Svolgimento 2bis

Esercitazione di ripasso sul consumo
(soluzioni)
Monica Bonacina ([email protected])
Corso di Microeconomia A-K, a.a. 2010-2011
Dato che si tratta di un’esercitazione di ripasso le soluzioni che vi vengono fornite
sono volutamente brevi.
Def. 1 Soluzione interna.
Si ha una soluzione interna quando il paniere ottimo di consumo contiene una
certa quantità di tutti i beni scambiati nell’economia.
Def. 2 Curva di domanda perfettamente elastica.
Viene così de…nita la curva di domanda di un bene quando la sua elasticità al
prezzo è pari a in…nito.
Def. 3 Paniere ottimo per un consumatore.
Paniere, tra quelli accessibili, che assicura al consumatore la massima soddisfazione.
Def. 4 Assioma di non sazietà.
Descrive (unitamente agli assiomi di completezza, transitività e convessità) il
comportamento di un consumatore razionale. Per l’assioma di non sazietà di più è
meglio: possibilità di consumo maggiori sono sempre preferibili.
Def. 5 Spesa totale per un bene (ad esempio il bene X).
Parte del reddito destinata all’acquisto di un certo bene (ad esempio il bene x).
Vero/Falso 1. Al …ne di massimizzare l’utilità un consumatore deve scegliere un
paniere in corrispondenza del quale il saggio marginale di sostituzione è uguale al
rapporto fra i prezzi dei due beni.
Falso. La condizione di tangenza tra curva di indi¤ erenza e vincolo di bilancio
è veri…cata solo in presenza di preferenze di tipo Cobb-Douglas.
1
Vero/Falso 2. Se il consumatore ha preferenze del tipo Cobb-Douglas sugli unici
due beni (x e y) presenti nell’economia considerata, una diminuzione del prezzo del
bene x comporta un aumento della domanda di bene y.
Falso. La domanda di bene y non dipende dal prezzo del bene x (preferenze CobbDouglas).
Vero/Falso 3. La curva di Engel è sempre inclinata positivamente.
Falso. La curva di Engel è inclinata positivamente nel caso di beni normali, ed
inclinata negativamente nel caso di beni inferiori.
Vero/Falso 4. Se la curva di domanda di x è anelastica, allora un aumento del
prezzo del bene x comporta una riduzione della spesa totale.
Falso. La spesa totale aumenta in quanto la riduzione nella quantità domandata
è meno che proporzionale all’aumento nel prezzo (domanda anelastica).
Vero/Falso 5. Giovanna considera pane e latte perfetti sostituti. Sapendo che il
saggio marginale di sostituzione è 5, possiamo concludere che Giovanna preferirà il
paniere (10, 30) al paniere (9, 36).
Falso. Giovanna è disposta a cedere 1 unità di bene x per 5 unità in più di bene
y (MRS=5); quindi il paniere (9, 36) è strettamente preferito al peniere (10, 30).
Esercizio 1. Le vacanze estive si avvicinano e Marcella deve decidere come ripartire il suo reddito tra costumi da bagno (bene X) e riviste di enigmistica (bene Y).
La funzione di utilità di Marcella è U (X; Y ) = 2X + Y . (a) Supponete che Marcella
disponga di un reddito pari a 120 e, il prezzo dei costumi da bagno sia pari a 20e
ed il prezzo delle riviste di enigmistica sia di 5e. De…nite e calcolate, sulla base
delle preferenze di Marcella, i valori delle utilità marginali e del saggio marginale
di sostituzione. Discutete la relazione che sussiste tra costumi da bagno e riviste di
enigmistica. (b) Individuate, sia analiticamente che gra…camente, la scelta ottima di
Marcella. (c) Il prezzo dei costumi da bagno si dimezza. Discutete le conseguenze di
tale contrazione sulla scelta ottima della consumatrice.
(a) L’utilità marginale è la variazione dell’utilità totale conseguente al consumo
di un’unità aggiuntiva di un bene. Nel caso in esame MU x = @U (X; Y )=@X = 2,
MU y == @U (X; Y )=@Y = 1.
In ogni punto di una curva di indi¤ erenza il saggio marginale di sostituzione è
pari al valore assoluto della pendenza della curva di indi¤ erenza nel punto ed indica
la quantità aggiuntiva di bene misurato in ascissa necessaria per mantenere il livello
di utilità invariato quando il consumo del bene in ordinata diminuisce di un’unità.
Nel nostro caso MRS=- Y = X =MU x =MU y =2.
Il saggio marginale di sostituzione è costante; quindi i beni considerati sono perfetti sostituti.
(b) Dato che il valore assoluto della pendenza del vincolo di bilancio (p x =py =
20=5 = 4) è superiore al valore assoluto della pendenza delle curve di indi¤ erenza
(MRS=2), ne consegue che il paniere ottimo scelto da Marcella conterrà solo bene
Y (soluzione d’angolo). In particolare l’ottimo di Marcella stante il reddito a disposizione sarà
X = 0 Y = 120=5 = 24
2
[a voi la rappresentazione gra…ca]
(c) La contrazione del prezzo dei costumi da bagno aumenta i panieri accessibili
alla consumatrice. Si noti che il nuovo vincolo di bilancio avrà pendenza, in valore
assoluto, pari a 2 (p 0x =py = 10=5 = 2). In questo caso curve di indi¤ erenza e vincolo
di bilancio presentano la medesima pendenza: tutti i panieri che appartengono al
vincolo di bilancio sono panieri ottimi per Marcella.
