Teoria dei numeri e Crittografia: lezione del 12 maggio 2011 Il teorema di Pepin permette di costruire un algoritmo deterministico di primalità per i numeri di r Fermat Fr = 2( 2 ) +1 (con r>0): Fr -1 1) si calcola la riduzione 3 2 modFr 2) se tale riduzione è = (n -1) si esce con output “Fr è primo”; in caso contrario si esce con output “Fr è composto”. Poiché si può utilizzare l’esponenziazione modulare, la complessità di tale test è O(x3), dove r r x=L(Fr)=2r+1 (perché 2( 2 ) < Fr< 2( 2 +1) ). I numeri di Fermat Fr hanno alcune interessanti applicazioni geometriche relative al cosiddetto problema della “ciclotomia”: fissato un naturale n>2, suddividere una circonferenza in n parti uguali (equivalentemente disegnare un poligono regolare di n lati iscritto nella circonferenza) usando solo riga e compasso. Per quali valori di n>2 il problema ha soluzione ? Per esempio per n=6 il problema ha soluzione: il lato dell’esagono regolare si può costruire con riga e compasso perché la sua ampiezza è uguale a quella del raggio della circonferenza circoscritta. Esiste un importante Teorema (di cui diamo solo l’enunciato): Teorema. Il problema della ciclotomia ha soluzione per tutti e soli i valori n>2 tali che n sia della forma: n = 2t Fr1 Fr2 .....Frm dove t 0, e Fr1 , Fr2 ,....., Frm sono numeri primi di Fermat distinti (al limite può essere anche m=0, quando n è una potenza di 2) Per esempio per n=7 il problema della ciclotomia non ha soluzione (perché 7 è primo ma non è un primo di Fermat): non è possibile costruire con riga e compasso il lato dell’ettagono regolare. Anche per n=9=32 il problema della ciclotomia non ha soluzione (perché 9 è il quadrato di un primo di Fermat): non è possibile costruire con riga e compasso il lato dell’ennagono regolare. Dimostriamo che i fattori primi dei numeri di Fermat Fr hanno una struttura particolare, per r>1. Teorema. Se r>1, per ogni divisore primo p di Fr= 2( 2 ) +1 si ha p 1 (mod 2r+2), quindi p=1+k2r+2 con k numero naturale. Dimostrazione: r r Per ipotesi p è divisore del numero dispari Fr, quindi p è primo >2. Si ha 2( 2 ) -1 (mod p). r +1 Essendo 2, p coprimi si ha [2] Zp* , [2]( 2 ) =[-1] 2 = [1], e se s=ord([2]) in Zp* , s è divisore di 2r+1, quindi s=2d con d r+1. Dimostriamo che d=r+1. Se per assurdo fosse d<r+1, sarebbe: r d r -d r -d [2]( 2 ) = ([2]( 2 ) )2 = ([2]s ) 2 =[1] r ed essendo 2( 2 ) -1 (mod p) si avrebbe 1 -1 (mod p), contraddizione perché p>2. Dunque d=r+1, s=2r+1. Ma il s=ord([2]) è divisore della cardinalità p-1 di Zp* , p-1=2r+1z con z naturale, e dunque p-1 è multiplo di 8 (perché r+1>2), ossia p 1 (mod 8). Per le proprietà del simbolo di Legendre si ha (2/p)=1, e per il criterio di Eulero 2(p-1)/2 1 (mod p), [2] (p-1)/2=[1], dunque s=ord([2]) è divisore di (p-1)/2, cioè (p-1)/2=hs=h2r+1 con h naturale da cui p-1=h2r+2 cioè la tesi. Per trovare un divisore primo di Fr (con r>1), si può allora implementare il seguente algoritmo: si fanno assumere in successione al parametro k i valori interi positivi k=1,2,…., verificando con l’algoritmo della divisione se il numero p=1+k2r+2 è divisore di Fr. Il minimo valore di k per cui p=1+k2r+2 è divisore di Fr fornisce con certezza un divisore primo p di Fr (se p per assurdo non fosse primo, p avrebbe un divisore primo p1<p, ma p1 sarebbe a maggior ragione divisore di Fr, quindi sarebbe della forma p1=1+k12r+2 con k1<k, contro la minimalità di k). Dopo avere trovato un divisore primo p di Fr, si può ripetere il ragionamento sul numero Fr /p per trovare altri divisori primi di Fr /p (e quindi di Fr) e pervenire infine alla completa fattorizzazione di Fr in prodotto di primi. Numeri di Mersenne. Dopo avere studiato i numeri di Fermat (successivi di una potenza di 2), studieremo i numeri che precedono