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• fondamenti
• esercizi guidati
• verifiche di autovalutazione
RS3
Carmelo Di Stefano
ARGOMENTI
FONDAMENTALI di
LOGICA e
GEOMETRIA
• Logica dei predicati
• Geometria del piano
• Geometria dello spazio
SIMONE
EDIZIONI
Estratto della pubblicazione
®
Se
sistemi editoriali
®
Gruppo Editoriale Esselibri - Simone
TUTTI I DIRITTI RISERVATI
Vietata la riproduzione anche parziale
Tutti i diritti di sfruttamento economico dell’opera appartengono alla Esselibri S.p.A.
(art. 64, D.Lgs. 10-2-2005, n. 30)
Della stessa Collana consigliamo:
Restart 1 • Argomenti fondamentali di Algebra (volume 1)
Restart 2 • Argomenti fondamentali di Algebra (volume 2)
Restart 4 • Argomenti fondamentali di Geometria analitica
Restart 5 • Argomenti fondamentali di Goniometria e Trigonometria
Progetto grafico a cura di Gianfranco De Angelis
Impaginazione e realizzazione grafici Lucia Molino
Coordinamento redazionale e revisione del testo dott. Carla Iodice
Finito di stampare nel mese di novembre 2009
dalla «Officina Grafica Iride» - Via Prov.le Arzano-Casandrino, VII Trav., 24 - Arzano (NA)
per conto della Esselibri S.p.A. - Via F. Russo, 33/d - 80123 - Napoli
Grafica di copertina a cura di Roberto Lancia
Premessa
La matematica è una delle discipline più impopolari agli occhi degli studenti che, spesso, ne rifiutano il linguaggio in quanto ritenuto troppo
formalizzato e astratto. In realtà, il linguaggio matematico è un espediente per scrivere in maniera sintetica concetti che si possono esprimere
anche a parole. Nell’intento di consentire allo studente di essere in grado
di utilizzare consapevolmente le tecniche e le procedure di calcolo, il
volume presenta gli argomenti fondamentali di logica dei predicati e di
geometria del piano e dello spazio.
Ciascun capitolo è introdotto da test di accertamento dei prerequisiti, cui
segue una parte teorica, esplicativa dell’argomento sviluppato, corredata
da numerosi esempi e grafici. Ciascun paragrafo è completato da esercizi
guidati, in cui le fasi relative allo svolgimento sono illustrate e commentate tenendo conto delle esigenze dello studente che affronta una materia
il cui contenuto, ricco di formule e grafici, richiede un assiduo impegno.
Sulla falsariga degli esercizi svolti sono proposti numerosi esercizi da
svolgere. A completamento dei capitoli, per un ulteriore ripasso degli
argomenti, sono presentate verifiche di autovalutazione.
Il testo costituisce, pertanto, un agile strumento che permette una rapida ed
efficace consultazione sia per lo studio che per il ripasso della materia.
Estratto della pubblicazione
SIMBOLOGIA
=
uguale
>
maggiore
<
minore
≥
maggiore o uguale
≤
minore o uguale
¬
negazione
∀
quantificatore universale ed equivale a Per ogni
∃
quantificatore esistenziale ed equivale a Esiste almeno un
∧ o et
congiunzione logica
∨ o vel
disgiunzione inclusiva
∨& o aut
disgiunzione esclusiva
⇒
implicazione materiale
⇔
doppia implicazione materiale
//
condizione di parallelismo tra due rette
⊥
condizione di perpendicolarità tra due rette
^
vertice di un angolo
:
similitudine fra due figure
Estratto della pubblicazione
Capitolo 1
Logica
dei predicati
Prerequisiti
Obiettivi
• Sapere che cos’è una proposizione
• Distinguere proposizioni del linguaggio comune
da proposizioni logiche
• Concetti di aritmetica e geometria elementare
• Le operazioni insiemistiche
• Determinare il valore di verità di enunciati logici
• Saper utilizzare scritte simboliche per rappresentare leggi di natura qualsiasi
• Saper negare semplici proposizioni
• Acquisire la capacità di negare proposizioni contenenti quantificatori
• Saper compilare e interpretare semplici tabelle
di verità
1
Test di accertamento dei prerequisiti
Logica dei predicati
Di seguito sono proposte alcune domande di varia tipologia, per stabilire la capacità personale di affrontare gli
argomenti svolti in questo capitolo. Ogni tipologia ha un punteggio associato, per un totale massimo di 80
punti, se si ottiene un punteggio inferiore a 48 vuol dire che non si è raggiunta la sufficienza.
Le risposte esatte sono riportate a fine capitolo.
Quesiti a scelta multipla con più risposte esatte
(1 punto per ogni risposta esatta, 1 punto di penalità per ogni risposta errata, 5 punti se si forniscono solo tutte
le risposte esatte)
Per ogni quesito tracciare un segno nell’apposito quadratino sulle scelte corrette.
