Le geometrie non euclidee
Gattini Vittoria 2^ G
a.s.2013-14
Che cos’è la
geometria ?
La geometria è quella parte della
scienza matematica che si occupa
delle forme nel piano e nello spazio e
delle loro mutue relazioni.
Già dal medioevo si insegnava la
geometria.
Geometria
Geometria
non euclidea
Geometria
iperbolica
Geometria
iperbolica
Geometria
euclidea
Geometria
piana
Geometria
solida
La geometria euclidea ha caratterizzato la matematica e la
fisica per oltre venti secoli. La sua validità era anche uno
dei principi fondamentali della filosofia di Kant.
L’opera di Euclide “Elementi “(circa 300 a. C.) è stata
usata come ” bibbia matematica” e i cinque postulati di
Euclide sono stati considerati alla base del metodo
assiomatico.
si possa tracciare
una retta da un
punto qualsiasi ad
si possa prolungare
indefinitamente una linea
retta
ogni altro punto
si possa descrivere un
cerchio con un centro
qualsiasi e un raggio
Tutti gli angoli retti siano
uguali fra loro
qualsiasi
se una retta che interseca due altre
rette forma dalla stessa parte angoli
inferiori a due angoli retti, le due
rette, se estese indefinitamente, si
incontrano da quella parte dove gli
angoli sono inferiori a due rette
IL 5º POSTULATO
Il V postulato è logicamente equivalente al seguente:
Fissati nel piano un punto P ed una retta r, non passante
per P, esiste ed è unica la retta s passante per P e parallela
alla retta prefissata r
Sotto questa forma il V postulato è detto :POSTULATO
DELLE PARALLELE
Si definiscono “Geometrie non euclidee“ quelle geometrie
che, non accettando il V postulato, lo negano proponendo
in alternativa i seguenti due postulati:
Non esiste alcuna retta s
passante per il punto P e
parallela ad una retta r prefissata.
Esistono almeno due rette s’ e
s’’ passanti per il punto P e
parallele ad una retta
prefissata r.
Gli enti primitivi di questa geometria
sono :
Il piano di
Riemann
Il punto
di
Riemann
la retta di
Riemann
Esso è costituito
da una
qualunque
superficie sferica
Esso è costituito
da
una
qualunque
coppia di punti
diametralmente
opposti
sulla
superficie sferica
Essa è costituita
da una qualsiasi
circonferenza
massima
Esempi familiari sono i meridiani e l'equatore, non lo
sono i paralleli.
Sulla superficie della sfera
non esistono 'rette' o meglio
geodetiche che non si
incontrano, quindi non
esistono parallele.
Nella figura sono rappresentati due meridiani
perpendicolari all'equatore e
che si incontrano perpendicolarmente al polo Nord. Si
vede che la somma degli
angoli interni del triangolo
curvilineo ABN è 270 .
In generale la somma degli angoli interni di un
triangolo di questo tipo è sempre maggiore di
180 e non è costante per tutti i triangoli. Mentre
nella geometria euclidea la somma degli angoli
interni di un triangolo è sempre 180 , nella
geometria ellittica la somma degli angoli interni
del triangolo è variabile e dipende dalla
grandezza del triangolo.
Gli enti primitivi di questa geometria
sono :
Il piano
di Klein
Il punto
di Klein
La retta
di Klein
Esso è costituito
dalla superficie
interna ad un
qualunque
cerchio
Esso è costituito
da un qualsiasi
punto interno al
cerchio
Essa è costituita
da una
qualunque corda
della
circonferenza
In particolare, non esiste un modello che rappresenti
globalmente una geometria di questo tipo.
Si può prendere una superficie
a forma di sella, o meglio la
pseudosfera.
PSEUDOSFERA
Il triangolo curvilineo
ABC su un pezzo di
pseudosfera è il
corrispondente di un
triangolo rettilineo del
piano euclideo, perché è
composto da linee
geodetiche. La somma
degli angoli interni di
questo triangolo è
minore di 180 e
dipende dalla grandezza
del triangolo
Le tre geometrie rispettivamente di :
Euclide
Reimann
Bolay-lobacevskij
Hanno ciascuna una loro validità e
possibilità di applicazione in situazioni
concrete del campo scientifico, sia
teorico che tecnologico
COSA SONO?
Un frattale è un oggetto geometrico dotato di omotetia
interna: si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale
diverse, ovvero non cambia aspetto anche se visto con una
lente d'ingrandimento. Questa caratteristica è spesso chiamata
auto similarità. Il termine frattale venne coniato nel 1975 da
Benoît Mandelbrot, e deriva dal latino fractus (rotto,
spezzato), così come il termine frazione; infatti le immagini
frattali sono considerate dalla matematica oggetti di
dimensione frazionaria.
FRATTALI E NATURA
La natura produce molti esempi di forme molto simili ai
frattali. Ad esempio in un albero (soprattutto nell'abete) ogni
ramo è approssimativamente simile all'intero albero e ogni
rametto è a sua volta simile al proprio ramo, e così via; è anche
possibile notare fenomeni di auto-similarità nella forma di una
costa: con immagini riprese da satellite man mano sempre più
grandi si può notare che la struttura generale di golfi più o
meno dentellati mostra molte componenti che, se non
identiche all'originale, gli assomigliano comunque molto.
Frattali sono presenti anche nel profilo geomorfologico delle
montagne, nelle nubi, nei cristalli di ghiaccio, in alcune foglie e
fiori. Secondo Mandelbrot, le relazioni fra frattali e natura
sono più profonde di quanto si creda.
Frattale fiocco di neve
Frattale la chiocciola
Frattale bruco
Frattale rosa
Come funzionano gli oggetti frattali
