3a Esercitazione: soluzioni
A cura di Monica Bonacina
Corso di Microeconomia A-K, a.a. 2013-2014
Questo eserciziario sostituisce gli esercizi di …ne capitolo del vostro libro di testo.
La struttura degli esercizi è analoga a quella che troverete all’esame.
Ciascun capitolo dell’eserciziario si compone di tre sezioni. Nella prima sezione,
chiamata "A-De…nizioni", vi si chiede di de…nire sinteticamente alcuni termini. Qualora
fosse necessario potrete avvalervi dll’aiuto di formule o/o gra…ci. Nella seconda
sezione, chiamata "B-Vero/Falso", vi si chiede di dire se gli enunciati riportati sono
da considerarsi veri, falsi o incerti e di fornire una spiegazione della vostra risposta.
Mi raccomando, concentratevi sulla spiegazione perchè è la parte più importante.
La terza sezione, chiamata "C-Esercizi", contiene degli esercizi. Gli esercizi possono
essere sia numerici che di analisi gra…ca.
Buon lavoro!!
La maggior parte dei quesiti riportati di seguito è tratta da temi d’esame
Argomenti trattati in questa esercitazione: il modello di scelta intertemporale e scelta ottima tra tempo libero e reddito. Prerequisito allo
svolgimento dei quesiti contenuti nell’esercitazione è lo studio dei Capitoli 5 e 14 del
Libro di Testo, Robert H. Frank, Microeconomia, McGraw-Hill (ed.), 5a edizione
a cura di Romano Piras, ISBN 978 88 386 6653-7.
Ragazzi, se avete bisogno di contattarmi, la mia mail è [email protected]!
1
1
A - De…nizioni.
Si de…niscano sinteticamente i termini anche con l’ausilio, qualora necessario, di formule e gra…ci. Per ogni de…nizione corretta viene attribuito 1 punto.
Def. 1 Vincolo di bilancio intertemporale.
Soluzioni. Il vincolo di bilancio intertemporale può essere espresso sia in valore
attuale che in termini futuri. In valore attuale stabilisce l’uguaglianza fra il valore attuale della spesa per beni di consumo ed il valore attuale dei redditi che il consumatore
guadagna nell’arco di tempo considerato:
1
1+i C1
+ C0 =
1
1+i M1
+ M0
dove C0 è il consumo nel periodo presente, C1 quello nel consumo futuro, M0 è il
reddito guadagnato nel periodo presente, M1 quello nel periodo futuro ed i il tasso di
interesse. Similmente il vincolo di bilancio intertemporale espresso in termini futuri
stabilisce l’uguaglianza fra il valore futuro della spesa per beni di consumo ed il valore
futuro dei redditi del consumatore nell’arco di tempo considerato:
C1 + (1 + i) C0 = M1 + (1 + i) M0
.
Def. 2 Saggio marginale di preferenza intertemporale.
Soluzioni. Il saggio marginale di preferenza intertemporale de…nisce il numero di
unità di consumo futuro che il consumatore vuole scambiare con una unità aggiuntiva
di consumo presente. Alternativamente potremmo anche dire che il saggio marginale
di preferenza intertemporale de…nisce il numero di unità di consumo domani che il
consumatore chiederebbe in cambio della rinuncia ad una unità di consumo oggi al
…ne di mantenere il proprio livello di soddisfazione inalterato.
Def. 3 Tasso di interesse a debito.
Soluzioni. Tasso a cui un individuo che si è indebitato deve ripagare il prestito
ricevuto.
Def. 4 Curva di o¤erta di lavoro di un lavoratore.
Soluzioni. La curva di o¤ erta di lavoro di un lavoratore individua la relazione tra
il numero di ore che l’individuo considerato decide di destinare ad attività lavorativa
(L) ed il saggio di salario (o salario orario, w).
2
2
B - Vero/Falso.
Si stabilisca se gli enunciati sono veri, falsi, o incerti. Si fornisca una spiegazione
(anche gra…ca se opportuno) e si argomenti compiutamente la risposta. L’argomentazione
è più importante della corretta classi…cazione. Per ogni vero/falso corretto viene attribuito 1 punto.
Vero/Falso 5. Un soggetto dispone di 24 ore di tempo libero T (in ascissa) e di
nessuna una unità di bene di consumo Y (in ordinata); supponiamo che il salario
orario sia w, e che il prezzo del bene di consumo sia p. Allora il suo vincolo di bilancio è Y = 24 (w=p)T .
Soluzioni. FALSO. Sostituendo nella forma generale del vincolo di bilancio
pY = w(24
T)
si ottiene
Y =
w
p 24
w
pT
.
Vero/Falso 6. Nello scegliere come allocare il tempo disponibile tra tempo libero
e tempo dedicato al lavoro, un individuo razionale deciderà sempre di lavorare di più
in seguito ad un aumento del salario.
Soluzioni. INCERTO. Se il consumatore riceve un salario orario più elevato
potrebbe anche decidere di lavorare meno ore perchè può guadagnare lo stesso reddito
(e dunque permettersi lo stesso livello di consumo) raggiunto in precedenza impegnando meno ore.
Vero/Falso 7. In seguito ad un aumento del tasso di interesse un risparmiatore
potrebbe decidere di indebitarsi.
Soluzioni. FALSO. In seguito all’aumento del tasso di interesse il risparmiatore potrebbe ridurre il suo livello di risparmio (che, come evidenziato dal gra…co
sottostante potrebbe passare da S = M 0 C0 a S0 = M0 C0 < S) ma non è possibile che il paniere ottimo appartenga al tratto di vincolo di bilancio caratterizzato
da un consumo presente superiore al reddito presente.
3
C1
Nuovo paniere
ottimo
Paniere ottimo
iniziale
M1
Paniere delle
dotazioni iniziali
C*0 C**0 M0
1+i
C0
Vero/Falso 8. Le preferenze di Guido per consumo presente (C0 ) e consumo futuro
(C1 ) sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità: U (C0 ; C1 ) = min(C0 ; C1 ).
I prezzi dei due beni sono entrambi pari ad 1. Guido sa che il suo reddito di quest’anno
è M0 = 20, mentre il reddito del prossimo anno è M1 = 40. Qualunque sia il tasso di
interesse (i), Guido deciderà di risparmiare.
Soluzioni. FALSO. Il paniere ottimo di Guido, stanti le preferenze del consumatore, si caratterizzerà per un livello di consumo presente pari al livello di consumo
futuro (infatti dalla funzione di utilità si evince che la retta dei vertici è C0 = C1 ).
Dato che il reddito prsente di Guido è inferiore al reddito futuro ( M0 < M1 ) ci
aspettiamo che Guido si indebiti.
Vero/Falso 9. In seguito ad una riduzione del tasso di interesse un soggetto mutuatario (che è indebitato) potrebbe decidere di risparmiare.
Soluzioni. FALSO. In seguito alla contrazione del tasso di interesse il debitore
deciderà sicuramente di aumentare il suo livello di indebitamento (come si evidenzia
nel gra…co sottostante).
4
C1
Paniere delle
dotazioni iniziali
Paniere ottimo
iniziale
Nuovo paniere
ottimo
M1
Nuovo vincolo di
bilancio
1+i
M0
C*0
C**0
C0
Vero/Falso 10. Il paniere ottimo di Paolo si caratterizza per un livello di consumo
futuro maggiore del consumo presente; quindi Paolo è un risparmiatore.
Soluzioni. INCERTO. Paolo sarà un risparmiatore se il suo panire ottimo di
consumo conterrà un livello di consumo presente, C0 , inferiore al reddito presente,
M0 ; Paolo si indebiterà se il suo panire ottimo di consumo conterrà un livello di
consumo presente, C0 , speriore al reddito presente, M0 .
Vero/Falso 11. Un soggetto sa che il suo reddito di quest’anno è M0 , mentre il reddito del prossimo anno è M1 . Quel soggetto può consumare il bene C0
quest’anno e il bene C1 nel prossimo anno. Se i prezzi dei due beni sono entrambi
pari a 1 e il tasso di interesse è i, allora il vincolo di bilancio si può scrivere come
C1 = M0 + M1 (1 + i) C0 (1 + i).
Soluzioni. FALSO. Il vincolo di bilancio intertemporale espresso in termini
futuri sarà C1 = M0 (1 + i) + M1 C0 (1 + i).
Vero/Falso 12. Si consideri il modello di scelta intertemporale. Consumo oggi
(C1 ) e consumo domani (C2 ) sono per Susanna perfetti complementi. Se il tasso (r)
al quale Susanna può dare o prendere a prestito diminuisce, allora la consumatrice
deciderà di diminuire il consumo in entrambi i periodi.
Soluzioni. INCERTO. L’e¤ etto della contrazione di r sulle decisioni di consumo di Susanna dipende da dove si trova il paniere delle dotazioni iniziali rispetto
alla retta dei vertici e quindi dal livello di investimento o di indebitamento iniziale
della consumatrice.
Vero/Falso 13. Il signor Rossi sa che il suo reddito odierno è 250e e che il prossimo
anno guadagnerà 330e (M1 = 250; M2 = 330). Rossi può destinare il proprio reddito
all’acquisto di due beni: pane oggi, C1 , oppure pane il prossimo anno, C2 . Il tasso
5
al quale Rossi può dare o prendere a prestito è r = 10%. Allora il vincolo di bilancio
intertemporale di Rossi si può scrivere come C1 = 550 C2 =1; 1.
Soluzioni. VERO. Il valore presente del vincolo di bilancio intertemporale di
Rossi è
M1 + M2 =(1 + r) = C1 + C2 =(1 + r):
Sostituendo i dati che vengono forniti nell’esercizio si ottiene: 250 + 330=1; 1 =
C1 + C2 =1; 1 ovvero 550 = C1 + C2 =1; 1, da cui C 1 = 550 C2 =1; 1.
Vero/Falso 14. Il signor Rossi sa che il suo reddito odierno è 250e e che il prossimo
anno guadagnerà 330e (M1 = 250; M2 = 330). Rossi può destinare il proprio reddito
all’acquisto di due beni: pane oggi, C1 , oppure pane il prossimo anno, C2 . Il tasso
al quale Rossi può dare o prendere a prestito è r = 10%. Allora il saggio marginale
di preferenza intertemporale di Rossi è 1,1.
Soluzioni. FALSO in generale. Il saggio marginale di preferenza intertemporale de…nisce il numero di unità di consumo futuro che il consumatore vuole scambiare
con un’unità aggiuntiva di consumo presente; analiticamente il saggio marginale di
preferenza intertemporale è pari al rapporto tra l’utilità marginale del consumo oggi
rispetto a quella del consumo il prossimo anno: MU C1 =M UC2 . Nel caso di preferenze
regolari (ad esempio di tipo Cobb-Douglas) tale rapporto è pari a 1,1 (ovvero a 1+r)
in corrispondenza della scelta ottima dell’individuo (N.B. ma solo in corrispondenza
di tale scelta ottima).
Vero/Falso 15. Le preferenze di Claudio per consumo presente (C1 ) e consumo
il prossimo anno (C2 ) sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità tipo
Leontief: U (C1 ; C2 ) = min(C1 ; C2 ). Claudio dispone di e200 al tempo presente
(M1 = 200) e sa che disporrà di 100e il prossimo anno (M2 = 100). Il tasso a
cui Claudio può dare e prendere a prestito è r = 50% . Allora Claudio sceglierà
di risparmiare 50e al tempo presente per potersi permettere un maggior livello di
consumo il prossimo anno.
Soluzioni FALSO. Il valore futuro del vincolo di bilancio intertemporale di Claudio è M 1 (1 + r) + M2 = C1 (1 + r) + C2 ovvero, sostituendo i valori che ci vengono
forniti nell’esercizio
400 = C1 (1; 5) + C2 ;
inoltre, data la forma delle preferenze di Claudio per consumo presente e futuro
sappiamo che il consumatore desidera mantenere un pro…lo di consumo costante nel
tempo (dunque la scelta ottima di Claudio dev’essere tale per cui C1 = C2 ); quindi
sostituendo nel vincolo di bilancio intertemporale otteniamo che la scelta ottima di
Claudio è
400 = C1 (1; 5) + C1 ! C1 = 400=2; 5 = 160:
Dal momento che Claudio dispone di un reddito presente pari a e200 e che ne spende
e160 in consumo presente, risparmierà 200-160=40 al tempo presente per potersi
permettere un maggior consumo il prossimo anno.
6
C2
Paniere delle dotazioni
110
Vincolo di bilancio
-1,1
100
3
C1
C - Esercizi.
Si risolvano i seguenti esercizi. Per ogni esercizio corretto vengono attribuiti 10 punti.
Esercizio 1. Il signor Tettys Cicada non ha alcun reddito nel 2010 (M1 = 0), ma
sa già che nel 2011 guadagnerà un reddito pari a 110 (M2 = 110). Il pane del 2010
(C1 , in ascissa) e quello del 2011 (C2 ) hanno prezzo pari a 1; il tasso di interesse è del
10% (r = 10%); le preferenze di Tettys sono rappresentate dalla seguente funzione di
utilità: U (C1 ; C2 ) = C10:7 C20:7 .
1. Rappresentate gra…camente il vincolo di bilancio intertemporale di Tettys, indicando i valori di intercetta, l’inclinazione ed il paniere delle dotazioni.
2. Individuate la scelta ottima di Tettys. Dite anche quanto risparmia, o di quanto
si indebita Tettys nel 2010.
3. Calcolate la domanda di pane nel 2010 in funzione di M2 ed r.
Soluzioni. (1) Il vincolo di bilancio intertemporale (in valore futuro) del consumatore è
(1 + r)C1 + C2 = (1 + r)M1 + M2
da cui
C2 =
1; 1C1 + 110
(2) Stante la forma delle preferenze di Tettys, da cui si ricava un saggio marginale
di sostituzione
0;7 C2
M UC1
C2
M RS = M
UC2 = 0;7 C1 = C1 ;
il paniere ottimo è ottenuto risolvendo il sistema
vincolo di bilancio
!
condiz di tangenza
C2 =
C2
C1
1; 1C1 + 110
!
=1+r
da cui
C1 = 50
C2 = 55
ed il livello di indebitamento di Tettys è quindi pari a
S = M1
C1 =
7
50
2; 2C1 = 110
C2 = 1; 1C1
C2
110
Paniere delle dotazioni
Vincolo di bilancio
E*
55
-1,1
50
100
C1
(3) La domanda di pane del 2010 si ottiene risolvendo un sistema analogo a quello
al punto (2), mantenendo incogniti il reddito nel secondo periodo ( M2 ) e il tasso di
interesse (r) da cui
vincolo di bilancio
!
condiz di tangenza
C2 =
(1 + r)C1 + M2
! C1 =
=1+r
C2
C1
M2
2(1+r)
.
