elt-BETA

CAP.IV ANALISI DI CIRCUTI LINEARI
TEMPO-INVARIANTI
RELAZIONI INGRESSO / USCITA
Un circuito si può rappresentare come un sistema avente un certo numero di ingressi
ed un certo numero di uscite.
Y1(t)
Y2(t)
U1(t)
U2(t)
YL(t)
UK(t)
L'insieme di tutte le tensioni ai capi dei generatori indipendenti di tensione e di tutte
le correnti attraverso i generatori indipendenti di corrente costituisce l'insieme degli
ingressi del circuito U i (t ) , con i  1,...., K .
Un circuito che contenga un solo generatore indipendente è un circuito ad un solo
ingresso
U
i
(t ) , con i  1 .
L'uscita (che viene chiamata risposta) può essere una qualunque variabile di rete o
una combinazione lineare di variabili di rete (tensioni, correnti, flussi, cariche)
Y
j
(t )
con j  1,...., L .
Per una rete avente un solo ingresso ed una sola uscita si definisce relazione
ingresso/uscita l'insieme di tutte le possibili coppie (u, y ) che si possono manifestare
nella rete.
Se ad ogni u (t ) corrisponde una y (t ) si può anche dire che
y (t )  u (t )
ove  è un operatore che associa alla funzione u (t ) la funzione y (t ) in modo
univoco.
RAPPRESENTAZIONE INGRESSO/USCITA PER CIRCUITI
LINEARI TEMPO INVARIANTI
Per circuiti lineari tempo invarianti con un ingresso ed una uscita la relazione
ingresso/uscita può essere espressa da un’ equazione differenziale lineare a
coefficienti costanti, nella quale l’uscita y(t), con le proprie derivate, figura come
incognita e l’ ingresso u(t), anch’ esso con le proprie derivate, compare solo al
termine noto:
d yt   a d yt   ....  a
d t
d t
n 1
n
n
n 1
1
u t 
y (t )  b d
 ....  b u t 
d t
m
n
m
0
m
(0)
dove n è l’ordine massimo di derivazione con cui compare l’uscita, m l’ordine
massimo di derivazione con cui compare l’ingresso. Infine, i coefficienti
a , a ,....,a
1
2
e
n
b b ,....,b
0,
1
m
sono costanti che dipendono dalla topologia e dal valore
dei parametri circuitali (capacità, induttanze, resistenze...).
Nella precedente relazione non è presente alcuna informazione sullo stato energetico
iniziale del sistema che però è indispensabile conoscere ai fini della determinazione
dell’uscita.Tale stato è sintetizzato dalle condizioni iniziali da imporsi al problema
differenziale:
n 1
dyt 
yt 
d
y 0 ,
,....,
dt  
d t n 1  
0
(0)(0)
0
Considerando la (0) e la (0)(0) si ottiene il problema di Cauchy:
2
Inserire il problema di Cauchy
questo insieme di valori può essere assunto come stato del circuito ed in esso sono
contenute informazioni sulla topologia della rete e sulle energie inizialmente
immagazzinate negli elementi reattivi.
Questa equazione differenziale si ottiene dalle leggi di Kirchhoff e dalle equazioni di
lato, le condizioni iniziali dallo stato iniziale e dalle equazioni di rete.
RISPOSTA CON INGRESSO ZERO
L'equazione ottenuta azzerando l’ ingresso e considerando solo lo stato inizialeè
differenziale omogenea.Il polinomio caratteristico associato ha espressione:
s a s
n
n 1
1
 ....  an1 s  an
Gli zeri del polinomio caratteristico sono detti frequenze naturali della variabile di
rete y.
Se tutte le frequenze naturali sono distinte la soluzione dell'equazione omogenea è
yt    k i es
n
i
t
i 1
in cui le costanti
k
i
sono determinabili a partire dalle condizioni iniziali.
RISPOSTA CON STATO ZERO
Si consideri inizialmente il problema differenziale(Inserire2), ottenuto azzerando
tutte le condizioni iniziali.
Nel presupposto di frequenze naturali distinte si ha
yt    k i es  y p t 
n
i
i 1
3
t
in cui
y t 
è una soluzione particolare che dipende da x(t);
p
k
i
sono determinate
n 1
yt 
d
siano nulle.
y 0 ,....,
n 1
d t
0 
imponendo che