1 Quali fra i seguenti elenchi sono ordinati in modo crescente secondo l’ordine alfabetico?
A Acqua, Accetta, Abele
C Baco, Bacone, Bacco
B Arco, Arcangelo, Arca
D Carta, Cartella, Cartina
E Marca, Marche, Marco
2 Quali fra i seguenti insiemi sono vuoti?
A
Numeri naturali negativi
B Numeri interi minori di 0
D Triangoli con due angoli retti
E Fiumi terrestri lunghi più di 10.000 km
C Triangoli con tre angoli acuti
3 Quali fra le seguenti frasi possono considerarsi false?
A
La rivoluzione francese avvenne nel XIX secolo
B Maometto è vissuto dopo Gesù
C L’Italia non confina con la Germania
D Beethoven ha composto più di 10 sinfonie
E
Pinocchio è un personaggio inventato da Walt Disney
Quesiti a scelta multipla con una sola risposta esatta
(5 punti per ogni risposta corretta)
Per ogni quesito tracciare un segno nell’apposito quadratino sull’unica scelta corretta.
4 Quale fra le seguenti è una coppia di insiemi disgiunti?
A
NeZ
B Numeri multipli di 3 e numeri multipli di 4
6
Capitolo 1
Estratto della pubblicazione
Test di accertamento dei prerequisiti
C Triangoli isosceli e triangoli rettangoli
D Numeri primi e numeri pari
E Sono tutte coppie di insiemi non disgiunti
5 Quale delle seguenti operazioni non è commutativa?
A Addizione fra numeri reali
B Numeri multipli di 3 e numeri multipli di 4
C Divisione fra numeri razionali
D Intersezione di insiemi
E Tutte le precedenti operazioni sono commutative
6 Quale delle seguenti figure geometriche esiste?
A Triangolo rettangolo equilatero
B Triangolo rettangolo isoscele
C Triangolo ottusangolo equilatero
D Quadrilatero con tre angoli ottusi
E Tutte le precedenti figure geometriche non esistono
Quesiti a risposta numerica
(10 punti per ogni risposta esatta)
Rispondere con un numero alle seguenti domande.
7 Quanti elementi ha l’insieme dei multipli di 3 compresi tra 31 e 74? ........................
8 Quanti dei multipli di 4 compresi tra 10 e 87 sono anche multipli di 6? ....................
9 Se un insieme A ha 5 elementi e un insieme B ne ha 3, quanti elementi ha minimo
A ∪ B? ………………
10 Qual è il più piccolo numero intero x maggiore di 1 tale che esistano 3 numeri interi
y, z e t con x ≠ y ≠ z ≠ t per cui si abbia: x = y 2 = z 3 = t 4? .........................................
11 Quanti divisori ha 24? ................................................................................................
Logica dei predicati
7
1
Capitolo
Logica dei predicati
1.1. Prime nozioni
1.1.1. Enunciati logici
La lingua italiana, come altre lingue, ma più in generale come i codici che permettono lo scambio di informazioni, come per esempio l’informatica, ma anche
i segnali stradali o le note musicali, ha delle leggi che la regolamentano. Vi sono
delle regole relative all’ortografia, altre alla pronuncia, altre ancora alla formazione delle frasi, quindi regole di tipo grammaticale o sintattico.
ESEMPIO
Possiamo formare frasi prive di senso, usando a caso le lettere, come se le pescassimo da un’urna, o dei vocaboli singolarmente corretti ma che formano frasi illogiche.
Ovviamente, nel linguaggio corrente, hanno senso frasi accettabili da ogni punto di vista (ortografico, grammaticale, ...).
1.
2.
3.
4.
5.
xyzuwii epqopeq
Quando mentre voglio elle
Nel 1789 in Francia scoppiò la rivoluzione
Pitagora è vissuto nel XIX secolo
Questo è un bel libro!
In questo caso tutte le frasi hanno un senso. Addirittura alle prime due possiamo
anche associare un valore di verità. La frase 3 è vera, la 4 è falsa. Invece la
frase 5 esprime un’opinione.
Anche in matematica usiamo frasi della lingua italiana, ma solo frasi sensate, a cui possiamo sempre associare un valore di verità. Non useremo quindi opinioni personali.
Diciamo enunciato logico una frase per la quale si può stabilire in modo univoco se essa è coerente e se si può dire di essa che è vera o falsa in maniera definitiva.
Non sono enunciati logici opinioni, anche se largamente condivise, come Papa
Giovanni Paolo II è stato uno dei personaggi più importanti del XX Secolo.
8
Capitolo 1
1.1.2. La negazione
Possiamo essere interessati non solo a stabilire quali elementi verificano una certa proprietà ma anche quali non la verificano. Quindi dobbiamo negare gli enunciati logici. In matematica usiamo un’opportuna simbologia.
Per indicare la negazione di una proposizione A scriviamo ¬A oppure A .
Quindi, per esempio, per indicare che non è vero che x è un numero maggiore di
5, possiamo scrivere: ¬( x > 5) , che è lo stesso che scrivere x ≤ 5 . In questo caso
probabilmente avremmo pensato che la negazione di x > 5 è x < 5, ciò non è
vero, perché anche il numero 5 verifica la proprietà di non essere maggiore di 5.
Poniamo allora una definizione.
Due proposizioni, A e B, che si riferiscono agli stessi oggetti le diciamo proposizioni compatibili
se possono essere contemporaneamente entrambe vere o entrambe false, diversamente le diciamo proposizioni incompatibili.
Due proposizioni, A e B, fra loro incompatibili sono complementari se dall’essere falsa A segue la
verità di B.