Esercizio 2. Il signor Bonaventura sa che quest’anno avrà un reddito pari a 2.000
(M1 = 2.000), e l’anno prossimo un reddito pari a 2.340 (M2 = 2.340). Con tali
redditi Bonaventura può acquistare pane odierno (C1 ) e pane futuro (C2 ). Il prezzo
dei beni di consumo è costante nel tempo e pari a 1 (p1 =p2 = 1). Il tasso di interesse
è l’8% (r = 8%; cioè r = 0,08). Le preferenze di Bonaventura sono rappresentate
dalla funzione di utilità U (C1 ; C2 ) = C10:6 C20:4 .
1. Si rappresenti gra…camente il vincolo di bilancio intertemporale di Bonaventura,
indicando con precisione le “dotazioni iniziali”, l’inclinazione e le intercette.
2. Si calcolino le quantità di pane odierno e pane futuro scelte da Bonaventura per
massimizzare la sua utilità, riportandole sul gra…co di cui al punto precedente;
spiegare se Bonaventura risparmia o si indebita, motivando ciò sulla base della
forma della sua funzione di utilità.
3. Se la funzione di utilità di Bonaventura fosse U (C1 ; C2 ) = C10:4 C20:6 , vi aspettereste che la sua scelta in termini di risparmio o indebitamento sia la stessa?
Non occorre rifare i calcoli.
Soluzioni. (1) Il vincolo di bilancio intertemporale (espresso in valori futuri) è
dato da:
M1 (1 + r) + M2 = C1 p1 (1 + r) + C2 p2
vale a dire, usando i dati proposti nell’esercizio:
C2 = 4500
C1
1; 08
Non si riporta il gra…co, ma solo i numeri: in ascissa e ordinata ci sono rispettivamente le quantità dei due beni C 1 e C 2 . Ne segue che: l’intercetta verticale del
8
vincolo di bilancio intertemporale è (0; 4500); l’intercetta orizzontale è (4166,67; 0);
la pendenza è -(1+r) = -1,08; il paniere delle dotazioni iniziali coincide con il valore
dei redditi nei due periodi (2000; 2340).
(2) La scelta ottima di Bonaventura si ottiene risolvendo il seguente sistema
C2 = 4500 C1 1; 08
! C1 = 2500; C2 = 1800
M RS = 1 + r
Dato che C1 >M1 , Bonaventura si indebita per 500.
(3) Invertendo i due esponenti, le preferenze di Bonaventura si invertono, e il
consumatore dà maggiore importanza al consumo futuro: ci si attende allora che
Bonaventura voglia trasferire consumo al futuro, dunque risparmiando nel primo periodo anziché indebitandosi.
Esercizio 3. Nota: il seguente esercizio va svolto solo in termini gra…ci.
Un individuo dispone di 24 ore di tempo libero (N, in ascissa), di cui può godere
oppure a cui può rinunciare lavorando. Se lavora, la paga oraria è w; con il reddito
ottenuto può comprare un bene (Y, in ordinata) il cui prezzo è p. Per il nostro
individuo tempo libero e bene di consumo sono complementi perfetti.
1. Rappresentate il vincolo di bilancio dell’individuo, esplicitandone inclinazione
e intercette.
2. Rappresentate alcune curve di indi¤erenza dell’individuo, spiegando bene il
perché di quella forma. Individuate la scelta ottima dell’individuo.
3. Supponete che il prezzo del bene di consumo aumenti passando a p’> p. Come
si modi…ca la scelta ottima dell’individuo?
Soluzioni. (1) (1) Il vincolo di bilancio del nostro individuo è costituito da tutte
le combinazioni dei bue beni (tempo libero e consumo) che egli si può permettere
tenendo conto dei dati, cioè della sua dotazione di 24 ore di tempo libero, del salario
orario e del prezzo del bene. Il vincolo di bilancio si rappresenta in un gra…co i cui
assi misurano le quantità di tempo libero (ascissa) e di bene di consumo (ordinata).
Indichiamo con N il tempo libero, con Y il consumo di tutti gli altri beni, e con L le
ore dedicate ad attività lavorativa. Il vincolo di bilncio è
wL = pY ! Y = (w=p)L
dove, ricodando che L=24-N e sostituendo
Y =
wT
p
w
pN
!Y =
w
p (24)
w
pN
L’intercetta orizzontale è (24;0); questo è anche il paniere delle dotazioni del nostro
consumatore. L’intercetta verticale è (0; 24w/p). La pendenza del vincolo di bilancio
è –w/p.
9
Y
24w/p
Retta dei vertici
Y=N
Vincolo di
bilancio
Paniere ottimo
Curva di
indifferenza
Y*
Paniere delle
dotazioni iniziali
-w/p
N*
24
N
(2) Se i beni sono complementi perfetti, l’utilità dell’individuo non aumenta se
(a partire dal vertice di una curva di indi¤ erenza) viene aumentata la quantità di
uno solo dei due beni. Data l’usuale forma della funzione di utilità per questo caso
(forma a "L") ovvero U(N, Y) = min(aN;bY), dove a e b sono parametri positivi. Ad
esempio se il consumatore volesse consumare un’ora di tempo libero con un’unità di
bene di consumo la funzione di utilità risultarebbe U(N,Y)=min(N;Y) e si caratterizzerebbe per una retta dei vertici coincidente con la bisettrice del primo quadrante.
