare Ax = b si consideri il seguente metodo iterativo
dipendente dal parametro reale ω:
x(k+1) = Bω x(k) + gω
dove Bω = (I + ωD−1 L)−1 [(1 − ω)I − ωD−1 U ] è la matrice di iterazione, con A =
D + L + U , D essendo la parte diagonale di A, L la parte triangolare inferiore, U la
parte triangolare superiore, rispettivamente, e dove gω è funzione del termine noto.
1. Stabilire utilizzando Matlab per quali valori di ω il metodo iterativo proposto è
convergente. A questo scopo, utilizzare il criterio necessario e sufficiente per la
convergenza di un metodo iterativo.
2. Dedurre dai risultati del punto precedente qual è il valore ottimale di ω. Quanto
vale il raggio spettrale di Bω in corrispondenza del valore ottimale di ω?
3. Per ω = 1 il metodo iterativo proposto coincide con il metodo di Gauss-Seidel.
Risolvere quindi il sistema lineare Ax = b, con b=A*ones(4,1), usando tale metodo
con toll=1e-6, nmax=100, x0=zeros(4,1). Quanto vale la norma 2 del residuo
all’ultima iterazione?
• valori di ω per cui il metodo è convergente:
• valore ottimale di ω e corrispondente raggio spettrale di Bω :
• norma 2 del residuo all’ultima iterazione di Gauss-Seidel:
3
ESERCIZIO 2 [10 punti]
Sia data f (x) = sin(x) + 1 nell’intervallo [0, π].
• Si calcoli la retta r(x) = c1 x + c2 che approssima nel senso dei minimi quadrati la
funzione f (x) in 10 nodi equispaziati dell’intervallo assegnato.
Rπ
• Si utilizzi la formula dei trapezi semplice per calcolare 0 r(x); si indichi con Ir il
risultato ottenuto. Perché la formula dei trapezi semplice è una buona scelta per
il calcolo dell’integrale dato?
Rπ
• Si applichi la formula dei trapezi composita per il calcolo dell’integrale 0 f (x) dx
∗ il valore approssimato dell’integrale
su m = 10, 100, 1000 sottointervalli. Sia Im
calcolato, tenuto conto che l’integrale esatto è I = π + 2, si calcolino infine gli
∗ | e si giustifichino i risultati ottenuti alla luce dei
errori commessi em = |I − Im
risultati noti sull’ordine di convergenza.
Risposte all’Esercizio 2 (riportare i valori in format short e)
• c1 =
c2 =
• Ir =
giustificare i risultati ottenuti
• Completare la tabella e giustificare i risultati ottenuti
m
10
100
1000
em
ESERCIZIO 3 [10 punti]
Data la funzione f (x) = log(x) sull’intervallo I = [1, 3], costruire con Matlab la spline
cubica s3 (x) interpolante f in n = 20 : 10 : 1000 nodi equispaziati.
1. Calcolare l’errore en := maxI |f (x) − s3 (x)| al variare del numero di nodi di
interpolazione, basandosi su una griglia fine di 104 punti.
2. Definito H = 10/(n − 1), verificare che, quando H → 0, l’errore decresce come H 4
per la spline cubica rappresentando graficamente la curva degli errori ottenuti con
la spline cubica.
• riportare qualitativamente grafico errore evidenziando la pendenza 4 e alcuni
valori significativi dell’errore
4