una potenza di 2. Poniamo Mk=2k-1, con k>1: un tale numero naturale (dispari) è detto numero di Mersenne. Come per i numeri di Fermat, studiamo quando un numero di Mersenne Mk è primo: vedremo in tale caso che k non può essere un esponente qualunque. Teorema. Se Mk=2k-1 (con k>1) è un numero primo, l’esponente k è necessariamente primo. Dimostrazione: Per assurdo sia k non primo, e sia k=ts, con 1<t,s<k. Sfruttando la proprietà (già considerata in altre dimostrazioni) che per ogni s>1 si ha: (x-y)(xs-ys) con y=1, x=2t, si ottiene che x-y=2t-1 è divisore di xs-ys=2ts-1=2k-1=Mk , con 2t-1>1 (perché t>1) e 2t-1<Mk (perché t<k), contraddizione perché Mk è primo. Dunque, per cercare valori primi di Mk=2k-1 si deve restringere la ricerca al caso in cui l’esponente k sia primo. Esistono tuttavia esponenti k primi per cui Mk non è primo: per esempio per k=11 si ha Mk=211=2047=2389, non primo. Notizie sulla situazione attuale della ricerca sui numeri di Mersenne primi si possono trovare sul sito: www.mersenne.org (progetto GIMPS: Great Internet Mersenne Primes Search). A tutt’oggi sono stati trovati 46 numeri di Mersenne primi: il più grande è stato scoperto nell’Agosto del 2008: è il numero 243.112.609-1, ed ha 12.978.189 cifre in base 10. Le tecniche per verificare se un numero di Mersenne è primo fanno uso del cosiddetto criterio di Lucas-Lehmer, che ora esporremo. Definiamo la successione S1, S2, …., Sn,….. di numeri naturali nel modo seguente: S1 = 4; per ogni i>1: Si = Si-12-2 (quindi per esempio S2=42-2=14, S3=142-2=194 etc.) Il criterio di Lucas-Lehmer è enunciato nel seguente Teorema (di cui omettiamo la dimostrazione): Teorema di Lucas-Lehmer. Dato un numero di Mersenne Mp=2p-1, con p primo >2, si ha: Mp è primo Sp-1 0 (mod Mp) Si può allora costruire un algoritmo deterministico di primalità per i numeri di Mersenne Mp=2p-1, con p primo >2, nel modo seguente: 1) Si calcolano i numeri interi T1, T2, …., Tp-1 ponendo: T1 = 4; per ogni i>1: Ti = (Ti-12-2)modMp (notare che per ogni i si ha 0 Ti<Mp ; inoltre per ogni i si ha anche SiTi (mod Mp) come si dimostra facilmente per induzione) 2) Se Tp-1=0 (ciò equivale ad Sp-1 0 (mod Mp)) si esce con output “Mp è primo”; in caso contrario si esce con output “Mp è composto”. Il numero Mp ha lunghezza binaria p (in base 2 ha p cifre tutte =1). Esaminando la complessità dell’algoritmo, si nota che il calcolo di ognuno dei Ti comporta: il calcolo del prodotto Ti-12 di 2 fattori <Mp quindi di lunghezza p (complessità O(p2)); il calcolo della differenza Ti-12-2, dove Ti-12 ha lunghezza 2p (complessità O(p))); il calcolo della riduzione (Ti-12-2)modMp, dove (Ti-12-2) ha lunghezza 2p (complessità O(4p2)=O(p2)). In totale il calcolo di ognuno dei Ti ha complessità O(p2); poiché il numero dei Ti è (p-1), la complessità totale del test è O(p3). Anche nel caso in cui il numero di Mersenne Mp non sia primo, i suoi divisori primi (almeno nel caso p primo >2) hanno una struttura particolare: Teorema. Se p è un primo >2, per ogni divisore primo q di Mp=2p-1 si ha q 1 (mod p), quindi q=1+kp con k naturale, e inoltre si ha q 1,7 (mod 8). Dimostrazione: Essendo Mp dispari, si ha q dispari. Poiché 2p 1 (mod q), si ha [2] p=[1] in Zq* e se s=ord([2]) è il periodo di [2] in Zq*, si ha sp, da cui, essendo p primo, s=p (perché s1 in quanto [2] [1]). Il periodo s=p è divisore della cardinalità q-1 di Zq* , dunque q 1 (mod p), q=1+kp con k naturale e in particolare k pari perché q, p sono dispari). Infine, posto k=2t, [2] (q-1)/2=([2] p)t=[1] in Zq* , 2(q-1)/2 1 (mod q), e per il criterio di Eulero 2 è resto quadratico modulo q, dunque (2/q)=1, e ciò sappiamo che avviene solo per q 1,7 (mod 8). Per trovare un divisore primo di Mp (con p primo >2 fissato), si può procedere allora facendo