capitolo 5 Equazioni di primo grado Equazioni e identità come enunciati aperti Nella logica matematica si chiama enunciato aperto una proposizione che coinvolge una o più variabili e che può assumere valore di vero o falso a seconda dei valori attribuiti alle variabili. Per esempio, le proposizioni 1. 1: “x è un numero intero tale che la somma tra esso e il suo doppio è uguale a 15” 2. 2: “x è un numero razionale il cui quadrato è –5” 3. 3: “x è un numero reale tale che la somma tra esso e il suo doppio è uguale al suo triplo” sono enunciati aperti. È evidente che il valore VERO o FALSO da attribuire a 1 dipende dal valore di x, che 2 è sempre falsa, mentre 3 è sempre vera. Infatti, utilizzando il simbolismo dell’algebra si può scrivere: 1. 1: x + 2x = 15 (x ∈). Si tratta dell’equazione 3x = 15 la cui soluzione è x = 5, quindi 1 è vera solo per x = 5, falsa per ogni altro valore. 2. 2: x 2 = – 5 (x ∈), falsa per ogni x razionale, perché i quadrati dei numeri razionali non possono essere negativi. 3. 3: x + 2x = 3x sempre vera; 3 è una identità. In definitiva, riferendoci a equazioni nella sola variabile x, appartenente a un dato insieme I, possiamo dire che l’enunciato aperto “A è uguale a B” dove A e B sono due espressioni contenenti la varabile x, può essere: • vero solo per particolari valori, detti soluzioni, attribuiti alla variabile x ∈I. In tal caso l’enunciato aperto è una equazione determinata; • sempre falso, qualunque sia il valore di x ∈I. In tal caso l’enunciato aperto è un’equazione impossibile; • sempre vero, qualunque sia il valore di x ∈I. In tal caso l’enunciato aperto è un’equazione indeterminata. Da quanto detto possiamo trarre le seguenti conclusioni. Ogni equazione nell’incognita x, con x ∈I, può essere considerata un enunciato aperto (x). I valori di x ∈I che trasformano (x) in una proposizione vera sono detti soluzioni o radici dell’equazione. Ogni equazione indeterminata nella variabile x con x ∈I, può essere considerata un enunciato aperto (x) che si trasforma in una proposizione vera ∀x ∈I. 1 © 2010 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista