2a Esercitazione: soluzioni

2a Esercitazione: soluzioni
A cura di Monica Bonacina
Corso di Microeconomia A-K, a.a. 2012-2013
La maggior parte dei quesiti riportati di seguito è tratta da temi d’esame.
1
De…nizioni.
Si de…niscano sinteticamente i termini anche con l’ausilio, qualora necessario, di
formule e gra…ci.
Def. 1 Elasticità incrociata.
Soluzioni. L’elasticità incrociata misura la variazione percentuale della quantità domandata di un bene (ad esempio il bene X) conseguente ad un aumento di un
punto percentuale del prezzo di un altro bene (ad esempio il bene Y).
Def. 2 Bene inferiore.
Soluzioni. Un bene inferiore è un bene il cui consumo diminuisce all’aumentare
del reddito.
Def. 3. Vincolo di bilancio intertemporale.
Soluzioni. Il vincolo di bilancio intertemporale può essere espresso sia in valore
attuale che in termini futuri. In valore attuale stabilisce l’uguaglianza fra il valore attuale della spesa per beni di consumo ed il valore attuale dei redditi che il consumatore
guadagna nell’arco di tempo considerato:
1
1+i C1
+ C0 =
1
1+i M1
+ M0
dove C0 è il consumo nel periodo presente, C1 quello nel consumo futuro, M0 è il
reddito guadagnato nel periodo presente, M1 quello nel periodo futuro ed i il tasso di
interesse. Similmente il vincolo di bilancio intertemporale espresso in termini futuri
stabilisce l’uguaglianza fra il valore futuro della spesa per beni di consumo ed il valore
futuro dei redditi del consumatore nell’arco di tempo considerato:
C1 + (1 + i) C0 = M1 + (1 + i) M0
.
Ragazzi, se avete bisogno di contattarmi, la mia mail è [email protected]!
1
2
Vero/Falso.
Si stabilisca se gli enunciati sono veri, falsi, o incerti. Si fornisca una spiegazione
(anche gra…ca se opportuno) e si argomenti compiutamente la risposta.
Vero/Falso 4 Se la funzione di domanda di un bene è perfettamente anelastica,
signi…ca che esiste un perfetto sostituto di quel bene.
Soluzioni. FALSO. Una curva di domanda perfettamente anelastica indica che
il consumatore non è disposto a rinunciare all’acquisto del bene qualunque sia suo
prezzo; dunque non esistono sostituti del bene.
Vero/Falso 5 Se il bene X è un bene inferiore, una diminuzione della pressione
…scale (ovvero una riduzione delle tasse sul reddito) non servirà a stimolarne la domanda.
Soluzioni. VERO. La diminuzione della tassa sul reddito genera un incremento
del reddito disponibile per acquisto di beni di consumo (il consumatore diventa relativamente più ricco). Nel caso di beni inferiori, all’aumentare del reddito diminuisce
la domanda. Quindi, il provvedimento non stimola la domanda del bene, anzi ne
produce una riduzione.
Vero/Falso 6 Se l’elasticità dei cioccolatini rispetto al reddito è pari a 3 e il reddito
si riduce del 10% allora la quantità domandata di cioccolatini deve crescere del 30%.
Soluzioni. FALSO. Sostituendo i valori del testo nella formula dell’elasticità
dei cioccolatini (bene X) rispetto al reddito (M),
"reddito =
X=X
M=M
( M=M = 10% e "reddito = 3) si ottiene che la quantità domandata deve diminuire
del 30% ( X=X = 30%).
Vero/Falso 7 Un soggetto dispone di 24 ore di tempo libero T (in ascissa) e di
nessuna una unità di bene di consumo Y (in ordinata); supponiamo che il salario
orario sia w, e che il prezzo del bene di consumo sia p. Allora il suo vincolo di
bilancio è Y = 24 (w=p)T .
Soluzioni. FALSO. Sostituendo nella forma generale del vincolo di bilancio
pY = w(24
T)
si ottiene
Y =
w
p 24
w
pT
.
Vero/Falso 8 Un consumatore ha la seguente funzione di utilità per Mango (M) e
Papaia (P): U (M; P ) = M a P b , con a e b positivi e (a+b)<1. Allora l’elasticità della
domanda di Mango rispetto al prezzo del Mango è -(a+b).
Soluzioni. FALSO. Nel caso di preferenze di tipo Cobb-Douglas, l’elasticità
della domanda di ciascun bene rispetto al proprio prezzo è pari ad uno (in valore
assoluto).
2
Vero/Falso 9 Se X e Y sono perfetti complementi, allora l’elasticità della domanda
di bene X rispetto al prezzo di Y è nulla.
Soluzioni. FALSO. Nel caso di beni perfetti complementi un aumento del prezzi
di Y comporta una contrazione della domanda di X (perchè il consumatore desidera
consumarli congiuntamente).
