Liceo Scientifico Statale “Leonardo” – Brescia
PROGRAMMA DI MATEMATICA
CLASSE 5 T Scientifico
a.s. 2012/2013
Prof.ssa Caruzzo Laura
GEOMETRIA
1. Ciclometria: classi contigue di grandezze, la rettificazione della circonferenza, lunghezza
della circonferenza e di un arco, area del cerchio e di un settore circolare, Sezione Aurea,
Tre Problemi Classici della Geometria.
2. Geometria solida: rette e piani nello spazio, incidenza, parallelismo, ortogonalità nello
spazio, Teorema delle tre perpendicolari, angoli di rette e piani, angoli diedri, triedri e
angoloidi, poliedri : definizioni e principali caratteristiche, solidi di rotazione: definizioni e
principali caratteristiche, poliedri platonici: definizioni e principali caratteristiche, sviluppo
della superficie di un solido, misura della superficie di un solido, equivalenza tra solidi e
principio di Cavalieri, misura del volume dei solidi .
3. Geometrie non euclidee: il metodo assiomatico nelle teorie ipotetiche deduttive, postulati
ed assiomi della geometria euclidea, ipotesi di Lobacevskij, geometria iperbolica: modello
di Klein, modello di Poincaré, la geometria ellittica di Riemann e il modello della superficie
sferica.
PROBABILITA’ E STATISTICA
1. Calcolo combinatorio: insiemi e raggruppamenti; disposizioni semplici e con ripetizione;
permutazioni semplici e con ripetizione; combinazioni semplici e con ripetizione; coefficienti
binomiali.
2. Probabilità: eventi, definizione classica, statistica, soggettiva di probabilità; definizione
assiomatica di probabilità; probabilità totale, probabilità condizionata, probabilità composta, il
problema delle prove ripetute, il teorema di Bayes
TOPOLOGIA
1. Elementi di topologia della retta reale: insiemi di numeri o di punti, estremo superiore e
inferiore di un insieme, massimo e minimo di un insieme, insiemi limitati e illimitati,
intorni ed intervalli, punti di accumulazione, punti isolati.
Il concetto di infinito.
ANALISI MATEMATICA
1. Relazioni e funzioni: nascita ed evoluzione storica dell’analisi matematica e del concetto di
funzione, concetto di funzione, definizioni fondamentali: funzione univoca, biettiva,
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monotona, funzione inversa, funzione composta, dominio, condominio, Teorema sulla
monotonia ed invertibilità di una funzione.
Ripasso di grafici: coniche, funzioni irrazionali riconducibili alle coniche, funzioni
esponenziale e logaritmica, , funzioni goniometriche, curve deducibili dalle precedenti.
Risoluzione grafica di un’equazione: metodo di bisezione, metodo del punto unito, metodo
delle tangenti di Newton.
2. Limiti: nozione di limite di una funzione, definizione di limite nei vari casi,
rappresentazione grafica e verifica algebrica, Teorema dell'unicità del limite, Teoremi della
permanenza del segno, Teoremi del confronto, operazioni sui limiti e forme indeterminate,
somma di due funzioni, prodotto di due funzioni, quoziente di due funzioni, elevamento a
potenza, definizione di successione numerica, successioni convergenti, divergenti e
indeterminate, progressioni aritmetiche, progressioni geometriche.
3. Funzioni continue: funzione continua in un punto x0 e in un intervallo [a,b], limiti
notevoli, forme indeterminate, punti di discontinuità e loro classificazione, Teorema di
esistenza degli zeri, Teorema di Weierstrass, Teorema di Darboux.
Infinitesimi, ordine di un infinitesimo, Principio di sostituzione degli infinitesimi, infiniti,
gerarchia degli infiniti.
4. Calcolo differenziale: rapporto incrementale di una funzione nell'intorno di un suo punto,
definizione di derivata di una funzione in un suo punto, significato geometrico di rapporto
incrementale e di derivata, punti stazionari, funzioni non derivabili in un punto, Teorema
della continuità delle funzioni derivabili.
Derivate delle funzioni elementari, teoremi sul calcolo delle derivate, derivata logaritmica,
derivata di una funzione inversa, derivate successive di una funzione.
Differenziale di una funzione, significato geometrico del differenziale.
Teorema di Rolle, Teorema di Lagrange, Teorema di Cauchy, forme indeterminate e
Teorema di De L'Hospital.
Punti a tangente orizzontale, funzioni crescenti e decrescenti, massimi e minimi locali,
concavità e convessità, flessi.
Asintoti di una funzione.
Studio dell'andamento di una funzione.
Problemi di minimo e massimo assoluti.
5. Calcolo integrale: definizione di funzione primitiva, integrale indefinito, metodi
d'integrazione: integrazione mediante scomposizione o semplice trasformazione della
funzione integranda, integrazione delle funzioni razionali, integrazione delle funzioni
irrazionali, integrazione per sostituzione, integrazione per parti.
Definizione di integrale definito, Teorema della media, Teorema di Torricelli-Barrow,
applicazioni al calcolo di aree di regioni piane, di volumi di solidi di rotazione, di lunghezze
di archi di curve, di aree di superfici di rotazione, Teorema di Pappo-Guldino.
Integrali impropri.
Integrazione numerica: metodo dei trapezi, metodo di Cavalieri-Simpson.
I rappresentanti degli studenti
L’insegnante
Prof.ssa Caruzzo Laura
Brescia, 8 giugno 2013
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