Elementi di logica

capitolo
1
Gli insiemi e le relazioni. Elementi di logica
Elementi di logica
1
Proposizioni e operazioni
La logica insegna a ragionare in modo corretto ed è alla base di qualsiasi costruzione matematica. Essa infatti stabilisce le regole deduttive mediante le quali, partendo da premesse supposte vere, si perviene a conclusioni anch’esse vere.
In questi primi paragrafi ci limitiamo a introdurre i concetti di proposizione, congiunzione, disgiunzione, implicazione, doppia implicazione.
In logica, si dice proposizione un’affermazione che può essere riconosciuta come “vera”
o “falsa”.
sempi
1
a. “Tre moltiplicato quattro fa dodici” è una proposizione “vera”.
b. “I triangoli hanno quattro lati” è una proposizione “falsa”.
c. “Qual è il triplo di 5?” non è una proposizione: si tratta di una frase interrogativa, della
quale non ha senso decidere la verità o la falsità.
d. “Tutti gli italiani hanno letto i Promessi Sposi di A. Manzoni” è una proposizione, anche
se non è facile riconoscerne la verità o la falsità: per decidere infatti bisognerebbe intervistare tutti gli italiani.
Come si capisce, le proposizioni sono moltissime: si può dire che la nostra conoscenza è
un enorme catalogo di proposizioni, accanto a ciascuna delle quali abbiamo prima o poi
aggiunto la parola “vera” o “falsa”.
L’attribuire l’etichetta di “vera” o “falsa” a una proposizione è spesso un lavoro impegnativo: in matematica è quello che si chiama dimostrazione.
Se la proposizione p è vera associamo a essa il valore 1, mentre se è falsa associamo il valore 0. Detto V(p) il valore associato alla proposizione p, si ha:
V(p) =
1
0
se p è vera
se p è falsa
sempi
2
La proposizione: p = “Tutti i numeri divisibili per 4 sono divisibili per 2” è vera, quindi V( p)
= 1.
3
La proposizione: q = “Un triangolo ha quattro lati” è falsa, quindi V(q) = 0.
Indichiamo con le lettere p, q, r alcune proposizioni e proviamo a costruirne altre mediante operazioni, comuni anche nel linguaggio ordinario.
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capitolo
1
Gli insiemi e le relazioni. Elementi di logica
La negazione NOT
A ogni proposizione possiamo far corrispondere la proposizione opposta. Per esempio, se
consideriamo la proposizione
p = “Mario possiede una automobile”
la negazione di p è la proposizione
q = “Mario non possiede l’automobile”
Così alla proposizione
p = “Tutti gli italiani parlano italiano”
facciamo corrispondere la proposizione
q = “Non tutti gli italiani parlano italiano”
che può anche essere scritta come
q = “Esiste almeno un italiano che non parla italiano”
Si noti che negare p non significa sostenere che “Nessun italiano parla italiano” e nemmeno che “Tutti gli italiani non parlano italiano”.
Analogamente, ricordato che un numero naturale si dice primo se è divisibile solo per se
stesso e per 1, l’opposta della proposizione
r = “Il numero x è primo”
è
“Il numero x non è primo”
ovvero “Il numero x è divisibile per qualche numero naturale oltre se stesso e 1”
L’opposta di una proposizione p si indica con
p
oppure
NOT p
oppure
¬p
e si hanno le seguenti tabelle di verità, che esprimono il fatto evidente che se la proposizione p è “vera” la sua opposta è “falsa” e viceversa:
p
p
V( p)
V( p)
vera
falsa
1
0
falsa
vera
0
1
sempio
4
Alla proposizione
p = “Tutti i rettangoli hanno due diagonali”
corrisponde la proposizione opposta
p = “Non tutti i rettangoli hanno due diagonali”
ovvero
p = “Esiste almeno un rettangolo che non ha due diagonali”
Ovviamente, p è vera, mentre p è falsa.