Vero/Falso 10 Nello scegliere come allocare il tempo disponibile tra tempo libero
e tempo dedicato al lavoro, un individuo razionale deciderà sempre di lavorare di più
in seguito ad un aumento del salario.
Soluzioni. INCERTO. Se il consumatore riceve un salario orario più elevato
potrebbe anche decidere di lavorare meno ore perchè può guadagnare lo stesso reddito
(e dunque permettersi lo stesso consumo) raggiunto in precedenza impegnando meno
ore.
Vero/Falso 11 In seguito ad un aumento del tasso di interesse un risparmiatore
potrebbe decidere di indebitarsi.
Soluzioni. FALSO. In seguito all’aumento del tasso di interesse il risparmiatore potrebbe ridurre il suo livello di risparmio (che, come evidenziato dal gra…co
sottostante potrebbe passare da S = M 0 C0 a S0 = M0 C0 < S) ma non è possibile che il paniere ottimo appartenga al tratto di vincolo di bilancio caratterizzato
da un consumo presente superiore al reddito presente.
C1
Nuovo paniere
ottimo
Paniere ottimo
iniziale
M1
Paniere delle
dotazioni iniziali
C*0 C**0 M0
1+i
C0
Vero/Falso 12 Le preferenze di Guido per consumo presente (C0 ) e consumo futuro (C1 ) sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità: U (C0 ; C1 ) = min(C0 ; C1 ).
I prezzi dei due beni sono entrambi pari ad 1. Guido sa che il suo reddito di quest’anno
è M0 = 20, mentre il reddito del prossimo anno è M1 = 40. Qualunque sia il tasso di
interesse (i), Guido deciderà di risparmiare.
Soluzioni. FALSO. Il paniere ottimo di Guido, stanti le preferenze del consumatore, si caratterizzerà per un livello di consumo presente pari al livello di consumo
futuro (infatti dalla funzione di utilità si evince che la retta dei vertici è C0 = C1 ).
Dato che il reddito prsente di Guido è inferiore al reddito futuro ( M0 < M1 ) ci
aspettiamo che Guido si indebiti.
3
Vero/Falso 13 In seguito ad una riduzione del tasso di interesse un soggetto mutuatario (che è indebitato) potrebbe decidere di risparmiare.
Soluzioni. FALSO. In seguito alla contrazione del tasso di interesse il debitore
deciderà sicuramente di aumentare il suo livello di indebitamento (come si evidenzia
nel gra…co sottostante).
C1
Paniere delle
dotazioni iniziali
Paniere ottimo
iniziale
Nuovo paniere
ottimo
M1
Nuovo vincolo di
bilancio
1+i
M0
C*0
C**0
C0
Vero/Falso 14 Un consumatore spende 15 euro in cappuccini qualunque sia il
loro prezzo. Dunque l’elasticità della domanda di cappuccini al prezzo per questo
consumatore è unitaria.
Soluzioni. VERO. Se la curva di domanda si caratterizza per un valore unitario dell’elasticità in seguito ad un aumento del prezzo del bene dell’1%, la quantità
domandata si ridurrà esattamente dell’1%; quindi la spesa totale nel bene restarà
invariata.
Vero/Falso 15 Un valore negativo dell’elasticità della domanda di X al prezzo di
Y ci indica che i beni X e Y sono sostituti.
Soluzioni. FALSO. Se in seguito ad un aumento del prezzo del bene Y la domanda di bene X si riduce signi…ca che i beni X e Y sono complementi. Se i beni
fossero sostituti in seguito ad un aumento del prezzo di Y aumenterebbe la domanda
di bene X; quindi l’elasticità della domanda di X al prezzo di Y sarebbe positiva.
Vero/Falso 16 La curva di Engel non può mai essere inclinata negativamente.
Soluzioni. FALSO. La curva di Engel descrive come varia la domanda di un
bene al variare del reddito. La pendenza della curva di Engel è positiva (ad indicarci
che i consumo aumenta se il reddito aumenta) se il bene considerato è un bene normale; è negativa se il bene considerato è un bene inferiore.
Vero/Falso 17 Il paniere ottimo di Paolo si caratterizza per un livello di consumo
futuro maggiore del consumo presente; quindi Paolo è un risparmiatore.
4
Soluzioni. INCERTO. Paolo sarà un risparmiatore se il suo panire ottimo di
consumo conterrà un livello di consumo presente, C0 , inferiore al reddito presente,
M0 ; Paolo si indebiterà se il suo panire ottimo di consumo conterrà un livello di
consumo presente, C0 , speriore al reddito presente, M0 .
Vero/Falso 18 La domanda di vasi in ceramica è QD =1000-P; quindi un aumento
dell’1% nel prezzo dei vasi in ceramica ridurrà le vendite dell’1%.
