classi prime

COORDINAMENTO DI MATEMATICA
COMPITI ESTIVI 2010/2011
CLASSI PRIME
ALCUNI SUGGERIMENTI PER LO SVOLGIMENTO:
E’ meglio non concentrare lo svolgimento degli esercizi in un solo periodo (inizio o fine delle
vacanze) ma cercare di distribuire il lavoro nell’arco di tutto il tempo a disposizione
Lo scopo è quello di tenerti in esercizio, per non dimenticare tutto e per ricominciare il prossimo
anno con conoscenze e metodi adatti ad affrontare gli argomenti del prossimo anno scolastico
Il controllo e la correzione del lavoro svolto verranno effettuati all’inizio del nuovo anno
scolastico
Buon Lavoro!!
PRODOTTI NOTEVOLI
Sviluppa i seguenti prodotti notevoli e semplifica le espressioni.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8) ( xy − 2) 3
9) (2a 2 − b)2ab 2 − a 3 (−2b) 2 +b 2 − b 2 (− ab + 1)
10) (2a + b)(2a − b)(4a 2 + b 2 )(16a 4 + b 4 )
11) ( x − 2 y ) 2 ( x+ 2 y ) 2 − ( x − 2 y )( x+ 2 y )( x 2 + 4 y 2 )
12) (2a 2 − 1)(2a 2 + 1) − (2a 2 − 3) 2 − (a − 3)(3 − a ) − (1 + a)(a − 1)
(
⎢⎣
) (
)
13) ⎡ x+y 2 − x − y 2 ⎤
2
⎥⎦
14) (2 x − 1) 3 − ( x − 2) 3 + 6 x( x + 1) − 7( x 3 + 1)
15) ( x − y − 1)( x + y − 1) − (2 − x )( x − 2)
⎛ 2 2
⎞ ⎛2
⎞
xy + x a y b ⎟ ⋅ ⎜ xy 2 + x a y b ⎟
⎝ 3
⎠ ⎝3
⎠
16) ⎜ −
17) (2 x 3 − y − 1)(2 x 3 + y − 1)
18) ( a + b − c + d ) ⋅ ( a + b + c − d )
19)
20)
21)
Completa
1
1) 3 x 2 y ⋅ ⎛⎜ 4 xy 2 − .................⎞⎟ = 12.......... − x 2 y 3
⎝
⎠
3
2)
(a 2 − ........x)2 = a 4 + 9.......... − 6................
3) ⎛⎜ 3a 3 + .................⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ 3a 3 − ................⎞⎟ = 9.......... − 16b8
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎡⎛ 2 ⎞
⎤ ⎡⎛ 2 ⎞
⎤
4) ⎢⎣⎜⎝ x +y ⎟⎠ − (2 x − 3 y )⎥⎦ ⋅ ⎢⎣⎜⎝ x +y ⎟⎠ + (2 x − 3 y )⎥⎦
SCOMPOSIZIONI
1) 18a 5 −
2
ab 2 =
25
2) 2 a2x + 12 ax +18x =
1 ⎞⎛
1 ⎞
⎛
R. 2a ⎜ 3a 2 − b ⎟ ⎜ 3a 2 + b ⎟
5 ⎠⎝
5 ⎠
⎝
2
R. 2 x ( a + 3 )
3) a3 - a2 + a b2 – b2 =
R.
( a − 1) ( a 2 + b 2 )
4) 3 x2 - 18 ax + 27 a2 =
R.
3 ( x − 3a )
5)
3 a3 + 24 =
R.
2
3 ( a + 2 ) ( a 2 − 2a + 4 )
6) 8 a2 b + 6 a b2 - 12 a2 - 9 ab =
R. a(2b-3)(4a+3b)
7) 2 a2 x 2- 30 a2x + 72 a2 =
R. 2a 2(x-3)(x-12)
8) a3 b6 c9 – 125 =
R. ( ab 2 c 3 − 5 )( a 2b 4 c 6 + 5ab 2 c 3 + 25 )
9) 4 a2 b2 + 1 – 4 a2b + a2 – 4 ab + 2 a =
R. (2ab-a-1)2
10) 3x3 + 6 x2 - 3 b x2 - 6 bx + 3 ax2 + 6 ax =
R. 3x(x+2)(x+a-3)
11) 2 x3 + 6x2 - 3x – 9 =
R. (x+3)(2x2-3)
12) 2x ( x + y )2 + 3x2 ( x + y ) + x3 + x2 y =
R. 2x(x+y)(3x+y)
13) 6y2 z + 11 y2 - 6x 2z – 11 x 2 =
R. (6z+11)(y-x)(y+x)
14) y2 - 16 - 3( y + 4 )2 =
15) 2xy2 + y3 + ( 2x + y ) ( 2x – y2 ) – 6x – 3y =
R. – 2(y+4)(y+8)
R. (2x+y)(2x-3)
EQUAZIONI DI 1° GRADO
1. 6 x + 4 − 2 ( 4 − x ) = x + 2 ( x − 8 ) + 8 − ( 4 − 5x )
2.