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capitolo
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Gli insiemi e le relazioni. Elementi di logica
La congiunzione AND
La seconda operazione è quella detta di congiunzione: così, dalle due proposizioni vere
p = “La rosa è un fiore”
q = “La rosa profuma”
tutti riconosciamo la verità della proposizione
r = “La rosa è un fiore e profuma”
In termini più formali, la proposizione congiunzione di p e q si indica con
p∧q
ovvero
p AND q
e le si attribuisce l’etichetta “vera” se p e q sono entrambe vere mentre le si attribuisce l’etichetta “falsa” se almeno una delle due è falsa; si hanno le seguenti tabelle di verità:
p
q
p∧q
V( p)
V(q)
V( p ∧ q)
vera
vera
vera
1
1
1
vera
falsa
falsa
1
0
0
falsa
vera
falsa
0
1
0
falsa
falsa
falsa
0
0
0
sempi
5
Dalle due proposizioni entrambe vere
p = “Il quadrato ha quattro angoli retti”
q = “Il quadrato ha due diagonali uguali”
si ricava mediante la congiunzione la proposizione
p ∧ q = “Il quadrato ha quattro angoli retti e le diagonali uguali”
anch’essa vera.
6
Siano:
si ha:
p = “3 è un divisore di 12”
q = “4 è un divisore di 16”
r = “3 è un divisore di 14”
s = “5 è un divisore di 16”
p ∧ q vera, perché p e q sono entrambe vere
p ∧ r falsa, perché p è vera e r è falsa
r ∧ s falsa, perché r e s sono entrambe false
La disgiunzione inclusiva OR
La terza operazione fondamentale è quella di disgiunzione inclusiva: così dalle due proposizioni, poste per esempio all’ingresso di un circolo sportivo
p = “Possono entrare gli iscritti al circolo”
q = “Possono entrare gli atleti che partecipano a una gara”
segue, per disgiunzione la proposizione
“Può entrare chiunque sia iscritto al circolo o partecipi a una gara”
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Gli insiemi e le relazioni. Elementi di logica
La proposizione ottenuta per disgiunzione tra p e q si indica con:
p∨q
ovvero
p OR q
e le si attribuisce l’etichetta “vera” se almeno una delle due è vera, mentre le si attribuisce
l’etichetta “falsa” se p e q sono entrambe false.
Le tabelle di verità di p ∨ q sono quindi:
p
q
p∨q
V( p)
V(q)
V( p ∨ q)
vera
vera
vera
1
1
1
vera
falsa
vera
1
0
1
falsa
vera
vera
0
1
1
falsa
falsa
falsa
0
0
0
sempio
7
Siano:
p
q
r
s
= “8 è un numero pari”
= “7 è un numero primo”
= “4 è un numero dispari”
= “4 è multiplo di 3”
Le proposizioni
p ∨ q = “8 è un numero pari o 7 è un numero primo”
p ∨ r = “8 è un numero pari o 4 è un numero dispari”
q ∨ r = “7 è un numero primo o 4 è un numero dispari”
sono vere, in quanto almeno una delle due proposizioni è vera, mentre la proposizione
r ∨ s = “4 è un numero dispari o è multiplo di 3”
è falsa, perché entrambe le proposizioni sono false.
La disgiunzione esclusiva XOR
La quarta operazione fondamentale è quella detta di disgiunzione esclusiva.
Siano p e q le proposizioni
p = “p è positivo”
q = “q è positivo”
La proposizione
r = “Il prodotto p · q è negativo”
è vera se p è falsa e q è vera ovvero se p è vera e q è falsa, e corrisponde alla disgiunzione
esclusiva di p e q.
La disgiunzione esclusiva tra due proposizioni p e q viene indicata con
.
p ∨q
ovvero
p XOR q
e le viene attribuita l’etichetta “vera” se p è falsa e q è vera ovvero se p è vera e q è falsa,
mentre le viene attribuita l’etichetta “falsa” se p e q sono entrambe vere o entrambe false.
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Gli insiemi e le relazioni. Elementi di logica
.