Soluzioni. INCERTO. La domanda considerata si caratterizza per un’elasticità
unitaria quando Q*=500, P*=500 (ovvero in corrispondenza del punto medio). Se
il prezzo dei vasi di ceranmica è maggiore di 500 ci troviamo lungo il tratto elastico della curva di domanda; quindi un amento dell’1% nel prezzo comporterà una
contrazione più che proporzionale nelle vendite. Se il prezzo dei vasi di ceranmica è
inferiore a 500 ci troviamo lungo il tratto inelastico della curva di domanda; quindi
un amento dell’1% nel prezzo comporterà una contrazione meno che proporzionale
nelle vendite. L’elasticità della curva di domanda non è costante.
Vero/Falso 19 Se in seguito ad un aumento nel prezzo del bene X, non si riduce la
quantità complessivamente domandata di X, possiamo concludere che non esistono
sostituti perfetti di X.
Soluzioni. VERO. Se un aumento nel prezzo del bene non comporta contrazioni
nella quantità domandata signi…ca che non esistono sostituti di questo bene.
Vero/Falso 20 Un soggetto sa che il suo reddito di quest’anno è M0 , mentre il
reddito del prossimo anno è M1 . Quel soggetto può consumare il bene C0 quest’anno
e il bene C1 nel prossimo anno. Se i prezzi dei due beni sono entrambi pari a 1
e il tasso di interesse è i, allora il vincolo di bilancio si può scrivere come C1 =
M0 + M1 (1 + i) C0 (1 + i).
Soluzioni. FALSO. Il vincolo di bilancio intertemporale espresso in termini
futuri sarà C1 = M0 (1 + i) + M1 C0 (1 + i).
3
Esercizi.
Si risolvano i seguenti esercizi.
Esercizio 1 Gustavo spende tutto il suo reddito settimanale per acquistare caramelle
(bene X) e cioccolatini (bene Y). Il suo reddito settimanale è pari a M ed i prezzi
dei due beni sono rispettivamente pari a px e py . La funzione di utilità di Gustavo
è: U (X; Y ) = X a Y b . (1) Derivate analiticamente e rappresentate in un opportuno
gra…co il paniere ottimo di Gustavo supponendo che px = 4, py = 4 e M = 80. (2)
Per un generico valore del reddito (M) e dei prezzi dei due beni ( px e py ), scrivete
la curva di domanda di Gustavo per il bene X. (3) De…nite il concetto di elasticità
della domanda di un bene rispetto al prezzo e calcolate l’elasticità della domanda di
caramelle rispetto al proprio prezzo e rispetto al prezzo del bene Y. Discutete i risultati ottenuti. (4) Se il prezzo del bene Y aumentasse dell’1%, di quanto varierebbe il
consumo di caramelle? Argomentate.
Soluzioni. (1) Il vincolo di bilancio di Gustavo è
px X + p y Y = M ! Y =
5
M
py
px
py X
! Y = 20
X
ed il paniere ottimo di Gustavo si ottiene risolvendo il seguente sistema
vincolo di bilancio
condizione di tangenza CdI e VdB
(1)
La pendenza del vincolo di bilancio (in valore assoluto) è px =py = 4=4 = 1 mentre la
pendenza della curva di indi¤ erenza (in valore assoluto) è pari al saggio marginale
di sostituzione dove
Ux
aY
M RS = M
M Uy = b X
in quanto
M Ux =
@U (X;Y )
@X
= aX a
1
Y b e M Uy =
@U (X;Y )
@Y
= bX a Y b
1
Quindi sostituendo
vincolo di bilancio
!
condizione di tangenza CdI e VdB
da cui
Y =
X =
Y = 20
aY
b X =
X
px
py
b
a+b 20
a
a+b 20
e gra…camente
Y
M/py
Paniere ottimo
Y*
Curva di indifferenza
Vincolo di bilancio
X*
M/px
X
(2) Se la funzione di utilità è di tipo Cobb-Douglas, la curva di domanda per il
bene X si ottiene risolvendo un sistema analogo a quello nell’eq. (1) ottenuto per
valori generici di reddito e prezzi dei beni. Formalmente
(
px
Y = pMy
vincolo di bilancio
py X
!
px
aY
condizione di tangenza CdI e VdB
=
b X
py
sostituendo poi il valore di Y (ovvero del bene di cui NON vogliamo calcolare la
curva di domanda) ottenuto dal vincolo di bilancio ( Y = (M=py ) (px =py )X) nella
condizione di tangenza tra vincolo di bilancio e curva di indi¤ erenza otteniamo
aY
b X
=
px
py
!
a (M=py ) (px =py )X
b
X
=
px
py
!X =
a M
a+b px
che è esattamente la domanda del bene X. Notate che la domanda di Gustavo per
bene X dipende dalle preferenze di Gustavo (attraverso i parametri a e b), dal reddito
e dal prezzo del bene X (ma non dal prezzo del bene Y).
