Gruppo: Barbieri, Camerino, Cislaghi, Giannone, Moreschi
Classe: 4 alt
Data inizio: 14-01-2004
Data di consegna: 25-02-2004
ATTIVITA’ DI LABORATORIO:
LA PARABOLA
Introduzione:
Data l’equazione generale ax2+bxy+cy2+dx+ey+f =0 possiamo ricavare diverse curve, e tra queste,
quella che definisce la parabola. La sua equazione infatti deriva dalla precedente attraverso
l’annullamento di alcuni fattori ed è possibile descriverla nel seguente modo:
Si dice parabola il luogo geoemtrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, detto fuoco,
e da una retta fissa, detta direttrice.
CARATTERISTICHE E GRAFICO GENERALE
La parabola è una sezione di un cono indefinito, e come tale si ottiene dall’intersezione tra il cono e
un piano parallelo all’asse del cono.
Detto H il piede della perpendicolare condotta dal fuoco F alla direttrice, si indica con V il punto
medio del segmento FH e con p la misura della lunghezza del segmento FH. Al numero p si dà il
nome di “parametro” della parabola, il punto V si dice vertice della stessa.
La parabola ha come asse di simmetria la retta FV.
y=ax2+bx+c se a>0
In questo caso apparirà così:
Se invece il coefficiente della variabile di secondo grado è negativo apparirà così:
Per identificare la parabola a cui si fa riferimento, bisogna conoscere quattro elementi fondamentali
dati dalle seguenti relazioni:
Vertice (-b/2a; -/2a)
Fuoco (-b/2a; (-+1)/4a)
Direttrice y = (--1)/4a
Asse di simmetria x = -b/2a
La parabola può anche avere l’asse di simmetria parallelo all’asse delle x e la formula sarà questa:
x=ay2+by+c
In questo caso i quattro elementi fondamentali verranno calcolati in questo modo:
Vertice (-/2a; -b/2a)
Fuoco ((-+1)/4a;- b/2a )
Direttrice x = (--1)/4a
Asse di simmetria y = -b/2a
Esistono anche i fasci di parabole noto il vertice, in cui non se ne identifica una sola, ma è
un’insieme che ne contiene infinite:l’equazione è: y-yv= a(x-xv)2.
APPLICAZIONE DI UNA AFFINITA’
Dicesi affinità una trasformazione del piano in sé stesso che muta rette in rette, conservando
l’appartenenza tra punti e rette, il parallelismo, il rapporto tra lunghezze di segmenti. Un’affinità
può essere scritta in forma lineare o in forma matriciale.
x' ax by c
y ' a ' x b' y c '
x' a b x c
+ con det(A) 0
y ' a ' b' y c '
Esistono diversi tipi di affinità, tra cui la simmetria assiale, la simmetria centrale,la rotazione,
l’omotetia, le similitudini e le traslazioni.
L’isometria
Una trasformazione isometrica è una trasformazione biunivoca del piano in sé che mantiene:
1. le distanze
2. le ampiezze degli angoli
3. il valore delle aree
4. il rapporto tra segmenti congruenti
5. l’allineamento dei punti
6. il parallelismo.
Sono trasformazioni isometriche le rotazioni, le simmetrie assiali e centrali e le traslazioni.
La simmetria assiale (isometria invertente)
Chiamiamo simmetria assiale, di asse r la trasformazione del piano in sé che ad ogni punto del
piano associa il suo simmetrico rispetto alla retta r. Due punti distinti, A e B, si dicono simmetrici
rispetto ad una retta r se il loro punto medio appartiene ad r e se il segmento AB è perpendicolare
alla retta r.
In una simmetria assiale, tutti i punti dell’asse di simmetria sono punti uniti nella trasformazione.
Una simmetria assiale conserva l’allineamento fra punti, la distanza e il parallelismo.
In un riferimento cartesiano ortogonale le equazioni di una simmetria assiale sono le seguenti.
Simmetria rispetto all’asse delle x:
x' x
y' y
Simmetria rispetto all’asse delle y:
x' x
y' y
Simmetria rispetto alla retta y = h:
x' x
y ' y 2h
Simmetria rispetto alla retta x = k:
x ' x 2k
y' y
Simmetria rispetto alla retta y = x:
x' y
y' x
Simmetria rispetto alla retta y = -x:
x' y
y' x
La matrice della simmetria assiale può anche essere vista come la combinazione del seno e del
coseno del doppio dell’angolo che la retta viene a formare con l’asse delle ascisse.
Infatti se l’asse di simmetria è una retta di equazione y=mx+q con m= tg si può scrivere in forma
matriciale la simmetria che lascia fisso l’origine come:
x' cos 2 sen 2 x
y' sen 2 cos 2 y
La simmetria centrale
Si dice simmetria centrale, rispetto ad un punto O detto centro, una trasformazione del piano in sé
che ad ogni punto A del piano associa il suo simmetrico A1 rispetto ad O. Due punti A e B si dicono
quindi simmetrici rispetto ad un punto O se O è il punto medio del segmento AB.
