Elenco degli assiomi per R

Elenco degli assiomi per R
I numeri reali R sono un corpo ordinato completo; essi sono caratterizzati dai seguenti assiomi:
Assiomi di addizione
(A1) Per ogni due elementi a, b ∈ R esiste un’operazione ben definita detto la loro “somma” ed
indicata da a + b.
(A2) Per ogni terno a, b, c ∈ si ha a + (b + c) = (a + b) + c.
(A3) Per ogni paio di elementi a, b ∈ R vale a + b = b + a.
(A4) Esiste un elemento 0 ∈ R tale che per ogni a ∈ R vale a + 0 = a.
(A5) Per ogni a ∈ R esiste un elemento (che si indica con −a) tale che
a + (−a) = 0.
Assiomi di moltiplicazione
Indichiamo con R\{0} l’insieme di tutti gli elementi di R diversi da zero.
(M1) Per ogni due elementi a, b ∈ R esiste un’operazione ben definita detto la loro “prodotto” ed
indicata da a · b (o spesso anche da ab).
(M2) Per ogni terno a, b, c ∈ R vale a · (b · c) = (a · b) · c.
(M3) Per ogni coppia a, b ∈ R vale a · b = b · a.
(M4) Esiste un elemento 1 ∈ R tale che per ogni a ∈ R vale a · 1 = a.
(M5) Per ogni a ∈ R\{0} esiste un elemento (che si indica con a−1 ) tale che
a · a−1 = 1.
Assioma di distributività della moltiplicazione rispetto all’addizione
(D) Per ogni terna a, b, c di elementi di R vale a · (b + c) = a · b + a · c.
Assiomi di ordine
(O1) Su R si ha una relazione < tale che per ogni coppia a, b di elementi di R vale esattamente
una delle alternative seguenti: a ≤ b oppure a = b oppure b < a.
(O2) Se a, b, c ∈ R e valgono sia a ≤ b che b ≤ c allora vale a ≤ c.
(O3) Se a, b ∈ R ed a < b allora per ogni c ∈ R vale a + c < b + c.
(O4) Se a, b ∈ R soddisfanno a < b e c ∈ R soddisfa 0 < c allora a · c < b · c.
Come d’uso si scrive a ≤ b per indicare che a < b oppure a = b.
Assioma di completezza
(C) Sia S è un sottoinsieme non vuoto di R limitato superiormente, cioé tale che esiste
un B ∈ R per cui vale s ≤ B per ogni s ∈ S. Allora esiste un elemento L di R tale
che L è un limite superiore minimale per S, cioé tale che
• Per ogni s ∈ S si ha s ≤ L.
• Se B ∗ è qualsiasi elemento di R tale che per ogni s ∈ S si ha s ≤ B ∗ allora
B ≤ B∗.
Analisi Matematica I
Esercizi per la prova scritta di 04-10-2010
Sia n1 n2 n3 n4 n5 n6 = N il numero di matricola (ad se il numero di matricola è 534772,
allora n1 = 5, n2 = 3, n3 = 4, . . . , n6 = 2).
1. Con la notazione introdotta sopra, se n5 è pari svolgere quesito (i), se n5 è dispari
svolgere quesito (ii).
(i) Trovare una “formula chiusa” per Sn = a − 3a + 5a − · · · + (−1)n−1 (2n − 1)a e dare
una dimostrazione di tale formula tramite induzione matematica.
(ii) Trovare una “formula chiusa” per Sn = 2b − 4b + 6b − · · · + (−1)n−1 2nb e dare una
dimostrazione di tale formula tramite induzione matematica.
2. Se n6 è pari svolgere quesito (i); se n6 è dispari svolgere quesito (ii). [Basta scrivere
poche righe, ma con giustificazione assiomatica per ogni riga.]
(i) Usando gli assiomi dei i numeri reali dimostrare l’unicità dell’inverso ADDITTIVO
di un numero reale a.
(ii) Usando gli assiomi dei i numeri reali dimostrare l’unicità dell’inverso MOLTIPLICATIVO di un numero reale a DIVERSO DA ZERO.
3. Con la notazione introdotta sopra, se n4 è pari svolgere il quesito (i), se n4 è dispari
svolgere il quesito (ii).
(i) Studiare la funzione f (x) = | tan[x − (aπ/2)]|. In particolare dire dove la funzione
è derivabile e calcolare la sua derivata quando esiste. Dire pure dove la derivata
seconda esiste e calcolarla quando esiste. Determinare dove la funzione è crescente
e dove essa è decrescente, e specificare dove essa è convessa e dove è concava.
(ii) Studiare la funzione f (x) = | cot[x − bπ/2)]|. In particolare, dire dove la funzione
è derivabile e calcolare la sua derivata quando esiste. Dire pure dove la seconda
derivata esiste e calcolarla quando esiste. Determinare dove la funzione è crescente
e dove essa è decrescente, e specificare dove essa è convessa e dove è concava.
4. Con la notazione introdotta sopra, se n3 è pari svolgere quesito (i); se n3 è dispari
svolgere quesito (ii).
R∞
2
(i) Calcolare (in forma concettuale) −∞ a−(t−b) dt.
R∞
2
(ii) Calcolare (in forma concettuale) −∞ e−(−t+a) dt.
5. Con la notazione introdotta sopra, se n6 ≤ 4 svolgere quesito (i); se n6 ≥ 5 svolgere
quesito (i).
(i) Calcolare la serie di Fourier della funzione f (x) che è periodica con periodo 2π
definita da
f (x) =
0
(−1)a b
se −π ≤ x ≤ 0
se 0 < x < π.
(ii) Calcolare la serie di Fourier della funzione f (x) che è periodica con periodo 2π
definita da
f (x) =
(−1)b a
0
se −π ≤ x ≤ 0
se 0 < x < π.