6
(3) L’elasticità della domanda di un bene al proprio prezzo è de…nita come la
variazione percentuale della quantità domandata del bene rispetto ad una variazione
di prezzo dell’1%:
"=
X
X
px
px
'
@X px
@px X
dove ( @X=@px ) è la pendenza della curva di domanda. Stante la forma della curva
di domanda di X abbiamo che
"=
@X px
@px X
=
a M px
a+b p2x X
ricordando poi che X=[a/(a+b)]M/p x e sostituendo otteniamo
"=
a M px
a+b p2x X
a M
a+b p2x
=
px
a M
a+b px
=
1
L’elasticità incrociata di X rispetto a p y misura la variazione percentuale della
quantità domandata di bene X conseguente ad un aumento di un punto percentuale
del prezzo di Y.
@X py
"incro ciata = @p
y X
Dal momento che la domanda di bene X non dipende dal prezzo del bene Y, l’elasticità
incrociata sarà pari a zero: qualunque variazione nel prezzo di Y non comporta alterazioni nel consumo di X.
(4) Se il prezzo del bene Y aumentasse dell’1%, il consumo di caramelle non
subirebbe variazioni. L’aumento del prezzo provocherebbe una rotazione verso l’interno
del vincolo di bilancio (con perno in corrispondenza dell’intercetta orizzontale). Il
consumo di bene Y si ridurrebbe mentre non varierebbe il consumo ottimo di bene X.
Esercizio 2. Il signor Rossi ha a disposizione 24 ore, che può fruire come tempo
libero oppure impiegare per lavorare onde ottenere un reddito per consumare altri
beni. Le preferenze di Rossi relativamente alle ore di tempo libero (T, misurato in
ascissa) e altri beni (Y, misurati in ordinata) sono descritte dalle seguente funzione:
U (T; Y ) = T 0:6 Y 0:6 . Il prezzo degli altri beni è p = 1 euro, mentre il salario orario è
pari a w = 9 euro. (1) Calcolate e fornite una rappresentazione gra…ca del paniere
ottimo scelto da Rossi speci…cando pendenza ed intercette del vincolo di bilancio.
Stante la forma della funzione di utilità, discutete della relazione che sussiste tra i beni
considerati. (2) Supponete che il salario orario raddoppi (w0 = 18 euro). Discutete le
conseguenze di tale aumento sulla decisione ottima di Rossi. In particolare: quanto
lavorava prima e quanto lavora adesso? (3) Supponete che la funzione di utilità di
Rossi sia U (T; Y ) = T 0:8 Y 0:4 . Senza fare calcoli, argomentate come varierebbe la
scelta ottima di Rossi rispetto a quanto trovato al punto 1, a parità di prezzi e di
salario (p = 1 euro e w = 9 euro).
Soluzioni. (1) Si tratta di un problema da a¤ rontare con gli strumenti standard
della teoria del consumatore: i due beni oggetto di consumo sono il tempo libero (T)
ed il paniere contenente tutti gli altri beni di consumo Y; le preferenze di Rossi sono
di tipo Cobb-Douglas, per cui le curve di indi¤ erenza sono decrescenti e convesse.
Dato che Rossi ha a disposizione 24 ore e che T indica il numero di ore destinate a
tempo libero,
L = 24 T
indica le ore destinate ad attività lavorativa. Il vincolo di bilancio di Rossi è ottenuto
come segue:
pY = wL
7
la spesa in beni di consumo deve eguagliare il reddito a disposizione. Ricordando poi
che L=24-T si ottiene
pY = w(24
T) ! Y =
w
p (24
T ) ! Y = 216
9T
Se Rossi gode interamente delle sue 24 ore nella forma di tempo libero non ottiene
alcun reddito e dunque non consuma alcuna quantità degli altri beni: l’intercetta
orizzontale è dunque il punto (24;0). Se Rossi lavorasse tutto il giorno, 24 ore,
guadagnerebbe un reddito pari a 9 24 = 216; dunque l’intercetta verticale è (0;216).
In…ne la pendenza del vincolo di bilancio, in valore assoluto, è w/p=9. Data la
funzione di utilità, si deduce che il saggio marginale di sostituzione è
M RS =
M UT
M UY
=
0:6(T 0:6 1 Y 0:6 )
0:6(T 0:6 Y 0:6 1 )
=
0:6(T 0:4 Y 0:6 )
0:6(T 0:6 Y 0:4 )
=
0:6Y 0:6+0:4
0:6T 0:6+0:4
=
Y
T
ed è quindi crescente in Y e decrescente in T. Ne deduciamo che il consumatore
manifesta una preferenza per la varietà ovvero che il paniere ottimo di Rossi si caratterizzerà per la presenza sia di bene T che di bene Y. I beni non sono né perfetti
sostituti né perfetti complementi. Il paniere ottimo si ottiene risolvendo il sistema
costituito dal vincolo di bilancio e dalla condizione di tangenza fra vincolo e curva di
indi¤ erenza. Formalmente
Y = 216 9T
!