Le tabelle di verità di p ∨ q sono quindi:
p
q
p ∨· q
V( p)
V(q)
V( p ∨· q)
vera
vera
falsa
1
1
0
vera
falsa
vera
1
0
1
falsa
vera
vera
0
1
1
falsa
falsa
falsa
0
0
0
La disgiunzione XOR si traduce in o p o q, dove la o ha il significato di escludere una delle due preposizioni.
sempio
8
Sia:
p = “x è un numero intero minore di 10”
q = “x è un numero intero multiplo di 15”
Poiché le due eventualità si escludono a vicenda, la proposizione
.
p ∨ q = “x è un numero intero o minore di 10 o multiplo di 15”
è falsa se sono entrambe false, vera se solo una delle due è vera.
Osservazione 1
Il connettivo logico “o” può quindi assumere due forme:
• la forma inclusiva, corrispondente all’operazione OR, quando si accetta che la proposizione p ∨ q sia vera anche quando entrambe le proposizioni p e q sono vere
(per esempio nelle proposizioni “x è un numero intero maggiore di 10 o multiplo di
15” oppure “Mario indossa l’impermeabile o porta l’ombrello”);
la
forma esclusiva, corrispondente all’operazione XOR, quando si esclude che le
•
due proposizioni possano essere entrambe vere (per esempio nelle proposizioni “il
recinto ha forma o circolare o rettangolare” oppure “A teatro sono seduto o nella
platea o nella galleria”).
In latino si usano due particelle diverse: vel per la forma inclusiva, aut per la forma
esclusiva.
Espressioni con i connettivi logici
Le operazioni NOT, AND, OR, XOR possono essere usate per costruire proposizioni
complesse a partire da due o più proposizioni semplici. Così si potrà per esempio considerare:
p∨p
o anche
p∧p
Facendo uso delle parentesi si potranno considerare espressioni quali:
p ∧ (q ∨ r)
p ∨ (q ∨ r)
ecc.
Per ciascuna di esse si potrà costruire la tabella di verità, composta da tante colonne quante sono le proposizioni che intervengono nell’espressione e da una colonna finale relativa
alla espressione stessa. La tabella conterrà due sole righe se nell’espressione è coinvolta
una sola proposizione, quattro se ne sono coinvolte due, otto se ne sono coinvolte tre e così via, raddoppiando.
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Gli insiemi e le relazioni. Elementi di logica
Per esempio, la tabella di verità per p ∧ (q ∨ r) è la seguente:
p
q
r
q∨ r
p ∧ (q ∨ r)
vera
vera
vera
vera
falsa
falsa
falsa
falsa
vera
vera
falsa
falsa
vera
vera
falsa
falsa
vera
falsa
vera
falsa
vera
falsa
vera
falsa
vera
vera
vera
falsa
vera
vera
vera
falsa
vera
vera
vera
falsa
falsa
falsa
falsa
falsa
È naturale dichiarare che due espressioni sono uguali se le tabelle di verità costruite su di
esse sono uguali. Così l’espressione p e l’espressione p ∨ ( p ∧ p) sono uguali, come si
vede dalla tabella:
p
p
p∧ p
p ∨ ( p ∧ p)
vera
falsa
falsa
vera
falsa
falsa
vera
falsa
Si noti che, come nell’ordinario calcolo algebrico, l’uso delle parentesi è fondamentale nel
senso che, trascurandole, si può incorrere in equivoci. Infatti se, in luogo di
p ∨ ( p ∧ p)
considerassimo
( p ∨ p) ∧ p
avremmo la tabella di verità riportata a fianco,
diversa dalla precedente, e quindi un’espressione diversa. La scrittura senza parentesi:
p∨p∧p
p
p
( p ∨ p) ∧ p
vera
falsa
falsa
vera
falsa
falsa
è un’espressione ambigua.
Proprietà dei connettivi AND e OR
Le operazioni AND e OR, di congiunzione e disgiunzione, godono di importanti proprietà,
riassunte nella seguente tabella.
