5/12/2003 MATEMATICA 1F – ANALISI 1A 1 Studiare la funzione: x 1−x 1+x 4 (anche asintoto obliquo, convessità ad occhio, senza y 00 ). 2 Trovare una funzione della variabile reale x che sia una primitiva della funzione: sin x log sin x, con 0 < x < π 2 Utilizzare il risultato ottenuto per calcolare: Z π 2 sin x log sin x dx 0 (in 0 la funzione integranda si intende estesa per continuità). 3 Trovare l’insieme dei numeri reali x per cui converge la serie di potenze: +∞ X n2n n x n2 + 1 n=1 4 Siano z1 una radice cubica di α = 1 + i, z2 una radice cubica di β = 1 − i e z3 una radice cubica di αβ. Scrivere z1 , z2 , z3 in forma polare ρeiϑ . Dimostrare con un esempio che l’uguaglianza z1 z2 = z3 non è sempre vera. 5 Dimostrare che, fra tutti i triangoli isosceli di assegnato perimetro, quello di area massima è equilatero.