RISPOSTA ALL'IMPULSO
Nel caso di circuiti lineari tempo invarianti, se y(t) è la risposta a x(t), allora la
risposta alla derivata prima di x(t) è la derivata prima di y(t) e così via per le derivate
di ordine superiore, cioè la coppia (y, x) può essere derivata o integrata un certo
numero di volte e le coppie ottenute continuano a corrispondersi nella relazione
ingresso/uscita.
La risposta con stato zero di un circuito tempo-invariante ad un impulso unitario
applicato in t=0 è chiamata risposta all’impulso. Si consideri allora:
x(t)= (t)
y 0  
y 0   ....  y 0   0
n 1
'


L’equazione (0) assume la forma:
n 
y t   a y
 n 1
1
t   ....  a y t   b    t   ....  b  t 
m
n
0
m
Si noti che il secondo membro essendo composto da impulsi è identicamente nullo
 t >0.
Se consideriamo t > 0 un integrale particolare dell'equazione differenziale è
h
p
 t   0 allora la risposta completa all'impulso è :
ht    k i es +hp(t)
n
i
t > 0
t
i 1
4
Per avere la forma completa anche in t  0 occorrerà aggiungere impulsi, cioè :
n
h(t )   k i e u (t )  impulsi opportuni a seconda di m ed n .
t0
si t
i 1
In questa formula h(t ) contiene più o meno impulsi a seconda di come si relazionano
m ed n :
Distinguiamo i seguenti 3 casi:
(n)
1) n  m : (caso proprio) h non contiene funzioni singolari ma
d h
dt
n
include  (m)
2) n  m :
h include un impulso b0 
3) n  m :
h include più di una funzione
singolare.
In conclusione :
n
h(t )   k i e s u(t )
i
t
Per
m  n 1
i 1
n
h(t )   k i e s u(t )  c0 0  (t )  c1 1 (t )    cmn  mn  (t ) per
i
t
m  n.
i 1
Le equazioni che identificano gli impulsi nei due membri sono, in ogni caso, tante
quante le costanti da determinare, e cioè n nel caso
caso
m  n  1
ed m  1
nel
m  n.
RISPOSTA AD UN INGRESSO ARBITRARIO
Nell'analisi di circuiti lineari tempo-invarianti la risposta al gradino e all'impulso
costituiscono risposte canoniche in quanto caratterizzano il comportamento
dinamico del circuito ed inoltre forniscono la base per calcolare la risposta ad un
ingresso arbitrario mediante l'integrale di convoluzione.
5
INTEGRALE DI CONVOLUZIONE O DI DUHAMEL
Risposta con stato zero di un circuito lineare (tempo-invariante) ad un ingresso
arbitrario:
Sia un circuito lineare tempo-invariante pilotato da un generatore di corrente is t  .
Sia v0 t  la risposta con stato zero del circuito all'ingresso is t  ;
allora t  t 0 (con t 0 istante di applicazione dell'ingresso), si ha:
v0 t  
t   
 h t   i  d
s
t0 
DIMOSTRAZIONE:
Si basa sulle proprietà di linearità, tempo invarianza e causalità.
1) Essendo il circuito lineare si applica il teorema di sovrapposizione degli effetti.
Fissato    è possibile decomporre l’intervallo di integrazione t 0 , t  in n intervalli
elementari di ampiezza  in cui la funzione i ( ) con   t 0 , t  si suppone costante e
di valore pari a i  i  nell’intervallo (i-1, i), nulla altrove.
Approssimativamente, quindi:
o

is   x(i )
o

t0
i  t  (i  1)
t  (i  1)
6
che, a meno di una traslazione e di una moltiplicazione per un fattore costante, ha la
forma di un segnale impulsivo di durata finita.
Visto che l’ impulso di durata finita è per definizione:
t0
o
1

p  (t )  

o
0t 
t
per esprimere is(t) in funzione dell’impulso di durata finita, sarà sufficiente traslare
l’impulso di i e moltiplicarlo per un fattore opportuno in modo che l’ampiezza
divenga is(i):
i s  i (i ) p  (t  i )
Sostituendo nell’espressione completa per i s(t)
n
n
 0
 0
is (t )   is   is () p (t  )
Considerando che:
1. Essendo la rete tempo-invariante la risposta all’impulso p(t) traslato è la y(t)
traslata di uno stesso intervallo, cioè la risposta a p(t-) è y(t-)
2. La rete è lineare quindi la risposta ad una combinazione lineare di ingressi è la
combinazione lineare delle risposte.
Si deduce che:
n
y(t )   is () y  (t   )
 0
Ovviamente l’approssimazione coincide con il valore effettivo quando ne prendo il
limite per   0
Spingendo l’indice di sommazione k fino ad infinito:

y(t )  lim
 is () y  (t  )
 0
 0
7
Per   0 nella sommatoria si può leggere un integrale nel quale k funge da
variabile di integrazione t’ e  funge da t’. Inoltre per   0 la risposta y, si
identifica con la risposta all’impulso.
Quindi:
v0 t  
t   
 h t   i  d
s
t0 
OSSERVAZIONI:
1) COROLLARIO
La risposta con stato zero di un circuito lineare tempo-invariante ad un ingresso
arbitrario è funzione lineare dell'ingresso.
2) La tempo-invarianza implica che h(t , t k )  h(t  T , t k  T ) T allora h(t , t k ) è
univocamente definibile in termini di t  t k  .
3) L'integrale di convoluzione non fa riferimento all'ipotesi di costanti
concentrate, ma presuppone la conoscenza di ht  . Se per un sistema a parametri
distribuiti è nota la ht  , l'integrale di convoluzione permette il calcolo della
risposta con stato zero per  sistema anche a parametri distribuiti.
4) Per i circuiti lineari non stazionari l'integrale di convoluzione è l'unico metodo
utilizzabile (anche se di difficile manipolazione perchè, per poter caratterizzare la
dinamica, sono necessarie le risposte impulsive per tutti gli istanti) per il calcolo
della risposta con stato zero ad un ingresso arbitrario.
5) la risposta impulsiva dà la Funzione di Green del sistema.
8
RISPOSTA CON STATO ZERO AD UN INGRESSO
SINUSOIDALE: CIRCUITO DEL 1 ORDINE
V t   E
g
M
sent   
 d V c t  1
t   1 V g t 


V
c
RC
RC
 dt
V 0  0
t0
 c
L'integrale generale dell'omogenea associata risulta
V t   K e
t
 RC
'
c
L'integrale particolare per un ingresso sinusoidale è del tipo:
V t   V
''
c
M
sent    in cui V M e  sono costanti da determinar e
Per calcolare
V
M
e 
si sostituisce la soluzione particolare nell'equazione
differenziale ottenendo:
 V M cost    
1
1


sen

t



V
E M sent   
RC M
RC
Ovvero
 V M cost cos  sent sen   V M sent cos  cost sen   E M sent cos  cost sen
RC
RC
ordinando in sen t e cos t si ha :
9


cost  V M cos  V M sen  E M sen    sen t   V M sen 
RC
RC


 V M cos  E M cos
RC
RC
 0
affinché la relazione valga  t > 0 deve essere :

VM
EM
 V M cos  RC sen  RC sen

VM
EM
 
 V M sen  RC cos  RC cos
quadrando e sommando membro a membro si ha :
V
2
M
1  
2
R C  E
2
2

2
M
V
M

E
1
M
2
2
RC
2
Dividendo membro a membro si ha :
tg 
 V M cos  V M sen
RC
 V M
sen  V
M
RC
cos
e dividendo per  V M cos
1
tg
tg  RC

RC
tg 

1
1  RCtg
 tg 
RC
1
posto RC  tg cioè   arctg  RC  si ha
tg 
tg  tg
 tg     ovvero
tgtg  1
tg  tg   arctg  RC   tg   arctg RC 
da cui
    arctg RC      arctg RC
in definitiva le costanti V M e  si ricavano a partire da
10
E
M
e
V
M

E
1
    arctgRC
M
2
2
RC
2
Nel caso di un circuito RL tali costanti sarebbero
I
M

E
R  L
2
2
    arctg 
M
2
L
R
Si noti che l'argomento dell'arcotangente è sempre adimensionale.
L'operatore impedenza lega
I
con E M
M

con 
In definitiva la soluzione cercata è
V t   V t   V t   K e
c
'
''
c
c

t
RC
E

1
M
2
2
RC
2
sent    arctg RC 
Imponendo che V c 0   0 (stato zero) si ha 0  K  V M sen  per cui
V t   V
c
sen e
M

t
RC
 V M sent  
*
*
Notiamo che al limite per t   la risposta può scomporsi in 2 termini componenti
1. componente transitoria (
2.

e
componente permanente V
t
RC
M
) che  0 quando t  
sen t   
Notiamo che il transitorio può essere evitato solo se sen  0 cioè   0 ciò
equivale ad applicare l'ingresso con un angolo tale che   arctgRC .
11
RISPOSTA COMPLETA, TRANSITORIO E REGIME
PERMANENTE
La risposta di un circuito dovuta sia ad un ingresso applicato che alle condizioni
iniziali si chiama risposta completa. Pertanto la risposta con ingresso zero e con stato
zero sono casi particolari di risposta completa. La risposta completa può essere vista
in 2 modi diversi:
1) Per circuiti lineari yc  y zi  y zs .
2) Per classi particolari di funzioni di ingresso ha interesse considerare il
comportamento asintotico della risposta e vedere se questa riproduca determinate
caratteristiche dell'ingresso.
Esempio:
INGRESSI POLINOMIALI, ESPONENZIALI, SINUSOIDALI.
Nel caso del circuito RC del I ordine lineare con ingresso sinusoidale, si ha:
v(t )  V0 e
t
RC
 VM sin(t   )  VM sin( )e
t
RC
 (V0  VM sin( ))e
t
RC
 VM sin(t   )
Notiamo che il comportamento asintotico per t   della risposta tende a riprodurre
l'ingresso seppure con ampiezza e fasi differenti.
La rete si dice che ammette regime permanente o stazionario di tipo sinusoidale.
Il primo termine si dirà risposta transitoria ed il secondo risposta in regime
permanente all'ingresso (in questo caso sinusoidale) .
Il transitorio è definito come differenza tra la risposta completa e la risposta in
regime permanente(se esiste).
Per un circuito lineare, alla risposta transitoria contribuiscono sia la risposta con
ingresso zero che la risposta con stato zero, mentre alla risposta in regime
permanente contribuisce solo la risposta con stato zero.
In pratica, il regime permanente dipende dall'integrale particolare, mentre la risposta
transitoria dipende dall'integrale particolare e dalle condizioni iniziali.
12
Condizione necessaria affinchè possa esistere una risposta in regime
permanente è che il comportamento asintotico della risposta completa sia legato
soltanto alle caratteristiche dell'ingresso e non dipenda dallo stato iniziale.
Nel caso di sistemi lineari questo è garantito se le frequenze naturali associate alle
variabili di uscita hanno parte reale negativa (vedi stabilità).
La condizione necessaria permette di distinguere i circuiti per i quali non può
esistere in nessun caso una risposta in regime permanente dagli altri nei quali tale
risposta potrebbe esistere .
Occorre osservare che, mentre è sempre possibile decomporre la risposta completa
in una risposta con ingresso zero ed in una con stato zero (nell'ipotesi di linearità),
la possibilità della decomposizione in risposta transitoria e permanente è
condizionata dall'esistenza del regime permanente.
Il calcolo del regime permanente presuppone la verifica della condizione di
decadimento asintotico delle risposte libere in uscita.
STABILITA'
Un
circuito
lineare
tempo-invariante
univocamente
risolubile
si
dice
esponenzialmente (asintoticamente) stabile se tutte le sue frequenze naturali hanno
parte reale negativa. Se, invece, una o più frequenze naturali hanno parte reale
positiva, il circuito è esponenzialmente instabile.
La risposta con ingresso zero di un circuito asintoticamente stabile tende a zero per
t  .
Per circuiti instabili si può solo affermare che , per la maggior parte (alcuni) degli
stati iniziali, la risposta con ingresso zero tende ad  per t   .
13
TRASFORMATA DI LAPLACE
Si è osservato che lo studio di una rete linerae tempo-invariante passa attraverso la
risoluzione di equazioni lineari ed a coefficienti costanti. La trasformazione di
Laplace fornisce la risoluzione di queste ultime in quanto consente di passare da un
problema differenziale ad uno algebrico, con l’unico inconveniente di dovere
lavorare con la variabile complessa:
s=j
DEFINIZIONE
Data una funzione del tempo f(t), definita nell’intervallo (0,+), la Trasformata di
Laplace di f(t) si indica con
F(s) oppure
Lf(t)
Ed è definita come:

F ( s)   f (t )e  st dt
0
che è una funzione della variabile complessa s.
L’integrale appena scritto è da considerarsi come risultato di due successivi passaggi
al limite:

F (s)   f (t )e dt  lim
0
st
T
 f (t )e
 0
T  
st
dt
Talvolta il passaggio al limite di T restistuisce un risultato non finito e quindi si può
concludere che non tutte le funzioni del tempo sono trasformabili secondo Laplace.
14
PROPRIETA’ DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE
Le principali regole della Trasformata di Laplace :
La trasformata della somma di due funzioni f1(t) e f2(t) è data dalla somma
delle trasformate delle due funzioni (la stessa regola vale anche per le
antitrasformate):
L [ f1(t) + f2(t) ] = F1(s) + F2(s)
La trasformata di Laplace del prodotto di una costante K per la funzione f(t) è
data dal prodotto fra la costante stessa e la trasformata F(s) della f(t):
L[ K·f(t) ] = K·F(s)
La trasformata della derivata di una funzione f(t) è data dalla trasformata F(s)
dellafunzione moltiplicata per s e diminuita del valore f(0-) che la funzione
assume all'istante t = 0- (condizioni iniziali); in detto enunciato è anche
riassunto il cosiddetto teorema della trasformata della derivata generalizzata:
La trasformata dell'integrale di una funzione f(t) corrisponde alla F(s) divisa per s:
15
dove, nei casi pratici, l’integrale scritto a secondo membro altro non è che la
grandezza f(t)·t calcolata nell’istante iniziale.
Teorema del valore iniziale
il valore assunto dalla funzione
f(t)
all'istante t=0 si ottiene moltiplicando s
per la trasformata della funzione stessa e
calcolandone successivamente il limite
per s tendente all'infinito:
Teorema del valore finale:
il valore assunto dalla funzione
f(t)
quando t tende a infinito si ottiene
moltiplicando s per la trasformata della
funzione
stessa
e
calcolandone
successivamente il limite per s che tende
a 0. Questo teorema vale solo se il
denominatore della s·F(s) ha radici tutte
a parte reale minore di zero.
Teorema della moltiplicazione
per t:
Teorema della traslazione in s:
Ovvero una traslazione
nel dominio
della variabile s corrisponde nel tempo a
moltiplicare per la quantità e16
.
Teorema della traslazione nel
tempo:
Ovvero una traslazione
nel dominio
del tempo corrisponde a moltiplicare per il
termine e-
nel dominio della s.
LKC ed LKT nel dominio di Laplace
Le Leggi di Kirchoff, sia per le correnti sia per le tensioni, essendo delle relazioni
algebriche,rimangono immutate dopo la trasformazione.
INSERIRE TABELLA DELLE LEGGI DI LATO NEL DOMINIO S
FUNZIONI DI RETE
Si chiama funzione di rete H(s) il rapporto tra la trasformata di Laplace della risposta
a stato zero e la trasformata di Laplace dell’ingresso.
H(s)=Y(s)/X(s)
Una prima proprietà della funzione di rete si può evidenziare notando che, se
l’ingresso x(t) è un impulso (t), poichè la sua trasformata è nulla:
Y(s)=H(s)
Quindi, la funzione di rete rappresenta la trasformata di Laplace della risposta
all’impulso.
17
TIPI DI FUNZIONE DI RETE
Al variare del tipo di ingresso e di uscita(corrente o tensione) si possono avere
quattro tipi di funzioni di rete:
1) Se l’ingresso è la sollecitazione di un generatore di corrente e l’uscita è anch’essa
una corrente, la funzione di rete esprime un guadagno di corrente (adimensionale).
2) Se l’ingresso è la sollecitazione di un generatore di tensione e l’uscita è anch’essa
una tensione, la funzione di rete esprime un guadagno di tensione (adimensionale).
3) Se l’ingresso è la sollecitazione di un generatore di corrente e l’uscita è una
tensione, la funzione di rete ha il significato di una impedenza.
Se la tensione e la corrente sono relativi allo stesso bipolo la funzione di rete prende
il nome di autoimpedenza; se, invece,non sono relativi allo stesso bipolo, si parla di
transimpedenza.
4) Se l’ingresso è la sollecitazione di un generatore di tensione e l’uscita è una
corrente, la funzione di rete ha il significato di una ammettenza.
Se la tensione e la corrente sono relativi allo stesso bipolo la funzione di rete prende
il nome di autoammettenza; se, invece,non sono relativi allo stesso bipolo, si parla
di transammettenza.
PROPRIETA’
In ognuni dei quattro casi analizzati la funzione di rete è una funzione razionale
fratta.
Questo è dovuto al fatto chel’equazione che lega ingresso ad uscita è:
any(n)(t)+ an-1y(n-1)(t)+ ...+a1y’(t)+ a0y(t) = bmx(m)(t)+ bm-1y(m-1)(t)+ ...+b1y’(t)+ b0y(t)
Trasformando(nell’ipotesi in cui lo stato iniziale sia nullo) si ottiene:
18
aisiY(s)= bjsjX(s)
Y(s)/X(s)=...inserire formula
La forma ottenuta è razionale fratta indipendentemente dalla natura elettrica di x(t) e
y(t).
I coefficienti a0,..., an, b0,.. bn, sono numeri reali. Tali coefficienti sono reali in quanto
ognuno è la somma di prodotti di resistenze, induttanze, capacità...e tali valori sono
numeri reali. Una funzione di rete è, così, completamente rapprensentata da due
insiemi din coefficienti reali che definiscono i polinomi al numeratore ed al
denominatore.
FORMA FATTORIALE DELLA FUNZIONE di trasferimento pag.711
Dove k è un fattore di scala, zi sono detti zeri della funzione di rete,pm sono detti poli
della funzione di rete.
...Inserire qualcosa su poli e zeri?
FREQUENZENZE NATURALI
Un valore complesso s* si dice frequenza naturale per la variabile di rete x(t)- una
tensione, un potenziale di nodo, una corrente...-se esiste uno stato energetico (0),
tale che la risposta della variabile con ingresso zero è della forma:
x(t)=K es*t+...
cioè se contiene un termine esponenziale decrescente con esponente s*.
19
Il concetto di frequenza naturale di una variabile di rete è legato a quello di
equazione differenziale minima della variabile stessa, intendendo con questo
determinare l’equazione differenziale di pordine più piccolo che descrive la dinamica
della x(t).
Se questa è :
Inserire formula con le derivate
La relativa equazionje caratteristica sarà:
ansn+ an-1sn-1+ ...+ a0=0
Le soluzione di questa equazione saranno le frequenze naturali della variabile di rete
x(t).
Le frequenze naturali di una rete sono l’insieme di tutte le frequenze naturali
associste a tutte le variabili di rete.
TEOREMA FONDAMENTALE DEL REGIME SINUSOIDALE
Si considera un circuito lineare tempo-invariante univocamente risolubile,
esponenzialmente stabile, pilotato da generatori indipendenti sinusoidali tutti con
uguale pulsazione  ; allora, per  stato iniziale si ha che:
per t   tutte le variabili di rete tendono ad un unico regime sinusoidale di
pulsazione  .
OSSERVAZIONE:
Caso delle frequenze naturali sull'asse immaginario, e j non soluzione .
1) Frequenze semplici : Allora la risposta completa può contenere un termine
sinusoidale di pulsazione diversa da quella del generatore.
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2) Frequenze multiple : Allora P(t )e s t che t   per t   il circuito è instabile
m
e non ha risposta a regime.
PROPRIETA’ DELLA RISPOSTA PER
CIRCUITI LINEARI/TEMPO INVARIANTI
Un circuito a parametri concentrati è lineare se è composto di elementi lineari e
generatori indipendenti..
Un circuito a parametri concentrati è tempo invariante se è composto di elementi
tempo invarianti e generatori indipendenti.
La risposta con ingresso zero è la risposta in assenza di eccitazione esterna ed è
dovuta solo allo stato iniziale.
La risposta con stato zero è la risposta dovuta ad un ingresso applicato in
condizione che il circuito sia nello stato zero in
t
t
0
con la
0
La risposta al gradino A(t ) è la risposta con stato zero dovuta ad un ingresso a
gradino di ampiezza unitaria.
La risposta all'impulso h(t ) è la risposta con stato zero dovuta ad un impulso di area
unitaria.
PROPRIETÀ' DELLA RISPOSTA DEI CIRCUITI LINEARI
1) la risposta con ingresso zero è una funzione lineare dello stato iniziale;
2) la risposta con stato zero è una funzione lineare dell'ingresso;
3) la risposta completa è la somma della risposta con ingresso zero e della risposta
con stato zero.
Funzioni di trasferimento:poli e zeri
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