Proprietà commutativa
Proprietà associativa
p∧q=q∧p
p∨q=q∨p
p ∧ (q ∧ r) = ( p ∧ q) ∧ r
p ∨ (q ∨ r) = ( p ∨ q) ∨ r
Proprietà distributiva
Proprietà di idempotenza
p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q) ∨ ( p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) = (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
p∧p=p
p∨p=p
Proprietà di assorbimento
Leggi di De Morgan
–––––
p∧q =p∨q
–––––
p∨q =p∧q
p ∧ (p ∨ q) = p
p ∨ ( p ∧ q) = p
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Gli insiemi e le relazioni. Elementi di logica
sempio
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Consideriamo le due proposizioni:
p = “Il rombo è un triangolo”
q = “L’area del rombo è il quadrato del lato”
Si ha:
–––––
p ∨ q = “Non è vero che il rombo sia un triangolo o che la sua area sia il quadrato del lato”
che è equivalente alla proposizione:
p ∧ q = “Il rombo non è un triangolo e la sua area non è il quadrato del lato”
Per dimostrare le proprietà enunciate basta costruire le tavole di verità delle
espressioni che si trovano nei due membri
dell’uguaglianza e verificare che sono
uguali.
Verifichiamolo per una delle due proprietà di assorbimento (tabella a fianco).
V( p ∧ q) V( p ∨ ( p ∧ q))
V( p)
V(q)
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
Si osserva subito che le due colonne corrispondenti alle proposizioni p e p ∨ (p ∧ q) sono uguali.
2
L’algebra dei sottoinsiemi
Siano X un insieme e A, B, C, … alcuni suoi sottoinsiemi. Esiste un’importante analogia
tra le operazioni insiemistiche e quelle introdotte precedentemente nel cosiddetto “calcolo delle proposizioni”. Indicando con x un qualunque elemento di X, se chiamiamo p la
proposizione “x appartiene all’insieme A” e q la proposizione “x appartiene all’insieme B”,
cioè:
p = “x ∈ A”
q = “x ∈B”
otteniamo:
p = “x ∈ CA”
= NOT p
p ∧ q = “x ∈ A ∩ B” = p AND q
p ∨ q = “x ∈ A ∪ B” = p OR q
p ∨· q = “x ∈ A Δ B” = p XOR q
avendo indicato la differenza simmetrica tra A e B con A Δ B = (A \ B) ∪ (B \ A).
A ogni connettivo logico corrisponde un’operazione insiemistica.:
NOT
AND
OR
XOR
⇔
⇔
⇔
⇔
C
∩
∪
Δ
(complementare)
(intersezione)
(unione)
(differenza simmetrica)
Se due espressioni del calcolo delle proposizioni sono uguali, tali risultano le corrispondenti espressioni relative all’algebra dei sottoinsiemi e viceversa. Per esempio, dalla formula:
C (A ∩ B) = CA ∪ CB
seguirà:
–––––
(p ∧ q ) = p ∨ q
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Gli insiemi e le relazioni. Elementi di logica
Un ruolo particolare nella corrispondenza osservata meritano l’insieme X stesso e l’insieme vuoto ∅.
La proposizione “x ∈ X” sarà la proposizione vera qualunque sia x, mentre la proposizione “x ∈ ∅” sarà una proposizione falsa qualunque sia x.
Se indichiamo con 1 la proposizione “x ∈ X” e con 0 la proposizione “x ∈ ∅”, si possono osservare le seguenti relazioni, valide sia nel calcolo delle proposizioni sia nell’algebra
degli insiemi contenuti in X.
Proprietà commutativa
p∧q=q∧p
p∨q=q∨p
A∩B=B∩A
A∪B=B∪A
Proprietà distributiva
p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) = (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Elementi neutri
p∨0=p
p∧1=p
p∨p=1
p∧p=0
3
A∪∅=A
A∩X=A
A ∪ CA = X
A ∩ CA = ∅
Implicazione. Doppia implicazione
Implicazione materiale
Consideriamo la frase:
“Se x è un numero primo compreso tra 3 e 10, allora x non è divisibile per 2”
In essa possiamo distinguere due parti:
• una prima proposizione, che chiameremo antecedente:
p: “x è un numero primo compreso tra 3 e 10”
• e una seconda, che chiameremo conseguente:
q: “x non è divisibile per 2”
legate dal connettivo:
se … allora
Si chiama implicazione di due proposizioni p e q la nuova proposizione che indichiamo
con
p → q
DEFINIZIONE
La proposizione p → q si legge “se p allora q” ed
è definita dalla tabella a fianco.