Una volta tracciata la retta dei vertici - che nel caso di consumo in rapporto …sso
1:1 coincide con la bisettrice e ha pendenza 1 - possiamo rappresentare la mappa
di curve di indi¤ erenza richiesta dall’esercizio. il consumatore desidera consumarli
congiuntamente in un rapporto …sso (1:1) quindi le sue curve di indi¤ erenza avranno
la tipica forma a "L". Le preferenze possono essere dunque rappresentate dalla funzione di utilità U(N,Y)=min(N,Y) che si caratterizza per una retta dei vertici Y=N.
La scelta ottima dell’individuo, paniere E*, si ottiene risolvendo il seguente sistema
tra vincolo di bilancio e retta dei vertici
Y =
w
p (24)
N =Y
w
pN
!
Y =
w
p (24)
N =Y
w
pY
!
Y =
N =
24w
p+w
24w
p+w
(3) In seguito ad un aumento del prezzo del bene di consumo il consumatore
contrarrà il livello di consumo sia di tempo libero che di bene di consumo. Il nuovo
paniere ottimo di consumo, E**, si caratterizza infatti per Y**<Y* e N**<N*. Per
la legge della domanda essendo aumentato il prezzo del bene Y il consumatore ne
acquistarà meno unità. Inoltre, dato che il consumatore consuma il bene Y ed il
tempo libero in un rapporto …sso (beni complementari) e potendo acquistare un minor
numero di unità di bene Y, il consumatore ridurrà anche le unità di tempo libero
consumate. La nuova scelta ottima si caratterizza quindi per un minor quantitativo
sia di bene di consumo che di tempo libero.
10
Y
Retta dei vertici
Y=N
24w/p
24w/p’
Curve di
indifferenza
Paniere ottimo
Nuovo paniere
ottimo
Y*
Y**
Paniere delle
dotazioni iniziali
-w/p
N** N*
24
N
Esercizio 4. Il signor Rossi ha a disposizione 24 ore, che può fruire come tempo
libero (T) oppure impiegare per lavorare (L) onde ottenere un reddito per consumare
altri beni. Le preferenze di Rossi relativamente alle ore di tempo libero (T, misurato
in ascissa) e altri beni (Y, misurati in ordinata) sono descritte dalle seguente funzione:
U (T; Y ) = T 0:6 Y 0:6 . Il prezzo degli altri beni è p = 1 euro, mentre il salario orario è
pari a w = 9 euro.
1. Calcolate e fornite una rappresentazione gra…ca del paniere ottimo scelto da
Rossi speci…cando pendenza ed intercette del vincolo di bilancio. Stante la
forma della funzione di utilità, discutete della relazione che sussiste tra i beni
considerati.
2. Supponete che il salario orario raddoppi (w0 = 18 euro). Discutete le conseguenze di tale aumento sulla decisione ottima di Rossi. In particolare: quanto
lavorava prima e quanto lavora adesso?
3. Supponete che la funzione di utilità di Rossi sia U (T; Y ) = T 0:8 Y 0:4 . Senza
fare calcoli, argomentate come varierebbe la scelta ottima di Rossi rispetto a
quanto trovato al punto 1, a parità di prezzi e di salario (p = 1 euro e w = 9
euro).
Soluzioni. (1) Si tratta di un problema da a¤ rontare con gli strumenti standard
della teoria del consumatore: i due beni oggetto di consumo sono il tempo libero (T)
ed il paniere contenente tutti gli altri beni di consumo Y; le preferenze di Rossi sono
di tipo Cobb-Douglas, per cui le curve di indi¤ erenza sono decrescenti e convesse.
Dato che Rossi ha a disposizione 24 ore e che T indica il numero di ore destinate a
tempo libero,
L = 24 T
indica le ore destinate ad attività lavorativa. Il vincolo di bilancio di Rossi è ottenuto
come segue:
pY = wL
la spesa in beni di consumo deve eguagliare il reddito a disposizione. Ricordando poi
che L=24-T si ottiene
pY = w(24
T) ! Y =
w
p (24
11
T ) ! Y = 216
9T
Se Rossi gode interamente delle sue 24 ore nella forma di tempo libero non ottiene
alcun reddito e dunque non consuma alcuna quantità degli altri beni: l’intercetta
orizzontale è dunque il punto (24;0). Se Rossi lavorasse tutto il giorno, 24 ore,
guadagnerebbe un reddito pari a 9 24 = 216; dunque l’intercetta verticale è (0;216).
In…ne la pendenza del vincolo di bilancio, in valore assoluto, è w/p=9. Data la
funzione di utilità, si deduce che il saggio marginale di sostituzione è
M RS =
M UT
M UY
=
0:6(T 0:6 1 Y 0:6 )
0:6(T 0:6 Y 0:6 1 )
=
0:6(T 0:4 Y 0:6 )
0:6(T 0:6 Y 0:4 )
=
0:6Y 0:6+0:4
0:6T 0:6+0:4
=
Y
T
ed è quindi crescente in Y e decrescente in T. Ne deduciamo che il consumatore
manifesta una preferenza per la varietà ovvero che il paniere ottimo di Rossi si caratterizzerà per la presenza sia di bene T che di bene Y. I beni non sono né perfetti
sostituti né perfetti complementi. Il paniere ottimo si ottiene risolvendo il sistema
costituito dal vincolo di bilancio e dalla condizione di tangenza fra vincolo e curva di
indi¤ erenza. Formalmente
Y = 216 9T
!
w
Y
T = p
vincolo di bilancio
!
condizione di tangenza CdI e VdB
Y = 216 9T
Y = 9T
da cui T*=12 ed Y*=108.