In un riferimento cartesiano ortogonale le equazioni di una simmetria centrale sono le seguanti.
Simmetria rispetto all’origine O (0; 0):
x' x
y' y
Simmetria rispetto ad un generico punto (a; b):
x ' x 2a
y ' y 2b
La rotazione (isometria diretta)
Si dice rotazione di centro O e ampiezza α, la trasformazione che mantiene fisso il punto O, detto
centro, e associa ad ogni punto P del piano – distinto da O – un punto P1 tale che la distanza OP sia
uguale alla distanza OP1 e che l’angolo POP1 sia congruente ad α.
L’angolo può essere positivo o negativo, e può assumere ogni valore reale.
cos sin
il det(A)=1
A=
sin cos
x' x cos y sin
y ' x sin y cos
L’omotetia
Fissiamo un punto nel piano detto O e siano A ed A1 allineati con esso. Dato un punto P del piano
non appartenente alla retta AA1, si dice il suo omotetico il punto P1 intersezione tra la retta OP e la
parallela ad AP passante per A1. Il k è il rapporto tra il segmento OA e quello OA1 e se è negativo i
due punti si trovano da parti opposte rispetto ad O, è positivo se sono dalla stessa parte rispetto al
centro. Il numero k è chiamato invariante dell’omotetia, o caratteristica o rapporto di omotetia.
Il prodotto di due omotetie è un’omotetia che ha come invariante il prodotto degli invarianti delle
omotetie componenti.
L’equazione è:
k 0
0 k
x' kx c
y ' ky c'
La similitudine
Una similitudine è sempre la composizione di un’isometria e di un’omotetia.
Chiamiamo similitudine di rapporto k la trasformazione del piano in sé che a due punti distinti A e
B associa due punti A1 e B1 tali che il rapporto tra il segmento A1B1 e AB sia uguale a k.
In un riferimento cartesiano ortogonale, l’equazioni di una similitudine sono date da:
x ax by c
y a ' x b' y c '
e viene rappresentata in questo modo:
x' a b x c
+
y ' a ' b' y c '
La similitudine viene detta diretta de l’isometria composta con l’omotetia è una rotazione; viene
detta similitudine invertente se l’isometria composta con l’omotetia è una simmetria assiale.
Le matrici
Per matrice si intende una tabella di elementi ordinati per righe e colonne. Le matrici sono uno dei
modi più frequenti per rappresentare dati di varia natura.
Di una matrice occorre specificare il numero delle righe e quello delle colonne e l’insieme a cui
appartengono i suoi elementi. Quando il numero n delle righe è uguale a quello delle colonne, la
matrice viene detta matrice quadrata di ordine n.
Moltiplicazione tra matrici
Data una matrice A (n x m ) e una matrice B (m x p ), si definisce prodotto di A e B la matrice C.
L’elemento qualsiasi Cij è dato dalla somma dei prodotti di tutti gli elementi della riga i-esima di A
per i corrispondenti elementi della colonna j-esima di B.
La moltiplicazione tra due matrici si può effettuare solo se il numero di colonne della prima matrice
è uguale al numero di righe della seconda. Il prodotto tra tue matrici A e B non è commutativo.
Nella moltiplicazione tra matrici quadrate l’elemento neutro è la matrice identica: ha tutti 1 nella
diagonale principale e tutti 0 negli altri elementi.
La matrice trasposta
La matrice trasposta di A, A* , si ottiene scambiando le righe con le colonne.
La matrice inversa
Se una matrice ha determinante diverso da 0, allora esiste la sua matrice inverse A-1:
A x A-1 = A-1 x A = l ( essendo l la matrice unità)
Determinante dei una matrice
Il determinante di una matrice corrisponde geometricamente alla misura dell’area del
parallelogramma che ha per lati i vettori colonna della matrice. Una matrice quadrata, per esempio,
che abbia determinante uguale ad uno, indica che il parallelogramma che ha per lati i vettori
colonna della matrice è equivalente al quadrato che ha per lati i versori degli assi cartesiani
ortogonali. Una affinità che abbia determinante, in modulo, della matrice A di trasformazione
uguale a si dice affinità equivalente
Elementi e direzioni invarianti
Ogni vettore la cui direzione rimanga invariata in una trasformazione affine che lascia fissa
l’origine viene chiamato autovettore.
Se m rappresenta una direzione invariante, ogni vettore di coefficiente angolare m ( e quindi di
componenti (h,hm) con h Ro) è un autovettore.