( 3x + 5 ) + ( 3x − 1)( 3x + 1) − 2x ( x + 4 )
3.
( 2x
4.
(2 − x)
2
2
− x+1
3
) = ( 2x
2
2
)
2
= ( 4x + 1)
S =∅
2
− 1 − x 2 ( 4x − 9 )
2
1
2
2 ⎫
⎧
= x ⎨ 2 ( 3x + 1) − ⎡( x + 3 ) + ( 3 − x ) ⎤ ⎬
⎦⎭
2⎣
⎩
5. x 2 ( x + 5 ) − ( 3 − 2x )( x + 5 ) = ( x − 2 ) + 13 ( x − 1)( x + 1) + 1
3
6.
7.
⎧ 23 ⎫
S = ⎨− ⎬
⎩ 14 ⎭
S = {0}
⎧8 ⎫
S =⎨ ⎬
⎩5 ⎭
S = {1}
15 ⎛ 1 5 + 3x 2x + 4 ⎞
9
−
⎜ +
⎟=−
2 ⎝5
2
3 ⎠
4
S = {−2}
(1 − x )
S = {0}
2
2
( x + 1)
−
2
3
=
1 2 x −1
x −
6
6
2
3x ⎛ x
2x − 1 x 6 x − 1 1
⎞
8.
+ ⎜ + 1⎟ =
⋅ +
⋅
8 ⎝2
2
4
2
2
⎠
2
9.
3x + 5 ⎛
1 ⎞ 5 + 2x
1
+⎜x+ ⎟ −
= x2 + + x − 1
3
2⎠
2
4
⎝
2
3 ⎞⎛
3 ⎞⎛
9⎞ ⎛
9⎞ 9
⎛
10. ⎜ x + ⎟ ⎜ x − ⎟ ⎜ x 2 + ⎟ − ⎜ x 2 − ⎟ + x ( 2 − x ) = 0
2 ⎠⎝
2 ⎠⎝
4⎠ ⎝
4⎠ 2
⎝
S =∅
S = {∀x ∈ _}
⎧9 ⎫
S =⎨ ⎬
⎩8 ⎭
PROBLEMI DI 1° GRADO
Risolvi utilizzando le equazioni di 1°
1. Due numeri, uno doppio dell’altro, sono tali che sottraendo al maggiore 9, si ottiene la metà
del numero minore. Determina i due numeri.
[6 ; 12]
2. Sabato sera in una discoteca sono stati venduti 2.000 biglietti; il biglietto d’ingresso ha un
costo di € 15 prima dell’una e di € 12 dopo tale orario. Se in totale sono stati incassati
€27.492, quante persone sono entrate nella discoteca dopo l’una?
[836]
3. Luca, visto che nella sua libreria non ha più spazio per nuovi acquisti, decide di liberarsi
1
1
di tutti i suoi libri e poi di
di quelli rimasti. Se alla fine ne ha ancore 560,
prima di
3
9
quanti libri aveva Luca?
[945]
3
4. In un triangolo isoscele la lunghezza della base è
della lunghezza dei lati congruenti.
2
Sapendo che il perimetro del triangolo è 21 cm, determina le lunghezze dei lati. [6;6;9 cm]
1
5. Due angolo supplementari sono uno dell’altro. Quali sono le ampiezze dei due angoli?
5
[150; 30]
FRAZIONI ALGEBRICHE
Semplifica le seguenti frazioni algebriche :
x2 − 7 x + 6
=
x3 − 1
4 x 2 − 12 xy + 9 y 2
3)
=
8 x 3 − 27 y 3
1)
6a 2 − 24b 2
=
2a 2 + 8ab + 8b 2
4a 2 − 4ab + b 2
4)
=
2ab + 2a − b 2 − b
2)
Calcola il valore delle seguenti espressioni:
2x + 3
8 x + 13
x+3 ⎞
⎛ 3x − 4
5) ⎜ 2
− 2
− 2
=
⎟: 2
⎝ x − 7 x + 10 x − 4 x − 3 x − 10 ⎠ x − 3 x − 10
⎛ 2x
y
y2 ⎞ ⎛ 1
x ⎞
6) ⎜
:
+
+ 2
+ 2
=
2 ⎟ ⎜
2 ⎟
⎝ x+ y x− y y −x ⎠ ⎝ x+ y x − y ⎠
S=
1
x−2
S= x
2a ⎞ ⎛
1 ⎞ ⎛ a 2 + 3 a 2 − 3a + 2 ⎞
⎛
+
+
7) ⎜ a +
1
⎟=
⎟⎜
⎟−⎜
a − 1 ⎠ ⎝ a + 1 ⎠ ⎝ a − 1 a 2 − 2a + 1 ⎠
⎝
S= 1
1 ⎤
1 ⎞ ⎡⎛ a
⎛1
⎞⎛ a
⎞ m
− 2⎥=
8) ⎜ − 2 ⎟ : ⎢⎜ + 1⎟ ⎜ − 1⎟ 2
2
⎝ m m ⎠ ⎣⎝ m ⎠ ⎝ m ⎠ a − m m ⎦
S= 1
⎛ a 2 + 5b 2
a + 3b ⎞ ⎛ 1 + b 2 3b − a 1 ⎞
9) ⎜ 3 3 + 2
−
− ⎟=
⎟⎜
a + ab + b 2 ⎠ ⎝ ab
2a
ab ⎠
⎝ a −b
S=
1
a
GEOMETRIA (classe prima)
1) Scrivi la differenza tra un postulato e un teorema.