Y
24w/p
Paniere ottimo
Y*
Curva di indifferenza
9
T*
Vincolo di bilancio
24
T
(2) L’aumento del salario incide certamente sul vincolo di bilancio. Non si modi…ca l’intercetta orizzontale, ma cambiano pendenza (w’/p=18) ed intercetta verticale
(T=0; Y=432). Il nuovo vincolo di bilancio è
pY = w0 (24
T) ! Y =
w0
p (24
T ) ! Y = 432
18T
Il paniere ottimo si ottiene risolvendo un sistema analogo a quello precedente ma con
il nuovo vincolo e la nuova pendenza del vincolo di bilancio. Formalmente
vincolo di bilancio
!
condizione di tangenza CdI e VdB
Y = 432
Y
T =
18T
w0
p
!
Y
T
= 216
= 12
La scelta ottima di tempo libero di Rossi non muta, ma avendo un maggiore reddito
il consumatore può permettersi più elevati livelli di consumo. Rossi consuma 12 ore
di tempo libero, cioè lavora 24 – 12 = 12 ore, sia prima sia dopo il raddoppio del
salario.
(3) In questa nuova funzione di utilità l’esponente del tempo libero è maggiore a
quello degli altri beni (in particolare il primo è il doppio del secondo), indicando che
12
il contributo del tempo libero alla soddisfazione di Rossi è maggiore di quello degli
altri beni. Il tempo libero è ora per Rossi relativamente più prezioso degli altri ben;
ci aspettiamo quindi che Rossi ora scelga di consumare più tempo libero - a parità di
prezzo degli altri beni e di salario - e meno bene Y.
Esercizio 5 Nota: il seguente esercizio va svolto solo in termini gra…ci.
Un individuo dispone di 30 ore di tempo libero, di cui può godere oppure a cui può
rinunciare lavorando. Se lavora, la paga oraria è w; con il reddito ottenuto può
comprare un bene il cui prezzo è p. Per il nostro individuo tempo libero e bene
di consumo sono complementi perfetti; in particolare l’individuo desidera sempre
consumare 1 unità di tempo libero (T) congiuntamente a 2 unità di bene di consumo
(Y).
1. Rappresentate il vincolo di bilancio del’individuo, esplicitandone inclinazione e
intercette.
2. Rappresentate alcune curve di indi¤erenza dell’individuo, spiegando il perché
di quella forma. Individuate la scelta ottima dell’individuo.
3. Supponete che il prezzo del bene di consumo si riduca passando da p a p0 < p.
Come si modi…ca la scelta ottima dell’individuo?
Soluzioni. (1) Il vincolo di bilancio del nostro individuo è costituito da tutte le
combinazioni dei bue beni (tempo libero e consumo) che egli si può permettere tenendo
conto della sua dotazione di tempo (30 ore), del salario orario (w) e del prezzo del
bene Y (p). Il vincolo di bilancio è
pY = w(30
T) ! Y =
w
p (30
T)
e si caratterizza per una pendenza (in valore assoluto) pari a w/p, un’intercetta orizzontale T=30, Y=0 ed una verticale T=0, Y=30w/p. Lascio a voi la rappresentazione
gra…ca (tale rappresentazione è simile a quella fornità nell’esercizio 3 ad eccezione
del fatto che in questo caso l’individuo dispone di 30 ore di tempo):
(2) Se i beni sono complementi perfetti, l’utilità dell’individuo non aumenta se
viene aumentata la quantità di uno solo dei due beni. L’usuale forma della funzione
di utilità per questo caso è U (T; Y ) = min faT; bY g dove T è la quantità di tempo
libero, Y quella di bene di consumo, ed a,b sono parametri non negativi. Gra…camente
si tratta di curve di indi¤ erenza dalla tipica forma a "L" il cui vertice giace lungo la
retta
aT = bY ! Y = ab T ;
(1)
infatti partendo da una combinazione appartenente alla retta dei vertici ed aumentando la disponibilità di uno solo dei due beni non modi…chiamo la soddisfazione
del consumatore: ciò signi…ca che il tratto orizzontale a destra di, e quello verticale
sopra, ciascuno di questi punti costituiscono la curva di indi¤ erenza relativa a quel
punto. In altri termini, ogni curva di indi¤ erenza è un angolo retto che ha vertice in
uno dei punti appartenenti alla retta in (1). La scelta ottima dell’individuo si trova
nel punto di intersezione tra vincolo di bilancio e retta dei vertici. In particolare il
testo ci dice che l’individuo desidera sempre consumare 1 unità di tempo libero con
2 unità di bene di consumo; dunque la retta dei vertici deve necessariamente passare
per il paniere T=1, Y=2. Sostituendo nella generica retta dei vertici otteniamo
13
aT = bY ! a
1=b
2;
(2)
Le preferenze dell’individuo possono essere quindi rappresentate dalla funzione di
utilità U(T,Y)=min(aT; aY/2)=a[min(T;Y/2)] quindi se, ad esempio, a=1 avremo
U(T,Y)=min(T,Y/2).