Y
w
T = p
vincolo di bilancio
!
condizione di tangenza CdI e VdB
Y = 216 9T
Y = 9T
da cui T*=12 ed Y*=108.
Y
24w/p
Paniere ottimo
Y*
Curva di indifferenza
9
T*
Vincolo di bilancio
24
T
(2) L’aumento del salario incide certamente sul vincolo di bilancio. Non si modi…ca l’intercetta orizzontale, ma cambiano pendenza (w’/p=18) ed intercetta verticale
(T=0; Y=432). Il nuovo vincolo di bilancio è
pY = w0 (24
T) ! Y =
w0
p (24
T ) ! Y = 432
18T
Il paniere ottimo si ottiene risolvendo un sistema analogo a quello precedente ma con
il nuovo vincolo e la nuova pendenza del vincolo di bilancio. Formalmente
vincolo di bilancio
!
condizione di tangenza CdI e VdB
Y = 432
Y
T =
18T
w0
p
!
Y
T
= 216
= 12
La scelta ottima di tempo libero di Rossi non muta, ma avendo un maggiore reddito
il consumatore può permettersi più elevati livelli di consumo. Rossi consuma 12 ore
8
di tempo libero, cioè lavora 24 – 12 = 12 ore, sia prima sia dopo il raddoppio del
salario.
(3) In questa nuova funzione di utilità l’esponente del tempo libero è maggiore a
quello degli altri beni (in particolare il primo è il doppio del secondo), indicando che
il contributo del tempo libero alla soddisfazione di Rossi è maggiore di quello degli
altri beni. Il tempo libero è ora per Rossi relativamente più prezioso degli altri ben;
ci aspettiamo quindi che Rossi ora scelga di consumare più tempo libero - a parità di
prezzo degli altri beni e di salario - e meno bene Y.
Esercizio 3 Nota: il seguente esercizio va svolto solo in termini gra…ci.
Un individuo dispone di 24 ore di tempo libero, di cui può godere oppure a cui
può rinunciare lavorando. Se lavora, la paga oraria è w; con il reddito ottenuto
può comprare un bene il cui prezzo è p. Per il nostro individuo tempo libero e
bene di consumo sono complementi perfetti. (1) Rappresentate il vincolo di bilancio
del’individuo, esplicitandone inclinazione e intercette. (2) Rappresentate alcune curve
di indi¤erenza dell’individuo, spiegando il perché di quella forma. Individuate la
scelta ottima dell’individuo. (3) Supponete che il prezzo del bene di consumo aumenti
passando da p a p0 > p. Come si modi…ca la scelta ottima dell’individuo?
Soluzioni. (1) Il vincolo di bilancio del nostro individuo è costituito da tutte le
combinazioni dei bue beni (tempo libero e consumo) che egli si può permettere tenendo
conto della sua dotazione di tempo (24 ore), del salario orario (w) e del prezzo del
bene Y (p). Il vincolo di bilancio è
pY = w(24
T) ! Y =
w
p (24
T)
e si caratterizza per una pendenza (in valore assoluto) pari a w/p, un’intercetta orizzontale T=24 ed una verticale Y=24w/p. Gra…camente
Y
24w/p
w/p Vincolo di bilancio
24
T
(2) Se i beni sono complementi perfetti, l’utilità dell’individuo non aumenta se
viene aumentata la quantità di uno solo dei due beni. L’usuale forma della funzione
di utilità per questo caso è U (T; Y ) = min faT; bY g dove T è la quantità di tempo
libero, Y quella di bene di consumo, ed a,b sono parametri non negativi. Gra…camente
si tratta di curve di indi¤ erenza dalla tipica forma a "L" il cui vertice giace lungo la
retta
aT = bY ! Y = ab T ;
(2)
infatti partendo da una combinazione appartenente alla retta dei vertici ed aumentando la disponibilità di uno solo dei due beni non modi…chiamo la soddisfazione
9
del consumatore: ciò signi…ca che il tratto orizzontale a destra di, e quello verticale
sopra, ciascuno di questi punti costituiscono la curva di indi¤ erenza relativa a quel
punto. In altri termini, ogni curva di indi¤ erenza è un angolo retto che ha vertice in
uno dei punti appartenenti alla retta in (2). La scelta ottima dell’individuo si trova
nel punto di intersezione tra vincolo di bilancio e retta dei vertici:
Retta dei vertici
Y
a/b
24w/p
Paniere ottimo
Y*
Curva di indifferenza
w/p Vincolo di bilancio
T*
24
T
(3) Se il prezzo del bene Y aumenta, il vincolo di bilancio ruota verso l’interno
facendo perno in corrispondenza dell’intercetta orizzontale. L’intercetta orizzontale
non si modi…ca, perché non dipende dal prezzo del bene Y mentre l’intercetta verticale
diminuisce
Y
Vincolo di bilancio nuovo
(segmento continuo) e vecchio
(tratteggiato)
24w/p
24w/p’
w/p
24
T
La nuova scelta ottima si caratterizza per un livello di consumo e tempo libero inferiori
10
a quelle iniziali.