assumere in successione al parametro t i valori interi positivi t=1,2,…., e verificando con l’algoritmo della divisione se il numero q=1+2tp è 1,7 (mod 8) ed è divisore di Mp. Il minimo valore di t per cui ciò avviene fornisce con certezza un divisore primo q di Mp (se q non fosse primo avrebbe un divisore primo q1<q, ma q1 sarebbe a maggior ragione divisore di Mp, quindi sarebbe 1,7 (mod 8) e della forma q1=1+2t1p con t1<t, contro la minimalità di t). Dopo avere trovato un divisore primo q di Mp, si può ripetere il ragionamento sul numero Mp/q per trovare altri divisori primi di Mp e pervenire infine alla completa fattorizzazione di Mp in prodotto di primi. Numeri perfetti. Un numero naturale n>1 è detto perfetto se n coincide con la somma dei suoi divisori <n. Per esempio n=6 è perfetto in quanto 6=1+2+3; n=8 non è perfetto in quanto 81+2+4. Se per ogni naturale n>1 definiamo la funzione (n) uguale alla somma di tutti i divisori di n (incluso n), si ha che un naturale n>1 è perfetto se e solo se (n)=2n. Se n è un naturale >1, e se la fattorizzazione di n in prodotto di potenze di primi distinti è: n= p1k1 p2 k2 .... pr kr (pi primi distinti, ki >0) allora (per la fattorizzazione unica) ogni divisore d di n ha la forma: d= p1h1 p2h2 .... pr hr con 0 hi ki per ogni i=1,….,r dunque si ha la seguente formula per il calcolo di (n): (n) = r i 1 0 hi ki p1h1 p2 h2 .... pr hr Teorema. Se n,m sono naturali >1 coprimi, si ha (nm)=(n)(m). Dimostrazione: Se le fattorizzazioni di n,m in prodotto di potenze di primi distinti sono rispettivamente: n= p1k1 p2 k2 .... pr kr m= pr 1kr 1 pr 2 kr 2 .... ps ks (i fattori primi di n sono distinti da quelli di m perché n, m sono coprimi) la fattorizzazione di nm in prodotto di potenze di primi distinti è: nm= p1k1 p2 k2 .... pr kr pr 1kr 1 pr 2 kr 2 .... ps ks e per la proprietà distributiva si ottiene: (n)(m)= ( r i 1 0 hi ki s p1h1 .... pr hr )( i r 1 0 hi ki s pr 1hr 1 .... ps hs ) = i 1 0 hi ki p1h1 p2 h2 .... pr hs =(nm). Vedremo che vi è uno stretto legame fra la teoria di numeri perfetti e quella dei numeri di Mersenne. Cominceremo con la dimostrazione del seguente risultato di Euclide: Teorema (Euclide). Se il numero di Mersenne Mk=2k-1 è primo, il numero n=2k-1(2k-1)=2kM è perfetto (e ovviamente pari). Dimostrazione. Essendo Mk dispari, i numeri 2k-1, Mk sono coprimi, e per un risultato precedente si ha: (n)=(2k-1)(Mk). Essendo Mk primo si ha (Mk)=1+Mk=1+(2k-1)= 2k. I divisori di 2k-1 sono le potenze 20, 21, …., 2k-1, dunque (2k-1)= 20+21+22+….+2k-1=2k-1 (dove si è sfruttata l’identità (xk-yk)=(x-y)(xk-1+xk-2y+….+xyk-2+ yk-1) per x=2, y=1). In totale si ottiene (n)=2k(2k-1)=2[2k-1(2k-1)]=2n ed n è perfetto. Eulero dimostrò il viceversa: Teorema (Eulero). Se n è un numero naturale pari perfetto, allora n è della forma n=2k-1Mk dove Mk=2k-1 è un numero di Mersenne primo. Dimostrazione: Poiché n è pari, se 2t (con t>0) è la massima potenza di 2 che divide n, si può scrivere n=2tm con m dispari. Poniamo k=t+1>1, in modo che n=2k-1m. Essendo m dispari, i numeri 2k-1, m sono coprimi, e dunque (n)=(2k-1)(m). Come nella dimostrazione del Teorema precedente si ha (2k-1)=2k-1. Poiché n è perfetto per ipotesi, si ottiene 2km=2n=(n)=(2k-1)(m)=(2k-1)(m). Dunque 2k-1 è divisore del prodotto 2km; ma 2k, 2k-1 sono coprimi (perché consecutivi), quindi 2k-1 è divisore del fattore m, e si ha m=(2k-1)M, con M naturale divisore di m. Sostituendo si ha: 2km=2k(2k-1)M=(2k-1)(m), da cui (m)=2kM. Si ha allora m+M=(2k-1)M+M=2kM=(m). Essendo m,M entrambi divisori di m, ed essendo (m) la somma di tutti i divisori di m, concludiamo che m,M sono gli unici divisori di m (e dunque necessariamente M=1), ossia m è primo ed inoltre: m=(2k-1)M=(2k-1)=Mk, ed n=2k-1m=2k-1Mk, come voleva la tesi.