Insiemi e logica

Insiemi e logica
Insiemi e operazioni insiemistiche
Prodotto cartesiano
Logica degli enunciati
Logica dei predicati
Predicati e insiemi
Implicazioni e equivalenze logiche
Quantificatori
Logica degli enunciati
• In matematica si chiama proposizione o enunciato
ogni espressione linguistica o frase per la quale si possa
stabilire con certezza se è vera o falsa.
• In altre parole un enunciato è una frase alla quale ha
senso associare uno e uno solo dei due valori di verità:
vero o falso (che indicheremo con V e F
rispettivamente)
• Ad esempio sono enunciati le seguenti frasi:
• "La Luna è un satellite" "9 è multiplo di 4“
• Mentre non sono enunciati le seguenti:
• "Quest'anno sarò promosso" "Che ora è?“
• Assumeremo come primitivi, e quindi non definiremo, i
concetti di vero e falso.
Operazioni con le proposizioni
• Abbiamo visto che si possono eseguire operazioni con gli insiemi.
Anche con le proposizioni si possono eseguire operazioni: due o più
proposizioni si possono connettere tra loro in modo da ottenere una
nuova proposizione.
• A tal scopo si usano locuzioni quali e, o, se... allora, se e solo se, ...
• A ognuno di questi connettivi corrisponde un'operazione elementare:
mediante essi, a due proposizioni date in un certo ordine si fa
corrispondere una terza e nuova proposizione.
• Similmente, la locuzione “non”, detta operatore di negazione, fa
corrispondere a un enunciato la sua negazione.
• La parte della logica che si occupa delle operazioni con le
proposizioni prende il nome di calcolo delle proposizioni o
calcolo degli enunciati; essa ha anche una notevole importanza
nella teoria e nell'applicazione degli elaboratori elettronici.
Congiunzione di due proposizioni
• La particella «e», quando viene usata nel linguaggio ordinario con il
significato di «e contemporaneamente», corrisponde in logica al
connettivo congiunzione (simbolo /\ ).
• Si definisce congiunzione di due proposizioni p e q e si indica con
•
p/\q
• (si legge «p e q» o meglio ancora, usando il latino, «p et q») la
proposizione che è vera se p e q sono contemporaneamente vere,
mentre è falsa in ogni altro caso.
• Per rendere più evidente la definizione data, si introduce di solito la
tavola di verità dalla quale risultano i valori di verità della
congiunzione p/\q
P
q
q
V
V
F
F
V
F
V
F
p
V
F
F
F
ESEMPIO
• Consideriamo, per esempio, i seguenti due enunciati veri
• a: 12 è divisibile per 3
• b: 12 è divisibile per 2
• Facendo la loro congiunzione si ottiene l'enunciato vero
12 è divisibile per 3 e per 2.
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•
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•
Consideriamo, invece, le proposizioni
r: 24 è multiplo di 6 (vera)
s: 24 è multiplo di 7 (falsa).
La congiunzione da l'enunciato falso
24 è divisibile per 6 e per 7.
rs
a b
Disgiunzione di due proposizioni
• La particella «o», quando viene usata nel linguaggio comune con il
significato di «oppure» (in senso alternativo come il vel latino),
corrisponde in logica al connettivo disgiunzione (simbolo V).
• Si definisce disgiunzione di due proposizioni p e q e si indica con il
simbolo p  q
• (si legge «p o q» o, meglio ancora, usando il latino, «p vel q») la
proposizione che è vera, se almeno una delle due proposizioni è
vera, ed è falsa, se entrambe le proposizioni sono false.
• Poiché la verità di p V q si verifica nel caso di verità o solo di p o
solo di q o di entrambe le proposizioni, questa disgiunzione è detta
anche alternativa.
• La tavola di verità è la seguente
p
q
pVq
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
Esempi
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Consideriamo, per esempio, gli enunciati
a: 21 è divisibile per 7 (vero)
b: 21 è pari (falso).
L'enunciato
a V b: 21 è divisibile per 7 oppure è pari è vero (poiché
è vero a).
Consideriamo, invece, le proposizioni
h: 3 è maggiore di 7 (falsa)
k: 3 è divisibile per 2 (falsa)
La proposizione h V k: 3 è maggiore di 7 o è divisibile
per 2 è falsa (essendo false entrambe le proposizioni
componenti).
Negazione di una proposizione
• La particella «non» del linguaggio ordinario corrisponde
in logica all'operatore negazione.
• Si dice negazione di un enunciato p e si indica con p
• (si legge «non p» oppure «p negato») quell'enunciato
che è falso se p è vero ed è vero se p è falso.
• La tavola di verità che definisce la negazione è la
seguente
p
p
V
F
F
V
Esempi
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Si consideri la proposizione vera
p: il rettangolo ha quattro angoli retti.
La proposizione p è falsa ed è la seguente
p : il rettangolo non ha quattro angoli retti.
Consideriamo un enunciato p e
Si consideri l'enunciato falso
supponiamo che sia vero; la sua
negazione not p sarà pertanto
p: 10 è divisibile per 3.
falsa. La negazione di not p, ossia
L'enunciato p è ovviamente vero:
not(not p), in base alla definizione
di negazione data al paragrafo
p : 10 non è divisibile per 3.
precedente, risulterà perciò vera.
Viceversa, se p è falso, not p
risulterà vero e quindi not(not p)
sarà falso. Sintetizzando, si può
dire che p ha lo stesso valore di
verità di p ossia, come si usa dire,
in logica due negazioni affermano.
Si noti che ciò non sempre accade
nella lingua italiana.