Retta dei vertici
Y
a/b
24w/p
Vecchio paniere ottimo
Y*
Curva di indifferenza
nuovo paniere ottimo
Y**
w/p Vincolo di bilancio
T** T*
24
T
Esercizio 4 Luca …rma un contratto di lavoro per due anni. Il contratto prevede
una retribuzione di 1000e il primo anno (M1 = 1000) e di 1100e il secondo anno
(M2 = 1100). Luca può prendere e dare a prestito ad un tasso d’interesse di mercato
pari al 10% (r = 10%). Indichiamo con C1 il consumo presente e con C2 il consumo
futuro (i prezzi dei beni di consumo sono costanti e uguali ad 1). (1) Scrivete il
vincolo di bilancio intertemporale di Luca e rappresentatelo in un opportuno gra…co
indicando chiaramente le intercette, la pendenza ed il paniere delle dotazioni iniziali.
(2) Le preferenze di Luca sono espresse dalla seguente funzione di utilità intertemporale: U (C1 ; C2 ) = min f1; 1 C1 ; C2 g. Determinate i livelli ottimali di consumo
nei due periodi e dite se Luca è risparmiatore o mutuatario. (3) Ipotizzate che il
tasso d’interesse aumenti e che il nuovo tasso sia pari al 20% (r0 = 20%). Attraverso
un opportuno gra…co discutete l’e¤etto di tale aumento sulla scelta ottima di Luca e
sulla sua decisione di prendere o dare a prestito.
Soluzioni. (1) Per calcolare il vincolo di bilancio intertemporale di Luca è necessario riportare tutte le variabili (reddito e consumo) alla stessa data. Il valore attuale
dei redditi [PV(M)] di Luca è
1
P V (M ) = M1 + M2 1+r
e similmente il valore attuale dei consumi [PV(C)] di Luca è
1
1
= C1 + C2 1+r
P V (C) = p1 C1 + p2 C2 1+r
essendo p 1 = p2 = 1; dunque il vincolo di bilancio intertemporale del nostro consumatore (espresso in valore attuale) è
1
1
P V (M ) = P V (C) ! M1 + M2 1+r
= C1 + C2 1+r
da cui
C2 =
(1 + r) C1 + M1 (1 + r) + M2 ! C2 =
1; 1C1 + 2200
La pendenza del vincolo di bilancio di Luca è, in valore assoluto Gra…camente
11
C2
M2+M1(1+r)
M2
C2
Dotazioni
iniziali
D
M1
Dotazioni
iniziali
2200
1100
M1+M2/(1+r)
D
1000
C1
2000
C1
(2) Le preferenze di Luca indicano che consumo presente e consumo futuro sono
perfetti complementi (curve di indi¤ erenza ad "L"); quindi il paniere ottimo per il
consumatore si collocherà all’intersezione tra vincolo di bilancio (VdB) intertemporale e retta dei vertici (RdV). Formalmente
V dB
)
RdV
C2 = 1; 1C1 + 2200
)
1; 1 C1 = C2
2; 2C1 = 2200
)
1; 1 C1 = C2
C1 = 1000
C2 = 1100
Gra…camente
Retta dei vertici
C2 = 1,1 C1
C2
2200
Paniere ottimo
D
1100
1000
2000
C1
Dal momento che il paniere ottimo del nostro consumatore coincide con il paniere
delle sue dotazioni, ne consegue che Luca non è nè risparmiatore nè mutuatario
infatti il isparmio (S) di Luca nel primo periodo è
S = M1
C1 = 1000
1000 = 0
Quanto sopra si veri…ca in quanto il paniere delle dotazioni appartiene alla retta dei
vertici.
