recupero i teoremi sui segmenti e sugli angoli

LA GEOMETRIA DEL PIANO Recupero
RECUPERO
I TEOREMI SUI SEGMENTI E SUGLI ANGOLI
1
COMPLETA
Considera due segmenti adiacenti AB e BC tali che AB sia il doppio di BC. Detto M il punto medio di
AB, dimostra che AM è congruente a un terzo di AC.
B
C
Disegna i due segmenti, tenendo presente
che AB è il doppio di BC.
A
B
C
Traccia il punto medio di AB e indicalo con M.
......
A
Ipotesi 1. AB e BC adiacenti;
2. AB ⬵ 2 …;
3. AM ⬵ … .
Scrivi l’ipotesi.
1
AM ⬵ ᎏᎏ … .
…
Dimostrazione
AB ⫹ … ⬵ AC
AM ⬵ …
Tesi
Scrivi la tesi.
Scrivi la dimostrazione.
Utilizza l’ipotesi 1.
Scrivi l’ipotesi 3.
da cui AB ⬵ … AM.
AB ⬵ 2 …
2BC ⬵ 2 …
BC ⬵ … .
Utilizza l’ipotesi 2.
Applica la proprietà transitiva della congruenza.
Se sono congruenti i doppi di due segmenti,
sono congruenti anche i segmenti.
Quindi
AM ⬵ … ⬵ …
AM ⫹ MB ⫹ BC ⬵ …
Sfrutta il risultato ottenuto insieme all’ipotesi 3.
Somma i segmenti congruenti fra loro.
da cui
1
AM ⬵ BM ⬵ ᎏᎏ … .
…
2
PROVA TU
Considera due segmenti adiacenti AB e BC tali che BC sia un quarto di AB. Detto M il punto me2
dio di AB, dimostra che AM è congruente a ᎏᎏ AC.
5
A
B
C
A
B
C
...
Ipotesi 1. AB e BC adiacenti
1
2. BC ⬵ ᎏᎏ …
4
3. AM ⬵ …
…
Tesi
AM ⬵ ᎏᎏ …
5
Copyright © 2010 Zanichelli editore SpA, Bologna [6821 der]
Questo file è una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini, Anna Trifone e Graziella Barozzi
1
LA GEOMETRIA DEL PIANO Recupero
Dimostrazione
AB ⫹ … ⬵ AC.
1
AM ⬵ ᎏᎏ AB,
…
da cui AB ⬵ … AM.
1
BC ⬵ ᎏᎏ AB,
…
da cui AB ⬵ … BC.
Pertanto
… AM ⬵ … BC,
da cui
AM ⬵ 2 … .
3
Quindi
AM ⬵ MB ⬵ …
AM ⫹ MB ⫹ BC ⬵ …,
da cui
2BC ⫹ … BC ⫹ BC ⬵ AC,
cioè
1
… BC ⬵ AC → BC ⬵ ᎏᎏ AC.
…
Poiché AM ⬵ 2BC, allora
2
AM ⬵ ᎏᎏ AC.
…
PROVA TU
^
^
^
^
^
^
^
Sono dati tre angoli consecutivi aOb, bOc, cOd tali che aOc ⬵ bOd. Dimostra che aOb ⬵ cOd.
^
....
^
Ipotesi 1. aOb, bOc, … angoli ……;
^
2. aOc ⬵ ….
c
Tesi
^
aOb ⬵ ….
....
O
a
Dimostrazione
^
aOc ⬵ … per ipotesi …;
^
^
^
^
aOc ⫺ cOb ⬵ bOd ⫺ cOb perché ……;
^
aOb ⬵ ….
4
5
Considera due segmenti congruenti e adiacenti AB e BC. Indica con M il punto medio di AB. Dimostra che
1
MC ⬵ ᎏᎏ (BC ⫹ AC).
2
1
Disegna un segmento BC e sul suo prolungamento dalla parte di C scegli il punto E tale che CE ⬵ ᎏᎏ BC. Di2
3
mostra che BE ⬵ ᎏᎏ BC.
2
6
Disegna due segmenti adiacenti AB e BC. Indica con M il punto medio di AB, con N il punto medio di BC e
con O il punto medio di AC. Dimostra che MN ⬵ AO.
7
Disegna due rette a e b che si intersecano nel punto O. Traccia per O le bisettrici degli angoli. Dimostra che
tali bisettrici formano quattro angoli retti.
8
Gli angoli ␣ e ␤ sono adiacenti; ␥ è congruente ad ␣ e consecutivo di ␤. Dimostra che ␣ e ␥ sono opposti al
vertice.
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