PIANO CARTESIANO
Punto medio di un segmento
Il punto medio M di un segmento di estremi A = (x A , y A ) e B = (x B , y B ) ha le seguenti coordinate:
x + xB
y + yB
xM = A
yM = A
(semisomma delle coordinate)
2
2
Serve per trovare l’asse di un segmento e per trovare il quarto vertice di un parallelogramma di cui
siano noti gli altri 3 vertici.
Distanza tra due punti (o lunghezza di un segmento)
La distanza tra due punti A = (x A , y A ) e B = (x B , y B ) (o la lunghezza del segmento AB) vale:
AB =
(x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2
(serve per trovare il perimetro e la base dell’area di un triangolo)
LA RETTA NEL PIANO CARTESIANO
Ogni equazione di primo grado in due variabili (x, y), in un piano cartesiano, rappresenta una retta.
Equazione esplicita della retta
y = m x + q dove m = coefficiente angolare e q = quota all’origine
Non esiste l’equazione esplicita per le rette verticali. Le rette orizzontali hanno m = 0.
Equazione implicita della retta
ax+by+c=0
Bisogna saper passare da una forma all’altra. In particolare
a) si passa dall’equaz. implicita a quella esplicita per disegnare la retta e per trovarne l’m (// e ⊥ )
b) si passa dall’equaz. esplicita a quella implicita per calcolare la distanza punto/retta (o per
trovare l’altezza per il calcolo di un’area)
Equazioni particolari di rette
y = m x retta passante per l’origine degli assi
y=x
bisettrice 1^ e 3^ quadrante
y=–x
bisettrice 2^ e 4^ quadrante
y=q
retta orizzontale (// asse x)
x=a
retta verticale (// asse y)
y=0
asse x
x=0
asse y
Coefficiente angolare della retta passante per due punti noti
Dati due punti A = (x A , y A ) , B = (x B , y B ) , la retta passante per essi ha coefficiente angolare:
a) primo caso (i due punti hanno la stessa x): non esiste l’m (retta verticale)
b) secondo caso (i due punti hanno la stessa y): m = 0 (retta orizzontale)
y − yA
c) terzo caso (x e y entrambe diverse): m = B
xB − xA
Serve per verificare che ABCD è parallelogramma ( m AD = m BC e m AB = m DC ).
Equazione della retta passante per due punti
Dati due punti A = (x A , y A ) , B = (x B , y B ) , la retta passante per essi ha equazione:
a) primo caso (i due punti hanno la stessa x): x = x A (retta verticale, // asse y))
b) secondo caso (i due punti hanno la stessa y): y = y A (retta orizzontale, // asse x)
y − yA
x − xA
c) terzo caso (x e y entrambe diverse):
=
yB − yA x B − x A
Serve nel calcolo dell’area di un triangolo per trovare l’equazione della retta della base (che serve
in forma implicita nella formula della distanza punto/retta che dà l’altezza).
Equazione della retta passante per un punto e avente coefficiente angolare noto
La retta passante per il punto P = (x P , y P ) e avente coefficiente angolare noto m, ha equazione
y – y P = m (x – x P )
Serva per trovare la retta // (o ⊥ ) a una retta data passante per un punto noto.
Condizione di parallelismo
Due rette sono parallele se le loro equazioni esplicite hanno lo stesso coefficiente angolare:
se
m1 = m 2
r) y = m1 x + q1 // s) y = m 2 x + q 2
Condizione di perpendicolarità
Due rette sono perpendicolari se le loro equazioni esplicite hanno coefficiente angolare l’uno
antireciproco dell’altro:
1
r) y = m1 x + q1 ⊥ s) y = m 2 x + q 2
se
m2 = −
(o m1 ⋅ m 2 = –1)
m1
Fascio proprio di rette
Il fascio proprio di centro il punto P = (x P , y P ) , ha equazione:
y – y P = m (x – x P ) più la retta x = x P (con m variabile, rimane scritto così)
Fascio improprio di rette
Il fascio improprio di rette parallele a una retta con coefficiente angolare m ha equazione:
y = m x + q (con q variabile, rimane scritto così)
Distanza di un punto da una retta
La distanza di un punto P = (x P , y P ) da una retta r di equazione a x + b y + c = 0 è data da:
a x P + b yP + c
d (P, r) =
a 2 + b2
N. B. L’equazione della retta deve essere IMPLICITA. Serve per calcolare l’altezza nell’area di un
poligono.