(3) Il tasso di interesse raddoppia (aumentano gli interessi che un mutuatario
deve versare per debito contratto, e che un risparmiatore ottiene per l’investimento
e¤ ettuato), dunque prendere a prestito diventa meno vantaggioso. Ma Luca non è
nè mutuatario nè risparmiatore, per lui i consumi nei due periodi sono beni perfettamente complementari, ed il paniere ottimo inizialmente scelto è ancora raggiungibile;
quindi ci aspettiamo che non modi…chi la sua scelta di consumo. Ma proviamolo
formalmente. Il vincolo di bilancio intertemporale (in valori attuali) diventa
1
1
M1 + M2 1+r
0 = C1 + C2 1+r 0 ! C2 =
12
(1 + r0 ) C1 + M1 (1 + r0 ) + M2
sostituendo i valori di reddito e tasso di interesse
C2 =
1; 2C1 + 1; 2 (1000) + 1100 =
1; 2C1 + 2300
Gra…camente, il vincolo di bilancio ruota facendo perno in corrispondenza del paniere
delle dotazioni. I consumatori risparmiatori diventano più ricchi mentre quelli debitori diventano più poveri a seguito dell’aumento del tasso di interesse
C2
2300
Panieri ora
accessibili
Retta dei vertici
C2 = 1,1 C1
2200
1100
Panieri ora non
più accessibili
1000
Consumatori
risparmiatori
1916,7
2000
C1
Consumatori
mutuatari
Il paniere ottimo si trova nel punto di intersezione tra retta dei vertici e (nuovo)
vincolo di bilancio (VdB’)
V dB 0
)
RdV
C2 = 1; 2C1 + 2300
)
1; 1 C1 = C2
C1 = 1000
C2 = 1100
Luca continua a scegliere di non indebitarsi (e di non risparmiare) e consuma integralmente il reddito detenuto in ogni periodo. Gra…camente
C2
2300
Retta dei vertici
C2 = 1,1 C1
2200
Paniere ottimo
1100
1000
1916,7
2000
C1
Esercizio 5 La signora Ant Myrmex ha un reddito pari a 110 (M1 = 110) nel
2010, e sa già che nel 2011 non guadagnerà alcun reddito (M2 = 0). Il pane del 2010
(C1 , in ascissa) e quello del 2011 (C2 ) hanno prezzo pari a 1; il tasso di interesse è
del 10% (r = 10%); le preferenze di Ant sono rappresentate dalla seguente funzione
13
0:3
di utilità: U(C1 ;C2 )=C0:3
1 C2 . (1) Rappresentate gra…camente il vincolo di bilancio
intertemporale di Ant, indicando i valori di intercetta, l’inclinazione ed il paniere delle
dotazioni. (2) Individuate la scelta ottima di Ant. Dite anche quanto risparmia, o
di quanto si indebita Ant nel 2010. (3) Supponete che il tasso di interesse raddoppi.
Senza fare troppi conti discutete in che direzione si modi…cano le quantità ottime
di pane presente e futuro scelte da Ant; di conseguenza, dite qual è l’elasticità della
domanda di pane presente al tasso di interesse.
Soluzioni. (1) Il valore attuale dei redditi [PV(M)] di Ant è
1
= 110
P V (M ) = M1 + M2 1+r
e similmente il valore attuale dei consumi [PV(C)] è
1
1
= C1 + C2 1;1
P V (C) = p1 C1 + p2 C2 1+r
essendo p 1 = p2 = 1; dunque il vincolo di bilancio intertemporale della nostra consumatrice (espresso in valore attuale) è
P V (M ) = P V (C) ! C2 = 121
1; 1C1
C2
121
Vincolo di bilancio
Paniere delle dotazioni
1,1
110
C1
(2) Dal momento che Ant si caratterizza per preferenze di tipo Cobb-Douglas, e
dunque manifesta una preferenza per la varietà, sappiamo già che il paniere ottimo
conterrà sia pane presente che pane futuro. La scelta ottima è ottenuta risolvendo il
sistema
(
C2 = 121 1; 1C1
C2 = 121 1; 1C1
vincolo di bilancio
!
!
p1 (1+r)
C2
condizione di tangenza CdI e VdB
M RS = p2
C1 = 1; 1
da cui C 1 = 55 e C 2 = 60; 5. Dato che C 1 < M1 , Ant risparmia nel 2010 una
somma pari a 55 in modo da assicurarsi un consumo anche nel secondo periodo.
(3) E’ possibile dimostrare che il consumo del 2010 non dipende dal tasso di
interesse. Consideriamo la condizione di ottimo nel caso geneale di reddito nullo nel
secondo periodo ( M2 = 0), reddito positivo nel primo periodo ( M1 > 0) e tasso di
interesse generico r, si ottengono le due seguenti curve di domanda per pane nel 2010
e nel 2011
vincolo di bilancio
!
condizione di tangenza CdI e VdB
C2 = (1 + r)M1 (1 + r)C1
!
C2
C1 = (1 + r)
14
C1 = M21
C2 = (1 + r) M21
Dato che la domanda di consumo presente non varia al variare del tasso di interesse, l’elasticità è uguale a zero. Dato che reddito e consumo nel primo periodo non
variano, la consumatrice non modi…ca la sua scelta di risparmio ma un aumento del
tasso di interesse fa aumentare il montante del risparmio (ossia il valore futuro di
quanto ho risparmiato) e dunque fa aumentare il suo consumo futuro.
Esercizio 6 Nota: il seguente esercizio va svolto solo in termini gra…ci.
