I numeri amicabili e perfetti
Definizione Due numeri interi positivi n, m si dicono amicabili se la
somma dei divisori propri di n è uguale a m e viceversa.
Pare che sia stato Pitagora a scoprire l’esistenza di simili coppie di
numeri: fu probabilmente lui il primo ad accorgersi che 220 e 284
possiedono questa singolare proprietà. In effetti: i divisori propri di
220 sono 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110. Sommate questi
numeri e otterrete 284. D’altra parte i divisori propri di 284 sono 1, 2,
4, 71, 142, la cui somma è proprio 220.
I numeri 220 e 284 sono stati per molti secoli gli unici amicabili
conosciuti: fin dall’antichità furono
oggetto di superstizione. Si
credeva che due amuleti sui quali fossero incisi questi numeri
avrebbero assicurato eterna amicizia tra i loro portatori.
Per avere una nuova coppia di numeri amicabili si dovette aspettare
fino al secolo XVII, quando Fermat annunciò che anche 17.296 e
18.416 lo sono. Due anni dopo un altro grande matematico francese,
Cartesio, trovò in 9.363.584 e 9.437.056 una terza coppia di numeri
amicabili. Pare che comunque entrambe le coppie fossero già state
trovate, molto tempo prima, dai matematici arabi Al-Fārisī e AlYazdi. Nel ‘700 il matematico svizzero Eulero allungò la lista con 60
nuovi esempi. Ma a tutti questi grandi geni, inspiegabilmente, sfuggì
una coppia di numeri amicabili di 4 cifre (1184 e 1210), che fu invece
scoperta, nel 1866, da Nicolò Paganini, un ragazzino di 16 anni,
omonimo del grande musicista. Oggi si conoscono alcune centinaia di
coppie di numeri amicabili.
In realtà il principale merito spetta forse al matematico arabo Tâbit
ibn Qorra, che nel secolo IX pubblicò una semplice regola per
produrre coppie di numeri amicabili:
Se, per un certo intero k>1, i tre numeri p=3 2k – 1, q=32k-1 –1 e
r=92 2k-1 –1 sono primi, allora i numeri N = 2kpq e M=2kr sono amicabili.
Eulero ne trovò una generalizzazione:
Se, per interi positivi n, m, i numeri p=(2n-m +1)2n –1, q=(2n-m +1)2m –1 e
r=(2n-m +1)22n+m –1 sono primi, allora i numeri N= 2npq e M=2nr sono
amicabili.
La regola di Tâbit ibn Qorra si ottiene da quest’ultima ponendo
k=n=m+1.
Introduciamo ora un altro tipo di numeri, che, come vedremo, è legato
alla nozione di numeri amicabili. La definizione seguente è tratta dal
Libro VII degli Elementi di Euclide. La traduciamo in linguaggio
moderno.
Definizione Un numero perfetto è quello che è uguale alla somma dei
suoi divisori propri.
In altri termini, un numero perfetto è un numero amicabile con se
stesso. L’ultima proposizione del Libro IX degli Elementi di Euclide
fornisce un criterio per trovare numeri perfetti pari. Il risultato è
stato perfezionato molti secoli più tardi da Eulero:
Il numero n è pari e perfetto se e solo se si può scrivere nella forma:
n = (2k-1) 2k-1,
per qualche k1, e per questo valore di k il numero 2k-1 è primo.
In questo enunciato compare implicitamente la nozione, più moderna,
di primo di Mersenne. Si noti, inoltre, che ogni numero perfetto pari
è un numero triangolare.
Il teorema che abbiamo appena enunciato fornisce tutti i numeri
perfetti pari. In effetti possiamo facilmente utilizzarlo per ricavare i
valori dei più piccoli numeri perfetti pari: 6 (k=1), 28 (k=2), 496 (k=3).
Basta passare in rassegna i possibili valori di k e prendere in
considerazione solo quelli per i quali il numero 2k-1 è primo.
E i numeri perfetti dispari? La verità è che nessuno, finora, sa se ne
esistano.
La perfezione del sei secondo Vitruvio
La perfezione del sei secondo Firenzuola