(3) Se il prezzo del bene Y si riduce, il vincolo di bilancio ruota verso l’esterno
facendo perno in corrispondenza dell’intercetta orizzontale. L’intercetta orizzontale
non si modi…ca, perché non dipende dal prezzo del bene Y mentre l’intercetta verticale
aumenta (a parità di reddito i panieri accessibili aumentano). La nuova scelta ottima
si caratterizza per un livello di consumo e tempo libero superiori a quelle iniziali. Per
la legge della domanda essendo diminuito il prezzo del bene Y il consumatore ne acquistarà più unità. Inoltre, dato che il consumatore consuma il bene Y ed il tempo
libero in un rapporto …sso (beni complementari) e potendo acquistare un maggior numero di unità di bene Y, il consumatore aumenterà anche le unità di tempo libero
consumate. La nuova scelta ottima si caratterizza quindi per un maggior quantitativo
sia di bene di consumo che di tempo libero.
Esercizio 6 Luca …rma un contratto di lavoro per due anni. Il contratto prevede
una retribuzione di 1000e il primo anno (M1 = 1000) e di 1100e il secondo anno
(M2 = 1100). Luca può prendere e dare a prestito ad un tasso d’interesse di mercato
pari al 10% (r = 10%). Indichiamo con C1 il consumo presente e con C2 il consumo
futuro (i prezzi dei beni di consumo sono costanti e uguali ad 1).
1. Scrivete il vincolo di bilancio intertemporale di Luca e rappresentatelo in un
opportuno gra…co indicando chiaramente le intercette, la pendenza ed il paniere
delle dotazioni iniziali.
2. Le preferenze di Luca sono espresse dalla seguente funzione di utilità intertemporale: U (C1 ; C2 ) = min f1; 1 C1 ; C2 g. Determinate i livelli ottimali di consumo nei due periodi e dite se Luca è risparmiatore o mutuatario.
3. Ipotizzate che il tasso d’interesse aumenti e che il nuovo tasso sia pari al 20%
(r0 = 20%). Attraverso un opportuno gra…co discutete l’e¤etto di tale aumento
sulla scelta ottima di Luca e sulla sua decisione di prendere o dare a prestito.
Soluzioni. (1) Per calcolare il vincolo di bilancio intertemporale di Luca è necessario riportare tutte le variabili (reddito e consumo) alla stessa data. Il valore attuale
dei redditi [PV(M)] di Luca è
1
P V (M ) = M1 + M2 1+r
e similmente il valore attuale dei consumi [PV(C)] di Luca è
1
1
P V (C) = p1 C1 + p2 C2 1+r
= C1 + C2 1+r
essendo p 1 = p2 = 1; dunque il vincolo di bilancio intertemporale del nostro consumatore (espresso in valore attuale) è
1
1
P V (M ) = P V (C) ! M1 + M2 1+r
= C1 + C2 1+r
da cui
C2 =
(1 + r) C1 + M1 (1 + r) + M2 ! C2 =
14
1; 1C1 + 2200
La pendenza del vincolo di bilancio di Luca è, in valore assoluto Gra…camente
C2
M2+M1(1+r)
M2
C2
Dotazioni
iniziali
D
M1
Dotazioni
iniziali
2200
1100
M1+M2/(1+r)
D
1000
C1
2000
C1
(2) Le preferenze di Luca indicano che consumo presente e consumo futuro sono
perfetti complementi (curve di indi¤ erenza ad "L"); quindi il paniere ottimo per il
consumatore si collocherà all’intersezione tra vincolo di bilancio (VdB) intertemporale e retta dei vertici (RdV). Formalmente
V dB
)
RdV
C2 = 1; 1C1 + 2200
)
1; 1 C1 = C2
2; 2C1 = 2200
)
1; 1 C1 = C2
C1 = 1000
C2 = 1100
Gra…camente
Retta dei vertici
C2 = 1,1 C1
C2
2200
Paniere ottimo
D
1100
1000
2000
C1
Dal momento che il paniere ottimo del nostro consumatore coincide con il paniere
delle sue dotazioni, ne consegue che Luca non è nè risparmiatore nè mutuatario
infatti il isparmio (S) di Luca nel primo periodo è
S = M1
C1 = 1000
1000 = 0
Quanto sopra si veri…ca in quanto il paniere delle dotazioni appartiene alla retta dei
vertici.