2) Scrivi un postulato e un teorema che conosci.
3) Disegna un segmento AB, un suo consecutivo BC ed il segmento CD adiacente a BC. I segmenti
AD e AC come sono tra loro?
4) I segmenti AB e BD appartengono alla stessa retta, AB è il quadruplo di BD e D∈ AB; il punto
M è il punto medio di AB e il punto N è il punto medio di MD. Individua fra le seguenti le relazioni
vere:
a. MD ≅
1
AB
4
b. DB ≅ 2 MN
c. AB ≅ 8MN
d. MD ≅
1
AB
2
5) Possiamo dire che due angoli consecutivi sono sempre adiacenti? Viceversa è vero che due
angoli adiacenti sono sempre consecutivi? Giustifica le tue risposte.
Negli esercizi seguenti per ogni problema, disegna la figura corrispondente e indica l’ipotesi e
la tesi (senza la dimostrazione).
6) Dato un segmento AB, siano M il suo punto medio e C un qualunque punto preso sul suo
prolungamento. Dimostra che la distanza di C da M è congruente alla semisomma delle distanze di
C dagli estremi del segmento.
7) I punti A, B, C, D appartengono alla stessa retta, si susseguono nell’ordine scritto e sono tali che
AB ≅ CD. Dimostra che AC ≅ BD e che i punti medi dei segmenti AD e BC coincidono.
∧
∧
8) Dati due angoli adiacenti A O B e B O C , siano OP e OQ le loro bisettrici. Dimostra che gli
∧
∧
angoli A O P e Q O C sono tra loro complementari.
9) Dei segmenti AB e BC adiacenti si sa che il segmento BC ≅
1
AB . Indicato con M il punto
4
medio di AB, dimostra che AM è il doppio di BC.
10) Disegna due angoli adiacenti e traccia le loro bisettrici. Dimostra che l’angolo formato da tali
bisettrici è retto.
ESERCIZI DALLE GARE DI MATEMATICA
1) Quale dei seguenti numeri termina con il maggior numero di zeri(senza calcolatrice!)?
A
B
C
D
E
2 2 ⋅ 33 ⋅ 55
23 ⋅ 35 ⋅ 52
25 ⋅ 53 ⋅ 32
4 5 ⋅ 56 ⋅ 6 4
4 6 ⋅ 65 ⋅ 5 4
[D]
18 cifre
2)
A
suuuuuuuuuuuuuuut : 999999999 − 1 =
9999.....9999
99
B
910
C
1010
D
99 − 1
109
E
[E]
3)Un tino pieno d’acqua ha quattro rubinettti.Utilizzando il primo rubinetto,il tino si svuota in un
giorno ,usando il secondo,si svuota in due giorni;con il terzo si svuota in tre giorni e con il quarto in
quattro giorni.In quante ore si svuota il tino,se si aprono contemporaneamente i quattro rubinetti?
(Dal Liber Abaci di Fibonacci)
[11h,31min,12s]
4)Quanto fa 0, 60 + 0, 70 ?
A
1, 3
B
1,30
C
1,31
D
1, 4
[C]
E
1, 40
5)Il peso di un autocarro scarico è di 2000Kg.Oggi il carico è l’80% del peso totale.Alla prima
fermata viene scaricato 1/4 del carico.Dopo di ciò,quale percentuale del peso totale è il carico?
A
20%
B
25%
C
55%
D
60%
E
75%
[E]
6)In un trapezio la base maggiore misura 2 unità in più della base minore e l’altezza è la metà della
base minore.
a.Detta x la misura della base minore,determina,in funzione di x,la misura dell’area del trapezio;
b.determina la misura dell’area del trapezio quando x=2 e quando x=4.
[a. A( x) =
1 2 1
x + x b. se x=2,l’area misura 3,se x=4,l’area misura 10]
2
2
7)Gli spigoli di base e l’altezza di un parallelepipedo misurano rispettivamente 1,2 e 3.I due spigoli
di base e l’altezza vengono aumentati ciascuno di x;esprimi,in funzione di x,di quanto aumenta la
misura del volume del parallelepipedo.
[ f ( x) = x 3 + 6 x 2 + 11x ]
8)La somma di due numeri interi positivi è 150 e il loro prodotto è 5049.Quanto vale il prodotto dei
due numeri consecutivi a quelli originari?
[5200]
9)Sapendo che x +
A
B
C
D
1
1
= 2 quanto vale x 2 + 2 ?
x
x
1
2
4
Non si può determinare in base alle informazioni date
[B]
10)Se a,b e c sono numeri tali che
A
3/8
B
3/5
b
c
a+b
?
=2 e
= 3 ,quanto vale
a
b+c
b
C
3/4
D
1/3
E
[A]
2/3