Nel caso in cui direzione invariante e vettore di traslazione siano paralleli la direzione invariante
diventa una retta unita. Ogni retta unita una direzione invariante. Il viceversa è falso (ad
eccezione del caso sopra menzionato)
RICERCA di MATRICE di TRASFORMAZIONE
Data una qualsiasi retta r, essa può essere considerata come asse di simmetria in una simmetria
assiale.
r: y=2x
Il coefficiente legato alla x corrisponde alla tangente dell’angolo α che si forma tra la retta r e il
semiasse positivo delle ascisse. Dal momento che la tangente di un angolo corrisponde al rapporto
tra il suo seno ed il suo coseno, è possibile trasformare “l’equivalenza” che indica il valore della
tangente in un’equazione in funzione del seno e del coseno di α.
tg =2 → sen =2 cos
Risolvendo l’equazione mettendola a sistema con la prima legge fondamentale della goniometria
[sen2α + cos2α =1] si ricavano i valori numerici del seno e del coseno di α; si considereranno valori
positivi del seno e del coseno se il coefficiente angolare è positivo; mentre se il coefficiente è
negativo si considereranno il seno positivo e il coseno negativo
sen 2 cos
2
2
sen cos 1
sen 2 cos
2
2
4 cos cos 1
sen 2 cos
2
5 cos 1
sen 2 cos
5
cos
5
2 5
sen
5
cos 5
5
La matrice generica di una data simmetria assiale è:
cos 2
sen 2
sen 2
cos 2
Applicando le formule di duplicazione riusciamo a calcolare i componenti della matrice (sen2α e
cos2α) e sostituendoli sin trova la matrice di trasformazione della simmetria assiale, che avrà
necessariamente il valore del determinante pari a -1.
1 4
3
Cos 2 = cos 2 sen 2 =
5 5
5
4
sen 2 =2 sen cos =
5
3
As 5
4
5
4
5
3
5
det(As)= -1
A questa matrice potremmo applicare un’omotetia, con k=5 ottenendo una similitudine invertente
non variando l’origine.
3 4
Asimil =
4 3
det (Asimil)= -9-16=-25
Essa risulterà avere il determinante pari a -25.
Sapendo che il vettore x’ e y’ equivale alla moltiplicazione della matrice della similitudine e del
vettore in x e y, possiamo ricavare quest’ultimo.
x'
x x
x'
Asimil A 1
y'
y y
y'
Sapendo come ricavare la matrice inversa, possiamo trovare il vettore x,y
4
3
25
A-1= 25
4
3
25
25
3
x 25
y 4
25
4
25 * x'
3 y '
25
3
4
x 25 x' 25 y '
y 4 x' 3 y '
25
25
Questa è la forma lineare della simmetria assiale avente come retta y=2x
PUNTI UNITI E RETTE UNITE
Per trovare i punti uniti e le rette unite della trasformazione si procede nel seguente modo.
x 3 x'4 y '
y 4 x'3 y '
Dal momento che il sistema cartesiano di riferimento non è cambiato possiamo direttamente
eliminare gli apici, risolvendo le equazioni:
x 3x 4 y
y 4x 3y
4 x 4 y
2 y 4 x
x y
y 2 x
Sommando i termini simili ed esplicitando i valori parziali di x e y, sostituiamo quello della x della
prima equazione nella seconda equazione, risolvendo così il sistema.
x y
y 2 y
y 0
x 0
Il punto unito risultante è O (0;0).
AUTOVALORI ED AUTOVETTORI
Per calcolare gli autovalori e gli autovettori di una trasformazione, è necessario inserire prima “-λ”
nella diagonale principale della matrice della similitudine. Risulterà quindi:
4
3
Asimil=
3
4
Successivamente troviamo il determinante della matrice risultante e lo poniamo a zero.
Det(Asimil)= (-3-λ)(3-λ)-16=0
Risolviamo l’equazione mediante la formula, trovando i due valori di λ.
λ2-9-16=0
λ2=25
λ= ± 5
Ora, avendo i valori di λ, applichiamo la regoletta “λw = Asw”. Moltiplichiamo cioè i valori di λ
(uno alla volta) alla x e alla y del sistema lineare della similitudine, togliamo gli apici a x’ e y’ e
risolviamo i due sistemi, trovando le rette che indicano le direzioni invarianti.
Con λ= 5
5 x 3x 4 y
5 y 4 x 3 y
8 x 4 y
2 y 4 x
y 2x
y 2x
← direzione invariante
Con λ= -5
5 x 3x 4 y
5 y 4 x 3 y
2 x 4 y
8 y 4 x
1
y 2 x
y 1 x
2
← direzione invariante
Le direzioni che non mutano sono l’asse di simmetria (e le rette ad esso parallele) e tutte le rette ad
esso perpendicolari.
In questo caso direzioni invarianti e rette unite coincidono, non avendo nella trasformazione una
traslazione. Infatti solo se il vettore di traslazione e la direzione invariante sono parallele la
direzione invariante coincide con la retta unita.
Per calcolare le rette unite:
Si sostituiscono i valori di x e y, sempre in funzione di x’ e y’ ,nell’equazione generale di una retta
[y=mx+q].Si troverà allora un’equazione, in cui la y sarà esplicitata, e tutto ciò che è legato alla x
verrà rinominato m e ciò che rimane escluso diverrà il termine noto q. Per ricavare la m e la q della
retta unita poniamo a sistema le equazioni ricavate.
Ogni auovettore v si trasforma in un vettore parallelo, e perciò proporzionale, k x v.
Il rapporto di proporzionalità (rapporto di stiramento) viene chiamato autovalore.