Pertanto, le proposizioni x > 5 e x < 5 sono ovviamente incompatibili, dato
che non esistono numeri contemporaneamente più grandi e più piccoli di 5,
invece x < 5 e x ≤ 5 sono compatibili perché il numero 5 le verifica entrambe.
Invece le proposizioni x > 5 e x ≤ 5 sono addirittura complementari, perché qualunque numero reale consideriamo verifica esattamente una delle due proprietà.
1.1.3. I quantificatori
In matematica, spesso si ha a che fare con proprietà che riguardano tutti gli elementi
di un dato insieme, o comunque si cercano proprietà verificate da tutti gli elementi,
oppure si cercano particolari elementi che verificano date proprietà. Per enunciare
correttamente tali proprietà abbiamo però bisogno di porre alcune definizioni.
Una espressione del tipo tutti, per ogni, co- Il quantificatore universale si indica con il simmunque sia, e simili che si riferisce alla totali- bolo ∀ , il quantificatore esistenziale si indica
tà degli elementi di un insieme si dirà quantifi- con il simbolo ∃ .
catore universale. Una espressione del tipo
esiste, vi è, alcuni e simili riguardante uno o
più elementi di un insieme si dirà quantificatore esistenziale.
dei predicati
Estratto dellaLogica
pubblicazione
9
ESEMPIO
L’enunciato logico falso:
Tutti i numeri primi sono numeri dispari
si può esprimere anche in uno dei seguenti modi equivalenti:
Ogni numero primo è un numero dispari
Comunque si consideri un numero primo esso è un numero dispari
e altri ancora.
Tale enunciato si indica simbolicamente con x ∈D,∀x ∈P , dove indichiamo
con D l’insieme dei numeri dispari e con P quello dei numeri primi.
Invece l’enunciato vero:
Vi sono rombi che sono quadrati
può esprimersi in uno dei seguenti modi equivalenti:
Esistono rombi che sono quadrati
Alcuni rombi sono quadrati
Almeno un rombo è un quadrato
Tale enunciato si esprime simbolicamente con ∃x ∈R :x ∈Q , dove abbiamo indicato con R l’insieme dei rombi e con Q quello dei quadrati.
Vediamo qualche esempio sull’attività inversa di traduzione di un’espressione
simbolica in linguaggio quotidiano.
ESEMPIO
Vogliamo “leggere” in linguaggio naturale il seguente enunciato simbolico:
x ∈P ,∀x ∈T
tenuto conto che con P indichiamo l’insieme dei poligoni e con T l’insieme dei
triangoli.
Leggeremo:
Tutti i triangoli sono poligoni
oppure
Ogni triangolo è un poligono
o in modi equivalenti.
L’espressione:
∃x ∈M 3 :x ∈M 4
in cui con M 3 indichiamo l’insieme dei multipli di 3 e con M 4 quello dei multipli
di 4, può essere letta
Vi sono multipli di 3 che sono multipli di 4
Qualche multiplo di 3 è anche multiplo di 4
o in modi equivalenti.
10
Capitolo 1
Estratto della pubblicazione
Si faccia attenzione a non considerare equivalenti
Vi è almeno un elemento verificante una proprietà
e
Esattamente uno o più elementi verificano una proprietà
Per esempio, entrambi gli enunciati logici Almeno un numero primo è pari e Esattamente un numero primo è pari sono veri, ma il secondo è più preciso del primo.
1.1.4. Negazione dei quantificatori
In questo paragrafo illustreremo come negare i quantificatori. Se non è vero che:
Tutti i numeri primi sono dispari
cosa è vero? Ossia, qual è la corretta negazione dell’enunciato precedente? Probabilmente penseremmo di dire che essa è:
Nessun numero primo è dispari
Ci rendiamo conto però che questa frase è falsa, quindi non può essere la negazione della data frase anch’essa falsa.
Ma se una proprietà non è verificata da tutti non vuol dire che non è verificata da
nessuno, ma che non è verificata da almeno uno. Così, la corretta negazione è:
Esiste almeno un numero primo che non è dispari
Allo stesso modo la negazione dell’enunciato esistenziale:
Esiste almeno un numero pari che è dispari
Si servirà dell’enunciato universale:
Tutti i numeri pari non sono dispari
Grazie alle precedenti considerazioni enunciamo le seguenti regole, in cui il simbolo ≡ indica che le due scritte sono equivalenti, hanno cioè lo stesso significato
e P(x) indica una generica proprietà verificata dagli elementi x di un insieme X.
R
egola 1 • La negazione di Tutti gli elementi verificano la proprietà P è Almeno
un elemento non verifica la proprietà di P; in simboli:
¬P ( x ) ,∀x ∈ X ≡ ∃x ∈ X :¬P ( x )
R
egola 2 • La negazione di Almeno un elemento non verifica la proprietà P è
Nessun elemento verifica la proprietà P; in simboli:
¬⎡⎣∃x ∈ X : P ( x )⎤⎦ ≡¬P ( x ) ,∀x ∈ X
dei predicati
Estratto dellaLogica
pubblicazione
11
1
Logica dei predicati
Esercizi svolti |
123
1 • Vogliamo stabilire quali fra le seguenti frasi sono enunciati logici, determinando il relativo valore
di verità per quelle che lo sono:
• 14 è divisibile per 2. L’enunciato non è equivoco e si riferisce a una proprietà verificabile, quindi è un enunciato logico ed è anche vero.