8
p
q
p → q
vera
vera
vera
vera
falsa
falsa
falsa
vera
vera
falsa
falsa
vera
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Gli insiemi e le relazioni. Elementi di logica
Poiché l’unica possibilità per la proposizione p → q di essere falsa è nella seconda riga della tabella, cioè quando p vera e q falsa, per riconoscere la verità dell’implicazione
p → q occorre poter riconoscere che quando p è vera anche q è, necessariamente, vera.
Verifichiamo che, nel caso delle due proposizioni p e q indicate all’inizio di questo paragrafo, l’implicazione p → q sia vera:
1. gli x per i quali p è vera sono 3, 5, 7. Per tali x anche q è evidentemente vera;
2. quindi, nel caso delle p e q indicate sopra, l’implicazione è vera.
Come abbiamo già osservato a proposito degli altri connettivi logici, il calcolo delle proposizioni prescinde dal significato della proposizione composta ed essa è vera o falsa a seconda di che cosa stabilisce la sua definizione data mediante la tavola di verità.
sempi
10
Siano:
p: “Francesco ha un fratello”
q: “Il Sole è un pianeta”
Poiché q è sempre falsa, la proposizione p → q è vera se e solo se p è falsa, cioè se Francesco non ha un fratello, mentre è falsa se p è vera.
11
Siano:
p: “x è un intero divisibile per 5”
q: “4 è un numero pari”
La proposizione p → q è vera qualunque sia p in quanto q è sempre vera.
Doppia implicazione. Equivalenza
DEFINIZIONE Date due proposizioni p e q, si chiama
doppia implicazione o equivalenza la proposizione
ottenuta dalla congiunzione delle due applicazioni,
l’una inversa dell’altra:
(p → q) ∧ (q → p)
che indichiamo con p ↔ q.
La proposizione p ↔ q si legge “p se e solo se q”
ed è definita dalla tabella a fianco.
p
q
p ↔ q
vera
vera
vera
vera
falsa
falsa
falsa
vera
falsa
falsa
falsa
vera
sempio
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Siano:
p: “il numero n è divisibile per 15”
q: “il numero n è divisibile per 3 e per 5”
La proposizione p ↔ q è vera: infatti se è vera p è vera anche q, e viceversa.
Osservazione 2
Si osservi che per gli ultimi due connettivi logici abbiamo usato i simboli → e ↔ con
lo scopo di differenziarli dai simboli ⇒ e ⇔ che useremo per l’implicazione e la doppia implicazione nei teoremi matematici.
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capitolo
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Gli insiemi e le relazioni. Elementi di logica
4
Enunciati aperti. Quantificatori
DEFINIZIONE Un enunciato aperto è una proposizione P(x, y, ...) che coinvolge una o
più variabili x, y, …
Gli enunciati aperti in matematica sono anche detti formule.
sempi
13
La proposizione
“x + 1 è un numero pari”
dove x varia nell’insieme dei naturali, è un enunciato aperto, che acquista il valore “vero” se x
è un numero dispari, “falso” se x è pari o è uguale a zero.
14
L’equazione
x+4=0
è un enunciato aperto nella variabile reale x, che è “vero” se x = – 4, “falso” negli altri casi.
15
L’enunciato aperto
“2n è dispari”
dove n è un numero naturale, è “falso” qualunque sia n.
L’insieme dei valori delle variabili rispetto ai quali un enunciato aperto è vero può essere:
• molto ampio, come nel caso dell’esempio 51;
• costituito da un solo valore, come nel caso dell’esempio 52;
• addirittura vuoto, come nel caso dell’esempio 53.