(3) Il tasso di interesse raddoppia (aumentano gli interessi che un mutuatario
deve versare per debito contratto, e che un risparmiatore ottiene per l’investimento
e¤ ettuato), dunque prendere a prestito diventa meno vantaggioso. Ma Luca non è
nè mutuatario nè risparmiatore, per lui i consumi nei due periodi sono beni perfettamente complementari, ed il paniere ottimo inizialmente scelto è ancora raggiungibile;
15
quindi ci aspettiamo che non modi…chi la sua scelta di consumo. Ma proviamolo
formalmente. Il vincolo di bilancio intertemporale (in valori attuali) diventa
1
1
M1 + M2 1+r
0 = C1 + C2 1+r 0 ! C2 =
(1 + r0 ) C1 + M1 (1 + r0 ) + M2
sostituendo i valori di reddito e tasso di interesse
C2 =
1; 2C1 + 1; 2 (1000) + 1100 =
1; 2C1 + 2300
Gra…camente, il vincolo di bilancio ruota facendo perno in corrispondenza del paniere
delle dotazioni. I consumatori risparmiatori diventano più ricchi mentre quelli debitori diventano più poveri a seguito dell’aumento del tasso di interesse
C2
2300
Panieri ora
accessibili
Retta dei vertici
C2 = 1,1 C1
2200
1100
Panieri ora non
più accessibili
1000
Consumatori
risparmiatori
1916,7
2000
C1
Consumatori
mutuatari
Il paniere ottimo si trova nel punto di intersezione tra retta dei vertici e (nuovo)
vincolo di bilancio (VdB’)
V dB 0
)
RdV
C2 = 1; 2C1 + 2300
)
1; 1 C1 = C2
C1 = 1000
C2 = 1100
Luca continua a scegliere di non indebitarsi (e di non risparmiare) e consuma integralmente il reddito detenuto in ogni periodo. Gra…camente
C2
2300
Retta dei vertici
C2 = 1,1 C1
2200
Paniere ottimo
1100
1000
1916,7
16
2000
C1
Esercizio 7 La signora Ant Myrmex ha un reddito pari a 110 (M1 = 110) nel 2010,
e sa già che nel 2011 non guadagnerà alcun reddito (M2 = 0). Il pane del 2010 (C1 ,
in ascissa) e quello del 2011 (C2 ) hanno prezzo pari a 1; il tasso di interesse è del
10% (r = 10%); le preferenze di Ant sono rappresentate dalla seguente funzione di
0:3
utilità: U(C1 ;C2 )=C0:3
1 C2 .
1. Rappresentate gra…camente il vincolo di bilancio intertemporale di Ant, indicando i valori di intercetta, l’inclinazione ed il paniere delle dotazioni.
2. Individuate la scelta ottima di Ant. Dite anche quanto risparmia, o di quanto
si indebita Ant nel 2010.
3. Supponete che il tasso di interesse raddoppi. Senza fare troppi conti discutete
in che direzione si modi…cano le quantità ottime di pane presente e futuro scelte
da Ant; di conseguenza, dite qual è l’elasticità della domanda di pane presente
al tasso di interesse.
Soluzioni. (1) Il valore attuale dei redditi [PV(M)] di Ant è
1
= 110
P V (M ) = M1 + M2 1+r
e similmente il valore attuale dei consumi [PV(C)] è
1
1
P V (C) = p1 C1 + p2 C2 1+r
= C1 + C2 1;1
essendo p 1 = p2 = 1; dunque il vincolo di bilancio intertemporale della nostra consumatrice (espresso in valore attuale) è
P V (M ) = P V (C) ! C2 = 121
1; 1C1
C2
121
Vincolo di bilancio
Paniere delle dotazioni
1,1
110
C1
(2) Dal momento che Ant si caratterizza per preferenze di tipo Cobb-Douglas, e
dunque manifesta una preferenza per la varietà, sappiamo già che il paniere ottimo
conterrà sia pane presente che pane futuro. La scelta ottima è ottenuta risolvendo il
sistema
(
C2 = 121 1; 1C1
C2 = 121 1; 1C1
vincolo di bilancio
!
!
p1 (1+r)
C2
condizione di tangenza CdI e VdB
M RS = p2
C1 = 1; 1
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da cui C 1 = 55 e C 2 = 60; 5. Dato che C 1 < M1 , Ant risparmia nel 2010 una
somma pari a 55 in modo da assicurarsi un consumo anche nel secondo periodo.
(3) E’ possibile dimostrare che il consumo del 2010 non dipende dal tasso di
interesse. Consideriamo la condizione di ottimo nel caso geneale di reddito nullo nel
secondo periodo ( M2 = 0), reddito positivo nel primo periodo ( M1 > 0) e tasso di
interesse generico r, si ottengono le due seguenti curve di domanda per pane nel 2010
e nel 2011
vincolo di bilancio
!
condizione di tangenza CdI e VdB
C2 = (1 + r)M1 (1 + r)C1
!
C2
C1 = (1 + r)
C1 = M21
C2 = (1 + r) M21
Dato che la domanda di consumo presente non varia al variare del tasso di interesse, l’elasticità è uguale a zero. Dato che reddito e consumo nel primo periodo non
variano, la consumatrice non modi…ca la sua scelta di risparmio ma un aumento del
tasso di interesse fa aumentare il montante del risparmio (ossia il valore futuro di
quanto ho risparmiato) e dunque fa aumentare il suo consumo futuro.
18