• La matematica è una materia difficile. Questa è un’opinione personale non un enunciato logico.
• Un triangolo equilatero non è acutangolo. È un enunciato logico falso.
2 • Date le seguenti coppie di enunciati, vogliamo stabilire quali sono compatibili, quali incompatibili e quali complementari:
Il triangolo ABC è scaleno – Il triangolo ABC è isoscele
Non esistono triangoli contemporaneamente scaleni e isosceli. Pertanto gli enunciati sono incompatibili, anzi sono complementari perché ogni triangolo o è scaleno o è isoscele (anche i triangoli
equilateri sono isosceli).
n è numero positivo – n è un numero negativo
Non esistono numeri contemporaneamente positivi e negativi, ma esiste lo zero che non è né negativo né positivo. Pertanto gli enunciati sono incompatibili ma non complementari
n è divisibile per 5 – n è divisibile per 7
Gli enunciati sono compatibili perché ci sono numeri come il 35 che sono divisibili sia per 5 sia per 7.
3 • L’enunciato logico vero:
Tutti i numeri x diversi da zero hanno quadrato positivo
Simbolicamente si scrive
x 2 >0,∀x ≠0
La sua negazione, falsa, è:
Qualche numero diverso da zero ha il quadrato non positivo
che in simboli diventa:
∃x ≠0:x 2 ≤0
4 • La traduzione simbolica dell’enunciato falso:
Vi sono numeri naturali minori di uno
è
∃n ∈N :n <1
La sua negazione, vera, è:
Ogni numero naturale è maggiore o uguale a uno
12
Capitolo 1
Estratto della pubblicazione
In simboli:
n 2 ≥1,∀n ∈N
1
Logica dei preciati
Esercizi proposti |
31 2
Le risposte esatte sono riportate a fine capitolo.
Stabilire quali fra le seguenti frasi sono enunciati logici, determinando il relativo valore di verità
per quelli che lo sono
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Un triangolo rettangolo ha tre angoli retti
Il numero 3 è un numero intero
L’Everest è la montagna più alta del mondo
Dal punto di vista naturalistico l’Etna è il vulcano più interessante d’Europa
Il quadrato è il poligono più regolare
Il quadrato è un poligono regolare
Il quadrato è l’unico poligono regolare
I cani sono dei mammiferi
Alcuni esseri umani vivono più di 500 anni
I numeri multipli di 10 sono pari
Date le seguenti coppie di enunciati dire quali sono compatibili, quali incompatibili ma non
complementari e quali complementari
11
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17
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19
20
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Indosso una maglia tutta nera; Indosso una maglia tutta bianca
Indosso una maglia con colori neri; Indosso una maglia con colori bianchi
Marco ha un cane; Marco ha un gatto
Sono sposato; Sono celibe
Gianni è maggiorenne; Gianni è minorenne
Ingrid è nata in Italia; Ingrid è nata in Germania
F è una figura concava; F è una figura convessa
A ⊂B;B ⊂ A
A ⊆B;B ⊆ A
I è un insieme finito; I è un insieme infinito
Tradurre in simboli matematici i seguenti enunciati logici espressi in linguaggio naturale
21 • Alcuni numeri razionali sono numeri naturali
22 • Tutti i maggiorenni sanno guidare l’automobile (M insieme dei maggiorenni, A insieme di
coloro che sanno guidare l’auto)
Logica dei predicati
13
23
24
25
26
•
•
•
•
27 •
28 •
29 •
30 •
Almeno un numero reale non è razionale
Ogni abruzzese è italiano (I insieme degli italiani, A insieme degli abruzzesi)
Alcuni europei sono francesi (E insieme degli europei, F insieme dei francesi)
Esistono elementi chimici che hanno 3 elettroni (E insieme degli elementi chimici, T insieme
degli elementi che hanno 3 elettroni)
Comunque si consideri un numero reale il suo quadrato non è negativo
Ogni multiplo di 6 è un multiplo di 3 ( M 3 insieme dei multipli di 3, M 6 insieme dei multipli
di 6)
Alcuni multipli di 8 non sono multipli di 12 ( M 8 insieme dei multipli di 8, M 12 insieme dei
multipli di 12)
Alcuni parallelogrammi non sono rettangoli (P insieme dei parallelogrammi, R insieme dei rettangoli)
Tradurre in linguaggio naturale i seguenti enunciati logici espressi in simboli
31 • ∃n ∈N :n <3
32 • n > 0, ∀n ∈N
3
33 • x >100,∀x >5
34 • A \B ⊂ A∩B,∀A,B
35 • ∃X :A∪X =A,∀X ⊂ A
1
36 • ∃n ∈N : >10
n
37 • d ∉P ,∀d ∈D (P insieme di quelli che prendono pesci, D insieme di quelli che dormono)
38 • u ∉P ,∀u ∈U (P insieme degli esseri perfetti, U insieme degli esseri umani)
39 • s ∈R,∀s ∈S (R insieme dei percorsi che portano a Roma, S insieme delle strade)
40 • ∃x ∈U :x ∈C (U insieme degli esseri umani, C insieme di quelli a cui piace il jazz caldo)
Costruire le negazioni degli enunciati seguenti, esprimendole poi in forma simbolica. Dire poi
quali fra le due proposizioni è vera
41 • Alcuni numeri razionali sono interi
42 • Tutti i numeri naturali sono dei quadrati perfetti. (P insieme dei quadrati perfetti)
43 • Vi sono dei triangoli scaleni che sono triangoli rettangoli. (S insieme dei triangoli scaleni, R
insieme dei triangoli rettangoli)
44 • Si possono trovare numeri dispari maggiori di un qualunque numero pari ( N p indica l’insieme dei numeri pari, N d quello dei dispari)
45 • Tutte le coppie di insiemi sono disgiunte
14
Capitolo 1
1.2. I connettivi
Anche per gli enunciati possiamo definire delle operazioni, proprio come si fa per
i numeri e in generale per gli insiemi.