Si dicono quantificatori due simboli usati frequentemente nel selezionare i valori di una
variabile che rendono vero un enunciato aperto P(x):
il quantificatore per ogni, detto quantificatore universale, indicato con il simbolo di
A rovesciata; così
∀x ∈E P(x)
significa:
per ogni x dell’insieme E P(x) è vero
il quantificatore esiste almeno uno, detto quantificatore esistenziale, indicato con il
simbolo di E (iniziale di esistere) rovesciata; così
∃ x ∈ AP(x)
significa:
esiste almeno un valore di x dell’insieme A per il quale P(x) è vero
I due simboli ∀ e ∃ prendono il nome di “quantificatori” perché si riferiscono alla quantità di elementi x che rendono vera una certa formula.
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sempi
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L’enunciato aperto
∀x ∈ x 2 ≥ 0
vero per ogni x intero, si legge:
“per ogni x intero, il quadrato di x è sempre maggiore o uguale di zero”
17
L’esistenza di una soluzione intera dell’equazione x + 4 = 0 si esprime mediante il quantificatore esistenziale:
∃x ∈ x + 4 = 0
Osservazione 3
Le negazioni di formule scritte servendosi dei due quantificatori ∀ o ∃ scambiano uno
dei due simboli con l’altro.
Verifichiamo con esempi.
1. Siano: A l’insieme dei quadrilateri e P(x): “x ha quattro lati uguali”.
La proposizione:
“non è vero che ogni quadrilatero ha i quattro lati uguali”
simbolicamente indicata con
NOT {∀x ∈ AP(x)}
equivale alla proposizione
“esiste almeno un quadrilatero che non ha i quattro lati uguali”
che simbolicamente si scrive:
∃ x ∈ ANOT [P(x)]
Pertanto
NOT {∀x ∈ AP(x)}
equivale a
∃ x ∈ ANOT [P(x)]
2. Siano: A l’insieme dei triangoli rettangoli e P(x): “x ha un angolo ottuso”.
La proposizione:
“non è vero che esiste almeno un triangolo rettangolo che ha un angolo ottuso”
simbolicamente indicata con
NOT {∃ x ∈ AP(x)}
equivale alla proposizione
“tutti i triangoli rettangoli non hanno un angolo ottuso”
che simbolicamente si scrive:
∀x ∈ ANOT [P(x)]
Pertanto
NOT {∃ x ∈ AP(x)}
11
equivale a
∀x ∈ ANOT [P(x)]
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sempi
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La negazione della formula dell’esempio 54:
∀x ∈ x 2 ≥ 0 sempre vera
è la formula:
NOT {∀x ∈ x 2 ≥ 0}
ed equivale a
19
∃x ∈ x 2 < 0 sempre falsa
La negazione della formula vera:
è la formula falsa:
∃x ∈ x + 4 = 0
∀x ∈ x + 4 ≠ 0
Osservazione 4
Alcune proposizioni possono rivelarsi vere in un certo contesto, false in un altro. Per
esempio, l’enunciato
∃xx + 4 = 0
può essere vero o falso. Tutto dipende dall’universo in cui ci si pone. Nel nostro caso,
la proposizione è vera se l’universo è l’insieme degli interi relativi o qualunque altro
insieme che contenga il valore x = – 4, falsa se l’insieme è .
5
Sistemi ipotetico-deduttivi
Un sistema ipotetico-deduttivo si costruisce a partire da:
concetti primitivi, cioè enti che a priori non vengono definiti, quali il punto, la retta e
il piano nella geometria euclidea o il numero nell’aritmetica secondo G. Peano;
postulati (dal latino postulatum, “ciò che è richiesto”) (o assiomi) che sono proposizioni ammesse vere, inerenti agli enti primitivi e che esprimono delle proprietà degli
enti stessi e le loro relazioni.
L’insieme dei postulati deve verificare le seguenti condizioni:
a) la coerenza, nel senso che non devono essere contraddittori e deve valere il principio di non contraddizione, ossia dai postulati non si deve poter dedurre sia la proposizione p sia contemporaneamente la sua negazione p;
b) l’indipendenza, ossia nessun postulato è deducibile logicamente dagli altri.
definizioni: le definizioni sono proposizioni che si ammettono vere e che servono a dare nuovi concetti non primitivi. Per esempio, si definiscono i numeri razionali, i numeri relativi, i segmenti, gli angoli...;
teoremi: i teoremi sono proposizioni che sono dedotte:
a) direttamente dagli assiomi e dalle definizioni;
b) sia dagli assiomi e dalle definizioni sia dai teoremi precedenti.
