Equazioni e identità come enunciati aperti

capitolo
5
Equazioni di primo grado
Equazioni e identità come enunciati aperti
Nella logica matematica si chiama enunciato aperto una proposizione che coinvolge una
o più variabili e che può assumere valore di vero o falso a seconda dei valori attribuiti alle variabili.
Per esempio, le proposizioni
1. 1: “x è un numero intero tale che la somma tra esso e il suo doppio è uguale a 15”
2. 2: “x è un numero razionale il cui quadrato è –5”
3. 3: “x è un numero reale tale che la somma tra esso e il suo doppio è uguale al suo triplo”
sono enunciati aperti.
È evidente che il valore VERO o FALSO da attribuire a 1 dipende dal valore di x, che 2
è sempre falsa, mentre 3 è sempre vera.
Infatti, utilizzando il simbolismo dell’algebra si può scrivere:
1. 1: x + 2x = 15 (x ∈). Si tratta dell’equazione 3x = 15 la cui soluzione è x = 5, quindi 1 è vera solo per x = 5, falsa per ogni altro valore.
2. 2: x 2 = – 5 (x ∈), falsa per ogni x razionale, perché i quadrati dei numeri razionali
non possono essere negativi.
3. 3: x + 2x = 3x sempre vera; 3 è una identità.
In definitiva, riferendoci a equazioni nella sola variabile x, appartenente a un dato insieme I, possiamo dire che l’enunciato aperto
“A è uguale a B”
dove A e B sono due espressioni contenenti la varabile x, può essere:
• vero solo per particolari valori, detti soluzioni, attribuiti alla variabile x ∈I. In tal caso l’enunciato aperto è una equazione determinata;
• sempre falso, qualunque sia il valore di x ∈I. In tal caso l’enunciato aperto è un’equazione impossibile;
• sempre vero, qualunque sia il valore di x ∈I. In tal caso l’enunciato aperto è un’equazione indeterminata.
Da quanto detto possiamo trarre le seguenti conclusioni.
Ogni equazione nell’incognita x, con x ∈I, può essere considerata un enunciato aperto
(x). I valori di x ∈I che trasformano (x) in una proposizione vera sono detti soluzioni
o radici dell’equazione.
Ogni equazione indeterminata nella variabile x con x ∈I, può essere considerata un
enunciato aperto (x) che si trasforma in una proposizione vera ∀x ∈I.
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© 2010 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista