Teoria dei numeri
Lezione del giorno 7 maggio 2009
Anche nel caso in cui il numero di Mersenne Mp non sia primo, i fattori primi di Mp hanno una
struttura particolare:
Teorema.
Se p è un primo >2, per ogni fattore primo q di Mp=2p-1 si ha q 1 (mod p), quindi q=1+kp con k
naturale (e in particolare k pari), e inoltre si ha q 1,7 (mod 8).
Dimostrazione:
Essendo Mp dispari, si ha q>2, quindi q dispari. Poiché 2p 1 (mod Mp), anche 2p 1 (mod q),
dunque [2]p=[1] in Zq* e se s è il periodo di [2] in Zq*, si ha sp, da cui, essendo p primo, s=p
(perché s1 in quanto [2][1]).
Il periodo s=p è divisore della cardinalità q-1 di Zq* , dunque q 1 (mod p), q=1+kp con k naturale
(e in particolare k pari perché q,p sono dispari).
Infine, posto k=2t, [2](q-1)/2=([2]p)t=[1] in Zq* , 2(q-1)/2 1 (mod q), e per il criterio di Eulero 2 è resto
quadratico modulo q, dunque (2/q)=1, e ciò avviene solo per q 1,7 (mod 8).
Per trovare un fattore primo di Mp (con p primo >2 fissato), si può procedere allora facendo
assumere in successione al parametro t i valori interi positivi t=1,2,…., e verificando con
l’algoritmo della divisione se il numero q=1+2tp è 1,7 (mod 8) ed è divisore di Mp. Il minimo
valore di t per cui q=1+2tp è divisore di Mp fornisce con certezza un valore primo q (se q non fosse
primo avrebbe un divisore primo q1<q, ma q1 sarebbe a maggior ragione divisore di Mp, quindi
sarebbe della forma q1=1+2t1p con t1<t, contro la minimalità di t).
Dopo avere trovato un fattore primo q di Mp, si può ripetere il ragionamento sul numero Mp/q per
trovare altri fattori primi di Mp e pervenire alla completa fattorizzazione di Mp in prodotto di primi.
Numeri perfetti.
Un numero naturale n>1 è detto perfetto se n è la somma dei suoi divisori <n.
Per esempio n=6 è perfetto in quanto 6=1+2+3; n=8 non è perfetto in quanto 81+2+4.
Se per ogni naturale n definiamo la funzione (n) uguale alla somma di tutti i divisori di n (incluso
n), si ha che un naturale n>1 è perfetto se e solo se (n)=2n.
Se n è un naturale >1, e se la fattorizzazione di n in prodotto di potenze di primi distinti è:
n= p1k1 p 2 k 2 ....p r k r (pi primi distinti, ki>0)
allora (per la fattorizzazione unica) ogni divisore d di n ha la forma:
d= p1h1 p 2 h 2 ....p r h r con 0 hi ki per ogni i=1,….,r
dunque si ha la seguente formula per il calcolo di (n):
(n)=
r
p1h
i 1
0 h i k i
1
p 2 h 2 ....p r h r
Teorema.
Se n,m sono naturali >1 coprimi, si ha (nm)=(n)(m).
Dimostrazione:
Se le fattorizzazioni di n,m in prodotto di potenze di primi distinti sono rispettivamente:
n= p1k1 p 2 k 2 ....p r k r
m= p r 1k r 1 p r 2 k r 2 ....ps k s
la fattorizzazione di nm in prodotto di potenze di primi distinti è:
nm= p1k 1 p 2 k 2 ....p r k r p r 1k r 1 p r 2 k r 2 ....p s k s
e per la proprietà distributiva si ottiene:
(n)(m)= (
0 h i k i
p1h 1 ....p r h r )(
p r 1 h
0 h i k i
r 1
....p s h s ) =
p1h p 2 h
1
0 h i k i
2
....p r h s =(nm).
Vedremo che vi è uno stretto legame fra la teoria di numeri perfetti e quella dei numeri di
Mersenne.
Cominceremo con la dimostrazione del seguente risultato di Euclide: dato il numero di Mersenne
primo Mk=2k-1 (quindi con k primo), il numero naturale n=2k-1Mk=2k-1(2k-1) è perfetto.
Teorema (Euclide).
Se il numero di Mersenne Mk=2k-1 è primo, il numero n=2k-1(2k-1)=2kM è perfetto.
Dimostrazione.
Essendo Mk dispari, i numeri 2k-1, p sono coprimi, e per un risultato precedente si ha:
(n)=(2k-1)(Mk).
Essendo Mk primo si ha (Mk)=1+Mk=1+(2k-1)= 2k.
I divisori di 2k-1 sono le potenze 20, 21, …., 2k-1, dunque (2k-1)= 20+21+22+….+2k-1=2k-1 (dove si è
sfruttata l’identità (x-1)(1+x+x2+….+xk-1)=(xk-1) per x=2).
In totale si ottiene (n)=2k(2k-1)=2[2k-1(2k-1)]=2n ed n è perfetto.
Eulero dimostrò un parziale viceversa:
Teorema (Eulero).
Se n è un naturale pari perfetto, allora n è della forma n=2k-1Mk dove Mk=2k-1 è un numero di
Mersenne primo.
Dimostrazione:
Poiché n è pari, se 2t (con t>0) è la massima potenza di 2 che divide n, si può scrivere n=2tm con m
dispari.
Poniamo k=t+1>1, in modo che n=2k-1m.
Essendo m dispari, i numeri 2k-1, m sono coprimi, e dunque (n)=(2k-1)(m).
Come nella dimostrazione del Teorema precedente si ha (2k-1)=2k-1.
Poiché n è perfetto per ipotesi, si ottiene 2km=2n=(n)=(2k-1)(m)=(2k-1)(m).
Dunque 2k-1 è divisore del prodotto 2km; ma 2k, 2k-1 sono coprimi (perché consecutivi), quindi 2k-1
è divisore del fattore m, e si ha m=(2k-1)M, con M naturale.
Sostituendo si ha: 2km=2k(2k-1)M=(2k-1)(m), da cui (m)=2kM.
Si ha allora m+M=(2k-1)M+M=2kM=(m).
Essendo m,M entrambi divisori distinti di m (perché m=(2k-1)M>M), ed essendo (m) la somma di
tutti i divisori di m, concludiamo che m,M sono gli unici divisori di m (e dunque necessariamente
M=1), ossia m è primo ed inoltre:
m=(2k-1)M=(2k-1)=Mk, ed n=2k-1m=2k-1Mk, come voleva la tesi.
Dai Teoremi di Euclide ed Eulero segue che un naturale pari n è perfetto se e solo se è della forma
n=2k-1(2k-1) con k naturale >1, e con Mk=2k-1 numero di Mersenne primo.
Per esempio, per k=2, il numero 22-1=3 è primo, e si ottiene il numero perfetto n=2(22-1)=6.
Analogamente per k=3, il numero 23-1=7 è primo, e si ottiene il numero perfetto n=22(23-1)=28.
Per quanto riguarda i numeri perfetti dispari, la questione è tutt’ora aperta: non sono stati trovati
numeri perfetti dispari, né è stata trovata una loro caratterizzazione, come nel caso dei perfetti pari.
La caratterizzazione dei numeri perfetti pari induce una corrispondenza biunivoca fra essi e i numeri
di Mersenne primi: poiché sono stati trovati 44 numeri di Mersenne primi, altrettanti sono i numeri
perfetti pari attualmente conosciuti.