I teoremi sono dunque proposizioni che si dimostrano: se dalla verità di una proposizione p, detta ipotesi, si deduce mediante un ragionamento la verità di una proposizione q, detta tesi, si dice che il teorema p ⇒ q è stato dimostrato.
Il teorema p ⇒ q (p implica q) può essere così espresso:
• se p allora q;
• p è condizione sufficiente per q;
• q è condizione necessaria per p.
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IPOTESI p = “Q è un quadrato”
q = “Q ha le diagonali uguali”
TESI
Il teorema
p ⇒ q
si enuncia:
“Se Q è un quadrato allora Q ha le diagonali uguali”
oppure
“Condizione sufficiente perché Q abbia le diagonali uguali è che sia un quadrato”
oppure
“Avere le diagonali uguali è condizione necessaria per un quadrato”
21
Il teorema
“Le bisettrici di due angoli adiacenti sono perpendicolari” (fig. 1) può essere espresso in vari modi tra
loro equivalenti:
s
b2
b1
• “Se due angoli sono adiacenti allora le loro bisettrici sono perpendicolari”
• “Essere adiacenti è condizione sufficiente perché
le bisettrici siano perpendicolari”
• “Avere le bisettrici perpendicolari è condizione
necessaria affinché due angoli siano adiacenti”
t
A
r
Figura 1
Se valgono entrambi i teoremi:
p ⇒ q
e
q ⇒ p
allora si dice che le due proposizioni p e q sono equivalenti e si scrive:
p ⇔ q
(p implica q e q implica p)
Il teorema può essere così espresso:
l’ipotesi p è condizione necessaria e sufficiente per la tesi q;
la tesi q si realizza se e solo se vale l’ipotesi p.
sempio
22
Le proposizioni p : “Il triangolo T è equilatero” e q: “Il triangolo T è equiangolo” sono equivalenti.
Tale equivalenza può essere enunciata anche con il
Teorema: “Il triangolo T è equiangolo se e solo se è equilatero”.
ovvero:
Teorema: “In un triangolo l’essere equilatero è condizione necessaria e sufficiente a essere
equiangolo”.
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capitolo
1
Gli insiemi e le relazioni. Elementi di logica
Osservazione 5
Riconoscere che due proposizioni p e q sono equivalenti corrisponde a provare la verità dei due teoremi:
p ⇒ q
e
q ⇒ p
In altri termini, ogni teorema che contenga nel suo enunciato un
se e solo se
richiede due dimostrazioni: la prima è che dall’ipotesi segua la tesi, la seconda è che
dalla tesi segua l’ipotesi.
Tra i teoremi distinguiamo:
i lemmi, che sono teoremi preliminari ad altri ritenuti particolarmente importanti;
i corollari, che sono teoremi dedotti immediatamente da teoremi importanti.
La dimostrazione è l’insieme dei passaggi logici che permettono di arrivare dalla ipotesi
alla tesi.
Ci sono vari metodi di dimostrazione, di cui diamo solo un cenno, in quanto potranno essere meglio approfonditi nella trattazione della geometria euclidea.
6
Alcuni metodi di dimostrazione
Illustriamo ora brevemente alcuni metodi di ragionamento che servono a dimostrare un
teorema.
Metodo diretto
Se prendendo p come ipotesi si dimostra tramite passaggi logici che “da p segue q” allora
se p è vera è vera anche q.
In definitiva, dalla verità dell’implicazione
p ⇒ q
si deduce che la tesi q è vera ogni qual volta sia vera l’ipotesi p.