Dati due enunciati logici, diciamo loro con- La congiunzione logica si indica con et o con il
giunzione l’enunciato il cui valore di verità è simbolo ∧ .
vero solo se entrambi gli enunciati componenti
sono veri.
Vediamo di capire perché abbiamo definito in questo modo la congiunzione.
ESEMPIO
Se Attilio promette alla sua amica Giuliana:
Domani ti porterò al cinema e a ballare
quando potremo dire che ha mantenuto la promessa?
Ovviamente solo quando avrà mantenuto entrambe le promesse.
Dal punto di vista insiemistico è semplice rendersi conto che l’operazione di
congiunzione equivale all’intersezione di insiemi.
Come per le operazioni numeriche per cui costruiamo le cosiddette tabelle pitagoriche anche per le operazioni sugli enunciati logici possiamo costruire adeguate tabelle, dette di verità, in cui consideriamo i valori degli enunciati componenti
e il relativo valore dell’enunciato composto. Così per la congiunzione avremo la
seguente tabella, dove indichiamo con p e q due generici enunciati logici:
p
q
V
V
F
F
V
F
V
F
p∧q
V
F
F
F
Vediamo un’altra operazione.
dei predicati
Estratto dellaLogica
pubblicazione
15
ESEMPIO
Stavolta Attilio promette alla sua amica Giuliana:
Domani ti porterò al cinema o a ballare
Quando potremo dire che ha mantenuto la promessa?
Prima di rispondere chiediamoci se la seguente promessa è equivalente alla
precedente:
Domani o ti porterò al cinema o a ballare
Le due promesse differiscono solo per la congiunzione o, che nella seconda viene
ripetuta due volte. In effetti questa ripetizione indica l’esclusione di una delle
due eventualità. Ossia se andranno a ballare non andranno anche al cinema e
viceversa. Invece nel primo caso, con una sola o, la promessa sarà considerata
mantenuta purché Attilio compia anche una sola delle due azioni.
Nell’esempio precedente abbiamo evidenziato due diversi significati per la congiunzione
o, uno di tipo inclusivo (posso fare solo una cosa o entrambe) e uno di tipo esclusivo
(faccio solo una di due cose). In latino, a differenza dell’italiano, esistono due diverse
congiunzioni o, vel per indicare la prima possibilità e aut per la seconda.
Dati due enunciati logici, diciamo loro disgiun- Con vel o simbolicamente con ∨ indicheremo
zione inclusiva l’enunciato il cui valore di veri- l’o inclusivo e con aut o simbolicamente con ∨&
tà è falso solo se entrambi gli enunciati compo- indicheremo l’o esclusivo.
nenti sono falsi.
Dati due enunciati logici, diciamo loro disgiunzione esclusiva l’enunciato il cui valore di verità è vero solo se uno solo degli enunciati componenti è vero.
Presentiamo le due relative tabelle di verità:
p
q
V
V
F
F
V
F
V
F
p∨q
V
V
V
F
p ∨& q
F
V
V
F
Dal punto di vista insiemistico è facile capire che l’operazione di disgiunzione
inclusiva equivale all’unione e quella di disgiunzione esclusiva all’operazione di
differenza simmetrica.
16
Capitolo 1
Estratto della pubblicazione
Prendiamo adesso in considerazione le frasi di tipo ipotetico, come enunciati dei
teoremi.
Un enunciato del tipo Se p allora q, con p e q L’implicazione materiale Se p allora q si indica
proposizioni logiche, si dice implicazione ma- simbolicamente con p ⇒ q.
teriale. In una implicazione materiale l’enunciato p si chiama antecedente e l’enunciato q
conseguente.
Ci domandiamo quale sarà la tabella di verità dell’implicazione materiale.
ESEMPIO
Attilio promette alla sua amica Giuliana:
Se domani rincaso dal lavoro prima delle 20:00 ti porto al cinema
Quando potremmo dire che ha mantenuto la promessa? Certamente se è ritornato prima delle 20:00 e ha portata Giuliana al cinema. Così diremo che non l’ha
mantenuta se invece , pur essendo tornato in tempo, non l’ha portata al cinema.
Se riflettiamo un attimo però potremmo dire che ha mantenuto la promessa
anche nei seguenti due casi:
• è rincasato dopo le 20:00 e ha portato Giuliana al cinema;
• è rincasato dopo le 20:00 e non ha portato Giuliana al cinema.
E ciò per il semplice fatto che Attilio non si è espresso su cosa avrebbe fatto se
fosse tornato dopo le 20:00.
Tenuto conto di quanto appena detto, possiamo dire che la tabella di verità per
l’implicazione materiale è la seguente:
p
q
V
V
F
F
V
F
V
F
p⇒ q
V
F
V
V
Si stia attenti a non confondere il concetto di implicazione materiale con quello
di deduzione. Sia in Matematica sia nel linguaggio ordinario diciamo che un
fatto B si deduce da un altro A, se dal solo fatto che è accaduto A possiamo dire
con certezza che è accaduto anche il fatto B. Nel nostro esempio, quindi, sapendo che Attilio ha portato Giuliana al cinema non possiamo dedurre che è rincasato prima delle 20:00. Vedremo in seguito cosa deve accadere per effettuare una
corretta deduzione, e quindi una dimostrazione.
dei predicati
Estratto dellaLogica
pubblicazione
17
ESEMPIO
Se infine Attilio promette alla sua amica Giuliana:
Solo se domani rincaso dal lavoro prima delle 20:00 ti porto al cinema
Allora la promessa sarà mantenuta solo se è ritornato prima delle 20:00 e ha
portato Giuliana al cinema e non sarà mantenuta quando, tornato in tempo, non
l’ha portata al cinema.
Un enunciato del tipo p se e solo se q, con p e q La doppia implicazione materiale p se e solo se
proposizioni logiche, si dice doppia implicazio- q si indica simbolicamente con p ⇔ q.
ne materiale.
La seguente è la tabella di verità della doppia implicazione materiale:
1
p
q
V
V
F
F
V
F
V
F
Logica dei predicati
p⇔ q
V
F
F
V
Esercizi svolti |
123
1 • Consideriamo le seguenti proposizioni logiche composte:
1.
2.
3.
4.
5.
La squadra italiana nel XX secolo ha vinto tre campionati del mondo di calcio e ha partecipato a
tutte le finali.
La squadra italiana nel XX secolo ha vinto tre campionati del mondo di calcio o ha partecipato a
tutte le finali.
O la squadra italiana nel XX secolo ha vinto tre campionati del mondo di calcio o ha partecipato a
tutte le finali.
Se la squadra italiana nel XX secolo ha vinto tre campionati del mondo di calcio allora ha partecipato a tutte le finali.
Solo se la squadra italiana nel XX secolo ha vinto tre campionati del mondo di calcio allora ha
partecipato a tutte le finali.
Stabiliamo quali di esse sono vere e quali false
Cominciamo con lo stabilire il valore di verità degli enunciati componenti: La squadra italiana nel XX
secolo ha vinto tre campionati del mondo di calcio è vera, mentre La squadra italiana nel XX secolo ha
partecipato a tutte le finali del campionato del mondo di calcio è falsa.
Pertanto, tenuto conto delle relative tabelle di verità possiamo dire che sono veri gli enunciati composti 2 e 3, sono falsi tutti gli altri.
18
Capitolo 1
Estratto della pubblicazione
2 • Consideriamo la proposizione logica Stasera mangerò spaghetti o pizza, con che significato è
usato il connettivo o?
Dato che è possibile nella stessa sera mangiare sia spaghetti sia pizza, abbiamo a che fare con un
o inclusivo, che corrisponde al latino vel, quindi al connettivo ∨ .
3 • Consideriamo l’enunciato Stasera alle 21:00 mi troverò a Roma o a Londra, con che significato è
usato il connettivo o?
L’enunciato contiene il connettivo o usato in senso esclusivo, dato che non è possibile essere in due
posti lontani centinaia di chilometri nello stesso momento.
4 • Consideriamo l’affermazione seguente:
Se 123.321 è divisibile per 11 allora 123.456 è divisibile per 4
Vogliamo interpretarla dal punto di vista della logica, stabilendone quindi il valore di verità
Il numero 123.321 è divisibile per 11, come si verifica immediatamente con il criterio adatto, anche
il numero 123.456 è divisibile per 4 (le sue ultime due cifre, 56, lo sono). Abbiamo perciò a che fare
con una implicazione del tipo vero ⇒ vero, che è perciò una proposizione vera. Ovviamente questa
non è una deduzione, il fatto che 123.456 sia divisibile per 4 non ha niente a che fare con il fatto che
123.321 sia divisibile per 11.
5 • L’affermazione: Solo se 256 è un quadrato perfetto allora 121 è un cubo perfetto. Vogliamo interpretarla dal punto di vista della logica, stabilendone quindi il valore di verità.
In questo caso abbiamo a che fare con una coimplicazione materiale falsa perché formata da antecedente
vero e conseguente falso. Anche in questo caso i due enunciati non hanno alcun legame logico fra di loro.
1
Logica dei predicati
Esercizi proposti |
31 2
Le risposte esatte sono riportate a fine capitolo.
Stabilire il valore di verità dei seguenti enunciati composti mediante il connettivo ∧
1
2
3
4
5
6
7
8
•
•
•
•
•
•
•
•
Il numero 3 è un numero primo e un numero dispari
La Francia confina con il Belgio e la Germania
L’Italia ha partecipato alla I e alla II guerra mondiale
La rivoluzione francese e la rivoluzione americana sono avvenute nel XVIII secolo
123.456 è multiplo di 3 e di 11
12 è divisibile per 6 e ha esattamente 6 divisori
Se A ⊆B, allora A∪B =B ∧A∩B =A
Se A ⊆B ⊆C , allora A∪B ⊆ A∪C ∧B ∩C ⊆ A∩C
dei predicati
Estratto dellaLogica
pubblicazione
19
9 • Un quadrato ha tutti i lati e tutti gli angoli interni isometrici
10 • Il numero che misura il perimetro di un triangolo equilatero è sempre un numero naturale ed
è divisibile per 3
Nelle seguenti proposizioni logiche composte determinare se l’o è utilizzato in senso inclusivo o
esclusivo
11
12
13
14
15
16
17
18
19
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Il primogenito di mia sorella è un maschio o una femmina
In questo negozio si fanno sconti ai militari o agli studenti
Al museo entrano gratuitamente i minorenni o quelli che hanno almeno 60 anni
Domani mattina andrò al mare o in montagna
Chiamiamo numeri belli quelli che sono multipli di 5 o di 7
Stasera leggerò un libro di Pirandello o un libro scritto in inglese
Giovanna chiamerà il figlio che sta per nascerle Giorgio o Antonio
Ci imbarcheremo sulla nave a Catania o a Palermo
Chiamiamo triangoli simpatici quelli che hanno un angolo che misura quanto gli altri due
insieme o i triangoli equilateri
20 • I successivi dei numeri interi quadrati perfetti sono numeri primi o numeri composti
Tenuto conto della tabella di verità dell’implicazione materiale stabilire il valore di verità delle
seguenti proposizioni
21
22
23
24
•
•
•
•
25
26
27
28
•
•
•
•
Se Parigi è la capitale della Francia allora Roma è capitale dell’Italia
Se 13 è un numero primo allora 24 è divisibile per 5
Se il rettangolo ha tutti gli angoli retti, allora il triangolo equilatero ha tutti gli angoli acuti.
Se un triangolo equilatero ha tutte le sue altezze coincidenti con le rispettive mediane allora
il quadrato ha le diagonali di uguale misura
Se 1.223.334.444 è divisibile per 11, allora 4.444.333.221 è divisibile per 2
Se 123 è un numero primo allora 124 è un numero composto
Se ∅⊆ A allora A∩∅=∅
Se A∩A≠A allora A∪A=∅
Stabilire quali fra i seguenti enunciati composti sono veri utilizzando la tabella di verità della
doppia implicazione materiale
29 • Roma è capitale d’Italia se e solo se Parigi è capitale delle Francia
30 • Un triangolo ha due angoli ottusi se e solo se un triangolo rettangolo ha tutti i lati di uguale
misura
31 • 7 è un numero primo se e solo se 45 è divisibile per 3
32 • 12 è un numero dispari se e solo se lo è 42
33 • 16 è un quadrato perfetto se e solo se anche 11 lo è
34 • 12.345 è divisibile per 11 se e solo se non è divisibile per 5
20
Capitolo 1
35 • Sia A ⊆B . A∩B =A⇔A∪B =B
36 • Sia A ⊆B ⊆C . ( A∪B )∩C =A⇔ ( A∩B )∪C =C
37 • Sia A ⊆B ⊆C ⊆D . ( A∩B )∪ (C \D ) =D ⇔ ( A∪B ) \D =A
38 • Siano i punti A ≡ (1, –3) e B ≡ (3, –1). A è un punto del I quadrante se e solo se B è un punto del II quadrante
1.3. Schemi deduttivi
In questo paragrafo vogliamo vedere cosa deve accadere per potere effettuare
corrette deduzioni, almeno in alcuni casi particolari.
Cominciamo con alcune definizioni.
Diciamo che una condizione C è necessaria affinché accada un certo fatto F se ogniqualvolta C
è falsa anche F lo è.
Diciamo che una condizione C è sufficiente affinché accada un certo fatto F se ogniqualvolta C è
vera anche F lo è.
ESEMPIO
Consideriamo il numero 714.212.835. È facile notare che esso è divisibile per 7,
infatti le sue cifre possono essere separate in numeri tutti divisibili per 7: 7, 14,
21, 28, 35. Ciò accade per qualsiasi altro numero con analoghe caratteristiche,
a esempio per 7.014.142.128 per cui possiamo dire che una condizione sufficiente a garantirci che un numero risulti divisibile per 7 è che abbia le cifre separabili in più di un gruppo in modo che ognuno dei gruppi rappresenti un numero divisibile per 7. Tale condizione non è però necessaria affinché un numero
sia divisibile per 7: per esempio il numero 868 lo è ma nessuna suddivisione
delle sue cifre in più di un gruppo (8 – 6 – 8, 86 – 8, 8 – 68), ci fornisce tutti
numeri divisibili per 7.
Una condizione necessaria per la divisibilità per 6 è che il numero sia pari. Ovviamente la condizione non è sufficiente perché per esempio 4 è pari ma non è
divisibile per 6.
Infine, la condizione affinché la somma delle cifre di un numero sia divisibile per
3 o per 9 è condizione sia necessaria sia sufficiente per la divisibilità per 3 o 9
rispettivamente. In questo caso quindi quanto affermato può essere considerato
un criterio di divisibilità per 3.
dei predicati
Estratto dellaLogica
pubblicazione
21
L’esempio ci permette di effettuare alcune deduzioni.
