1 − x 1 + x - Dipartimento di Matematica

5/12/2003
MATEMATICA 1F – ANALISI 1A
1 Studiare la funzione:
x
1−x
1+x
4
(anche asintoto obliquo, convessità ad occhio, senza y 00 ).
2 Trovare una funzione della variabile reale x che sia una primitiva della funzione:
sin x log sin x,
con 0 < x <
π
2
Utilizzare il risultato ottenuto per calcolare:
Z
π
2
sin x log sin x dx
0
(in 0 la funzione integranda si intende estesa per continuità).
3 Trovare l’insieme dei numeri reali x per cui converge la serie di potenze:
+∞
X
n2n n
x
n2 + 1
n=1
4 Siano z1 una radice cubica di α = 1 + i, z2 una radice cubica di β = 1 − i e z3 una
radice cubica di αβ.
Scrivere z1 , z2 , z3 in forma polare ρeiϑ .
Dimostrare con un esempio che l’uguaglianza z1 z2 = z3 non è sempre vera.
5 Dimostrare che, fra tutti i triangoli isosceli di assegnato perimetro, quello di area
massima è equilatero.