Questa tecnica di dimostrazione è la più utilizzata e si sviluppa tenendo conto dell’ipotesi, degli assiomi e, se occorre, dei teoremi precedentemente dimostrati. Si giunge
così, attraverso passaggi logici, ad affermare la verità dell’implicazione e quindi della tesi.
sempio
23 Dimostrare che il quadrato di un numero dispari è anch’esso dispari.
IPOTESI n è dispari
n 2 è dispari
TESI
Infatti, se n è dispari non contiene tra i suoi divisori il numero 2, e quindi neppure il suo quadrato è divisibile per 2.
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capitolo
1
Gli insiemi e le relazioni. Elementi di logica
Metodo indiretto
Se è vera
p ⇒ q
allora è vera anche
NOT(q) ⇒ NOT(p)
detta implicazione controinversa, e viceversa.
L’implicazione controinversa si ottiene scambiando le proposizioni p e q e negandole entrambe.
sempio
24
Indichiamo con ABCD un quadrilatero e siano p e q le seguenti proposizioni:
p: “ABCD è un quadrato”
q: “ABCD è un parallelogramma”
L’implicazione p ⇒ q è ovviamente vera, cioè:
“Se ABCD è un quadrato allora ABCD è un parallelogramma”
Del resto se q è falsa, cioè se è vera NOT(q), ABCD non essendo un parallelogramma non può
neanche essere un quadrato, cioè NOT(q) ⇒ NOT(p).
L’equivalenza delle due implicazioni:
p ⇒ q
⇔
NOT(q) ⇒ NOT(p)
permette di trasformare le dimostrazioni matematiche dirette in dimostrazioni matematiche indirette.
sempio
25
Il teorema p ⇒ q con
p: “x è divisibile per 9”
q: “x è divisibile per 3”
che si enuncia:
“Se x è divisibile per 9 allora x è divisibile per 3”
è equivalente al teorema:
NOT(q) ⇒ NOT(p)
che si enuncia:
“Se x non è divisibile per 3 allora x non è divisibile per 9”
La dimostrazione di questo teorema è immediata: infatti se x non è divisibile per 3, scomposto in fattori primi, esso non contiene il fattore 3, pertanto, a maggior ragione, non contiene
9 = 32, e quindi non è divisibile per 9.
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capitolo
1
Gli insiemi e le relazioni. Elementi di logica
Metodo per assurdo
Supponiamo che si voglia dimostrare il teorema
p ⇒ q
La dimostrazione per assurdo consiste nel negare il teorema e arrivare con il ragionamento o alla negazione dell’ipotesi o alla negazione di una proposizione già conosciuta come
vera. Poiché la teoria non può essere contraddittoria, si conclude che la negazione del teorema è falsa e quindi che l’enunciato p ⇒ q è vero. La contraddizione può consistere
nella negazione di un assioma o di uno dei teoremi precedentemente dimostrati o della
stessa ipotesi p.
sempio
26 Dimostrare che se il quadrato di un numero naturale è pari allora anche il numero è pari.
IPOTESI n 2 è pari (n ∈ 0)
n è pari
TESI
Supponiamo per assurdo che il teorema non sia vero, cioè che n sia dispari, ma allora per il teorema dimostrato nell’esempio precedente sarebbe n 2 dispari, il che contraddice l’ipotesi fatta.
Pertanto n è pari.
Metodo del controesempio
Questo metodo serve a dimostrare la falsità di un teorema. Infatti basta fare un esempio
che ne provi la falsità per dimostrare che il teorema non sussiste.
sempio
27
Consideriamo l’implicazione
“Se il quadrato di un numero reale x è maggiore di x allora il numero x è maggiore di 1”
che si può anche scrivere:
x2 > x ⇒ x > 1
Per dimostrare che l’implicazione è falsa, basta trovare almeno un valore di x non maggiore di
1 il cui quadrato sia maggiore di x. Per x = –5 risulta:
(–5) 2 = 25 > – 5
pertanto la proposizione è falsa. Si riconosce facilmente che la falsità può essere provata attribuendo a x qualsiasi valore negativo.
Nel corso degli studi faremo uso di queste tecniche dimostrative e anche di altre, per esempio il metodo per ricorrenza, basato sul principio di induzione.
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