Per esempio mediante le condizioni necessarie possiamo negare quei fatti che
contravvengono alla condizione.
ESEMPIO
Tenuto conto che la condizione di essere pari è condizione necessaria per essere
divisibile per 6, sapendo che un numero non è pari possiamo dedurre che non è
divisibile per 6. Per esempio il numero 12.345.678.910.111.213 non è certamente divisibile per 6.
Invece le condizioni sufficienti ci permettono di dedurre affermazioni per quei
fatti che le verificano.
ESEMPIO
Poiché è condizione sufficiente affinché un triangolo sia isoscele che sia
equiangolo, possiamo dire che ogni triangolo equilatero è equiangolo, quindi
anche isoscele. Però non possiamo dire che ogni triangolo isoscele è equiangolo, perché la condizione non è anche necessaria. Ci sono triangoli isosceli
non equilateri.
Il fatto che la condizione sia necessaria e sufficiente significa che essa risulta
una condizione caratteristica dell’ente matematico a cui essa si riferisce, quindi può essere presa come caratterizzazione di tale ente, il quale può quindi
essere definito come l’unico oggetto matematico che verifica la suddetta proprietà.
Adesso ritorniamo all’implicazione materiale, della quale avevamo detto che non
poteva considerarsi una corretta deduzione. Mediante essa però possiamo costruire un corretto schema deduttivo.
Chiameremo modus ponens lo schema deduttivo formato da:
Ipotesi: La proposizione p è vera e l’implicazione materiale p ⇒ q è vera.
Tesi: La proposizione q è vera.
In un teorema si applica il modus ponens, quando si ha a che fare con una condizione sufficiente, dato che tale schema equivale a dire che l’avverarsi della
proposizione p risulta sufficiente per l’avverarsi dell’enunciato q.
22
Capitolo 1
ESEMPIO
Sappiamo che se un numero ha la cifra delle unità uguale a 0, allora il numero è
pari. Allora grazie al modus ponens possiamo dedurre che ciascuno dei seguenti numeri:
120, 254.070, 330.120, 210.214.100
è pari.
Possiamo perciò dire che condizione sufficiente affinché un numero sia pari è che
la sua cifra delle unità sia zero. Ancora una volta la condizione non è necessaria,
dato che, per esempio, 24 è pari ma la sua cifra delle unità non è zero.
Chiameremo modus tollens lo schema deduttivo formato da:
Ipotesi: La proposizione q è falsa e l’implicazione materiale p ⇒ q è vera.
Tesi: La proposizione p è falsa.
In un teorema si applica il modus tollens quando si ha a che fare con una condizione necessaria. Infatti, se q non si verifica allora neanche p risulta vera, cioè q
è necessario per il verificarsi di p.
ESEMPIO
Consideriamo il teorema:
Un rombo ha le diagonali perpendicolari
in base al modus tollens possiamo affermare che:
Se in un quadrilatero ABCD le diagonali non sono perpendicolari
allora ABCD non è un rombo.
Il teorema si può anche enunciare così:
Condizione necessaria affinché un quadrilatero ABCD
sia un rombo è che abbia le diagonali perpendicolari.
La condizione “avere le diagonali perpendicolari” non è sufficiente ad assicurarci che un quadrilatero sia un rombo; infatti possiamo costruire quadrilateri con
le diagonali perpendicolari che non sono rombi.
Da quanto abbiamo detto ci rendiamo conto che le condizioni necessarie e sufficienti possono essere trattate sia con il modus ponens che con il modus tollens.
dei predicati
Estratto dellaLogica
pubblicazione
23
Un altro semplice schema deduttivo è il seguente:
Chiameremo sillogismo disgiuntivo lo schema deduttivo formato da:
Ipotesi: La proposizione p ∨ q è vera e la proposizione p (oppure q) è falsa.
Tesi: La proposizione q (oppure p) è vera.
ESEMPIO
Consideriamo il teorema:
Se un numero è divisibile 5 la sua cifra delle unità è 0 o 5
In questo caso il connettivo o è usato come un aut, dato che non è possibile che
la cifra delle unità sia contemporaneamente 0 e 5. Allora se sappiamo che un
certo numero n è divisibile per 5 ma non finisce per 0, possiamo concludere,
anche senza conoscere n che la sua cifra delle unità è 5.
Se interpretiamo un teorema come un’implicazione materiale, possiamo costruire
da esso altre tre proposizioni. Precisamente, da:
p⇒q
possiamo considerare
q ⇒ p;¬p ⇒ ¬q;¬q ⇒ ¬p
Data una certa proprietà P, quella che si ottiene scambiando fra loro ipotesi e tesi di P, si chiama
proprietà inversa di P.
In simboli q ⇒p.
Data una certa proprietà P, quella che si ottiene considerando come sua ipotesi la negazione
dell’ipotesi di P e come sua tesi la negazione della tesi di P, si chiama proprietà contraria di P.
In simboli ¬p ⇒¬q .
Data una certa proprietà P, quella che si ottiene considerando come sua ipotesi la negazione
della tesi di P e come sua tesi la negazione dell’ipotesi di P, si chiama proprietà conversa di P.
In simboli ¬q ⇒¬p.
Vediamo qualche esempio.
24
Capitolo 1
Estratto della pubblicazione