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UNO SGUARDO SUI NUMERI PRIMI................
E' nota la definizione di numero primo, come un numero che è divisibile solo
per uno e per sé stesso, come è noto che i numeri non primi si dicono composti e
che i numeri zero e uno, numeri molto particolari, non sono né primi né composti.
Pertanto il primo dei numeri primi è 2, che è quindi l'unico numero primo pari.
Andiamo ora ad osservare più da vicino l'insieme dei numeri primi.
Osservando le tavole dei numeri primi.....( che alle superiori sono quasi un reperto
archeologico ....) notiamo con facilità che, andando verso valori sempre più grandi, i
numeri primi vanno a “ diradarsi “....Prendendo tre intervalli di uguale ampiezza ad
esempio tra 10 e 90.....tra 700 e 780.......tra 8210 e 8290....vedremo che ci sono
più casi di numeri primi nel primo intervallo, meno nel secondo e ancora meno nel
terzo. Si parla di comportamento asintotico della frequenza dei numeri primi nella
successione dei numeri naturali......tale frequenza tende a diminuire, tende a zero
MA NON ARRIVA MAI A ZERO,. Si può cioè dimostrare che la successione
dei numeri primi è infinita, cioè NON ESISTE UN ULTIMO NUMERO PRIMO.
Di tale asserto esistono varie dimostrazioni....noi riporteremo la più antica e la più
famosa, quella di Euclide , nella sua opera “ Gli Elementi “.
La dimostrazione procede per assurdo. Supponiamo che la successione dei numeri
primi non sia infinita, cioè che ci sia un ultimo numero primo, cioè, indicando con P
tale successione, si abbia P = { 2,3,5,7,............pn }..con pn " ultimo numero primo ".
In tale ipotesi avremmo quindi che pn sarebbe il più grande dei numeri primi, con
l'insieme dei numeri primi formato quindi da n elementi.
A questo punto indichiamo con il simbolo “ a “ il prodotto degli n numeri primi, cioè
sia
a = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ ………∙ pn.
Indichiamo ora con pi l’ i-esimo numero primo.
Consideriamo ora il successivo del numero a , cioè a+1. Osserviamo che a+1 non è
divisibile per 2 (infatti il resto è 1 ), non è divisibile per 3 ( resto 1 )….il resto è
sempre 1 dal momento che il dividendo a+1 è il successivo del numero a .
In generale,quindi, dividendo a+1 per il generico p i otteniamo sempre per resto il
valore 1 : dalla divisione tra a+ 1 e pi risulta per quoziente q e per resto 1 cioè, per
definizione di quoziente e resto si ha ( a + 1 ) = pi ∙ q + 1 ….da cui a = pi ∙ q + 1 – 1
cioè a = pi ∙ q.
A questo punto, ricordando il teorema fondamentale dell’aritmetica
(il quale afferma che per ogni numero naturale composto esiste una ed una sola
scomposizione in fattori primi).... sono possibili due casi: il numero a + 1 o è
primo o non è primo.
I ) Se a +1 è primo allora, poiché a +1 >pn non è vero che pn è l’ultimo numero
primo e la dimostrazione è conclusa....cioè non esiste un ultimo numero primo.
II ) Se a +1 non è primo….allora a+1 è il prodotto di numeri primi, per il teorema
fondamentale. Tali numeri primi non possono essere nell’insieme P ={2,3,…….pn }
dal momento che abbiamo visto che nessun numero pi tra questi divide a+1 ( c’è
sempre resto 1 ).
Allora questi fattori primi , il cui prodotto è a+1 sono maggiori di pn…e allora
anche in questo caso concludiamo che pn non è l’ultimo numero primo.
Abbiamo quindi dimostrato che non può esistere l’ultimo numero primo, cioè
l'insieme dei numeri primi è infinito.
CONSIDERAZIONI
Dei numeri della forma a+1, incontrata prima, ( detti numeri di Euclide ) pochi
sono primi poiché la differenza tra il numero pn ed il prodotto "a" cresce
rapidamente ( con un andamento simile al fattoriale ) e quindi è sempre più probabile
che a+1 abbia un divisore compreso tra pn e la radice quadrata di a+1.
Come conseguenza immediata si ha che per il numero pn+1 vale la relazione :
pn+1< p1 ∙ p2……..pn
Esaminiamo infine un interessante corollario.
Esiste un intervallo grande a piacere tra due numeri primi consecutivi.
Infatti, se ad esempio vogliamo costruire un intervallo di 99 numeri consecutivi
senza numeri primi possiamo procedere come ne seguente modo :prendiamo il
numero 100 ! . Questo numero,100 ! , è divisibile per tutti i numeri compresi tra
2 e 100. Se k è uno di questi numeri allora 100! e 100! + k saranno entrambi
divisibili per k e quindi abbiamo 99 numeri consecutivi senza primi…..sono quelli
che vanno da 100! +2 a 100! + 100.
L'esposizione è conclusa...ci risentiamo alla prossima occasione....Grazie per
l'attenzione !