Un individuo dispone di un reddito M da destinare all’acquisto degli unici due beni
disponibili nell’economia considerata: X (in ascissa) e Y (in ordinata). I prezzi dei due
beni sono rispettivamente px e py con px = py . Il nostro individuo è sempre disposto a
cedere una unità di bene X in cambio di 2 unità aggiuntive di bene Y. (1) Fornite una
rappresentazione gra…ca delle curve di indi¤erenza dell’individuo (3 curve) e discutete
della relazione che sussiste tra i beni considerati. (2) Rappresentate il vincolo di
bilancio dell’individuo (esplicitandone inclinazione ed intercette) ed individuate la
sua scelta ottima. (3) Come cambierebbe la scelta ottima del nostro individuo se
il reddito raddoppiasse? Sulla base dei risultati ottenuti dite a quanto ammonta
l’elasticità della domanda di bene X rispetto al reddito.
Soluzione. (1) Dato che il consumatore è sempre disposto a scambiare un bene
per l’altro, X ed Y sono per lui beni sostituti. Il rapporto di sostituzione (1 a 2) ci
dice che MRS=2/1=2; quindi le curve di indi¤ erenza sono rette con pendenza -2.
[rappresentazione gra…ca in aula]
(2) Il vincolo di bilancio del nostro consumatore è
M = px X + py Y
da cui
Y =
px
py X
+
M
py
Nota bene!!Dato che il testo ci dice che p x = p y sappiamo che px =py = 1 ovvero la
pendenza del vincolo di bilancio è minore della pendenza della curva di indi¤ erenza.
Questo implica che il tasso al quale il mercato è disposto a cedere una unità di bene X
per una maggior quantità di bene Y è minore del tasso al quale il nostro consumatore
è disposto a cedere un’unità di bene X per una maggior quantità di Y. Dato che
il bene Y è per il mercato più prezioso di quanto non lo sia per il consumatore, il
consumatore "ci guadagna" se rinuncia a consumare bene Y e spende tutto il suo
reddito nell’acquisto di bene X. [rappresentazione gra…ca in aula]. La scelta ottima è
quindi X = M=px ; Y = 0.
(3) Se il reddito raddoppiasse, il consumatore potrebbe permettersi un quantitativo doppio di bene X. Il nuovo paniere ottimo conterrebbe X = 2X ; Y = 0. Dal
momento che la variazione di reddito ha portato aumenti proporzionali nel consumo
del bene X, l’elasticità della domanda di bene X al reddito è pari a 1.
Esercizio 7 Nota: il seguente esercizio va svolto solo in termini gra…ci.
Un individuo dispone di 24 ore di tempo libero, di cui può godere oppure a cui può
rinunciare lavorando. Se lavora, la paga oraria è w; con il reddito ottenuto può comprare un bene il cui prezzo è p. Per il nostro individuo tempo libero e bene di consumo
sono complementi perfetti. (1) Rappresentate il vincolo di bilancio dell’individuo, esplicitandone inclinazione e intercette. (2) Rappresentate alcune curve di indi¤erenza
dell’individuo, spiegando bene il perché di quella forma. Individuate la scelta ottima
dell’individuo. (3) Supponete che il prezzo del bene di consumo aumenti passando a
p’> p. Come si modi…ca la scelta ottima dell’individuo?
15
Soluzione. (1) Il vincolo di bilancio del nostro individuo è
Y =
wT
p
w
pN
!Y =
w
p (24)
w
pN
dove Y è il bene che l’individuo acquista ed N il tempo libero.
Y
24w/p
Retta dei vertici
Y=N
Vincolo di
bilancio
Paniere ottimo
Curva di
indifferenza
Y*
Paniere delle
dotazioni iniziali
-w/p
N*
24
N
(2) Tempo libero e bene di consumo sono perfetti complementi; il consumatore
desidera consumarli congiuntamente in un rapporto …sso (1:1) quindi le sue curve
di indi¤ erenza avranno la tipica forma a "L". Le preferenze possono essere dunque
rappresentate dalla funzione di utilità U(N,Y)=min(N,Y) che si caratterizza per una
retta dei vertici Y=N. La scelta ottima dell’individuo, paniere E*, si ottiene risolvendo il seguente sistema tra vincolo di bilancio e retta dei vertici
Y =
w
p (24)
N =Y
w
pN
!
Y =
w
p (24)
N =Y
w
pY
!
Y =
N =
24w
p+w
24w
p+w
(3) In seguito ad un aumento del prezzo del bene di consumo il consumatore
contrarrà il livello di consumo sia di tempo libero che di bene di consumo. Il nuovo
paniere ottimo di consumo, E**, si caratterizza infatti per Y**<Y* e N**<N*.
16
Y
Retta dei vertici
Y=N
24w/p
24w/p’
Curve di
indifferenza
Paniere ottimo
Nuovo paniere
ottimo
Y*
Y**
Paniere delle
dotazioni iniziali
-w/p
N** N*
24
17
N