PROBLEMI SULLA RETTA
1) Disegnare una retta
Per disegnare una retta nel piano cartesiano parto dalla sua equazione esplicita y = m x + q (se ho
l’equazione implicita ricavo l’esplicita facendo i calcoli) e compilo la seguente tabella:
x y
0 q
1 m+q
La retta passerà per i punti A = (0; q) e B = (1, m+q).
2) Problema di appartenenza di un punto a una retta
Dato il punto P = (x P , y P ) bisogna verificare se appartiene a una retta di equazione ax + by + c = 0.
Basta andare a sostituire le coordinate di P nell’equazione della retta: a x P + b y P + c = 0 ; se viene
un’identità (VERO), allora P appartiene alla retta, se viene impossibile (FALSO) non appartiene.
3) Intersezioni di una retta con gli assi
Per trovare le intersezioni di una retta r di equazione a x + b y + c = 0 con gli assi cartesiani
bisogna risolvere due sistemi lineari:
a x + b y + c = 0
a x + b y + c = 0
A = r ∩ asse x =
B = r ∩ asse y =
y = 0
x = 0
4) Posizione di due rette
Per stabilire la posizione reciproca di due rette r ed s di equazioni
r) a1 x + b1 y + c1 = 0 s) a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 bisogna risolvere il sistema lineare delle due
equazioni. Se il sistema è impossibile, allora r ed s sono //. Se il sistema è indeterminato, allora r ed
s sono coincidenti. Se il sistema è determinato, allora r ed s sono incidenti nel punto che ha per
coordinate la coppia soluzione del sistema.
5) Problema dell'asse di un segmento
L’asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento e passante per il suo punto medio.
Sono dati gli estremi di un segmento AB con A = (x A , y A ) e B = (x B , y B ) . Per trovare l'equazione
dell'asse del segmento AB si procede così:
a) si trova il punto medio M di AB M = M AB con le formule sopra ricordate;
b) si trova il coefficiente angolare della retta AB, m AB con le formule sopra ricordate;
1
c) si trova il coefficiente angolare della retta ⊥ AB, m ⊥ = −
m AB
d) si trova l’asse come retta per M e avente coefficiente angolare m ⊥ : y – y M = m ⊥ (x – x M ).
6) Problema dell'area di un triangolo
Sono dati tre punti A = (x A , y A ) , B = (x B , y B ) , C = (x C , y C ) e si vuole calcolare l’area del
triangolo ABC. Se il triangolo è scaleno si procede nel seguente modo:
a) si sceglie un lato come base (ad esempio AB) e se ne calcola la lunghezza AB = b con la
formula della distanza tra punti; (N. B. lasciare la radice così com’è senza arrotondare)
b) si trova l’equazione IMPLICITA della retta r della base per A e B usando il procedimento
y − yA
x − xA
precedentemente descritto della retta per due punti: prima
=
, poi calcoli per
yB − yA x B − x A
trovare l’eq. implicita a x + b y + c = 0 della base;
c) si calcola la distanza h del punto C dalla retta r appena trovata; tale distanza rappresenta
l’altezza relativa alla base AB; (N. B. lasciare la radice così com’è senza arrotondare):
a x C + b yC + c
d (C, r) =
a 2 + b2
1
d) si calcola l’area del triangolo con la formula: Area (ABC) = ⋅ b ⋅ h (N. B. le due radici spesso
2
si semplificano).
7) Stabilire se un quadrilatero è un parallelogramma
Per stabilire se un quadrilatero di vertici ABCD è un parallelogramma si procede così:
a) primo modo: si dimostra che m AD = m BC e m AB = m DC (così AD//BC e AB//DC per condizione di
parallelismo).
b) secondo modo: si dimostra che AD = BC e AB = DC con la formula della distanza fra punti (per
primo criterio di parallelogramma segue che AD//BC e AB//DC).
c) terzo modo: si verifica che M AC = M BD con la formula del punto medio (le diagonali si tagliano
a metà, per terzo criterio di parallelogramma segue che AD//BC e AB//DC).