[a voi la nuova rappresentazione gra…ca]
Esercizio 2. Andrea ed Emanuele sono i soli consumatori presenti sul mercato
delle fascine di faggio, in una piccola cittadina delle Alpi. Le loro curve di domanda
sono qa = 10 (P=3) e qe = 15 (P=2), dove qa e qe sono le quantità domandate
rispettivamente da Andrea ed Emanuele. (a) Calcolate l’elasticità delle due domande
al prezzo. Discutete i risultati ottenuti. (b) Trovate la curva di domanda inversa di
mercato. Se il prezzo delle fascine di faggio fosse di 12e, quante fascine sarebbero
acquistate? (c) De…nite, rappresentate in un opportuno gra…co e calcolate il surplus
dei consumatori in corrispondenza dell’equilibrio al punto (b). (d) Vi aspettate che
un (seppur lieve) aumento del prezzo delle fascine di faggio porti ad un aumento del
surplus dei consumatori? Argomentate la risposta.
(a) L’elasticità della domanda al prezzo di Andrea è
"a = (dqa =dP )P=qa =
(1=3)P=qa =
P=(30
P)
(1=2)P=qe =
P=(30
P)
mentre quella di Emanuele è
"e = (dqe =dP )P=qe =
Dato che "a = "e , ne consegue che i due consumatori reagiranno in maniera analoga
a variazioni nel prezzo delle fascine di faggio.
(b) La curva di domanda di mercato è
Q = qa + qe = 10
(P=3) + 15
(P=2) = 25
5P=6;
quindi in corrispondenza di un prezzo pari a 12 (P = 12) verranno acquistate
Q = 25
5(P )=6 = 25
10 = 15
15 fascine di faggio.
(c) Il surplus (o rendita) di un consumatore è la di¤ erenza tra il prezzo massimo
che il consumatore è disposto a pagare per ricevere un determinato bene (o servizio)
ed il prezzo di mercato dello stesso bene (o servizio). Nel caso in esame il surplus dei
consumatori è
SC = (25 P )Q =2 = (25 12)15=2 = 97:5
[a voi il gra…co]
(d) Dal momento che in seguito ad una contrazione del prezzo aumenta la rendita
dei consumatori attualmente disposti ad acquistare il bene ed aumentano i consuumatori disposti ad acquistare il bene, qualsiasi contrazione nel prezzo delle fascine di
faggio comporterà un aumento del surplus dei consumatori.
3
Esercizio 3. Il signor Bianchi ha a disposizione 24 ore, che può fruire come tempo
libero oppure impiegare per lavorare onde ottenere un reddito per consumare altri
beni. Le preferenze di Bianchi relativamente alle ore di tempo libero (T, misurato in
ascissa) e altri beni (Y, misurati in ordinata) sono descritte dalle seguente funzione:
U (T; Y ) = 10T 0:5 Y 0:5 . Il prezzo degli altri beni è p = 5e, mentre il salario orario
è pari a w=20e. (a) Calcolate e fornite una rappresentazione gra…ca del paniere
ottimo scelto da Bianchi speci…cando pendenza ed intercette del vincolo di bilancio.
(b) Supponete che Bianchi riceva una donazione di 600e. Attraverso un’opportuna
rappresentazione gra…ca analizzate le conseguenze di tale donazione sul vincolo di
bilancio di Bianchi. (c) Analizzate le conseguenze di tale aumento sulla decisione
ottima di Bianchi. In particolare: quanto lavorava prima e quanto lavora adesso?
(a) Stante la funzione di utilità il saggio marginale di sostituzione di Bianchi è
MRS=Y/T. il vincolo di bilancio si caratterizza per un’intercetta orizzontale (24;0),
un’intercetta verticale (0;96) ed una pendenza, in valore assoluto, pari a w/p=4.
Risolvendo il sistema per l’individuazione del paniere ottimo
M RS = wp
!
vin col o di bilancio
Y = 4T
5Y + 20T = 480
otteniamo T = 12 (L = 24 T = 12) e Y = 48. [a voi il gra…co]
(b)-(c) Per e¤ etto della donazione il reddito di bianchi aumenta. L’intercetta
orizzontale non cambia - non aumentano le ore totali a disposizione del consumatore.
La nuova intercetta verticale è (0;216) ed il nuovo paniere delle dotazioni iniziali è
T=24; Y=600/p=120.
Y
Da notare la forma spezzata del nuovo vincolo di bilancio (in
celeste); a differenza del caso iniziale in cui il consumatore
disponeva solo ed esclusivamente di tempo (24 ore, da cui un
paniere delle dotazioni iniziale (24;0)), ora dispone sia di tempo
che di una rendita (600) che può essere impiegata
per l’
acquisto di beni
di consumo (fino ad
un massimo di
Nuovo paniere
600/p=600/5=120)
delle dotazioni
da cui un paniere
iniziali
delle dotazioni
iniziali (24;120)
120
96
Vincolo di bilancio iniziale e
paniere di equilibrio iniziale
Nuovo vincolo di bilancio
48
Paniere delle
dotazioni iniziali
12
24
T
Risolvendo il sistema per l’individuazione del paniere ottimo
M RS = wp
!
nuovo vincolo di bilancio
4
Y = 4T
5Y + 20T = 480 + 600
otterremmo T 0 = 27 > 24. Dal momento che Bianchi non può consumare 27 ore di
tempo libero (ne ha solo 24 a disposizione), sceglierà di smettere di lavorare (T = 24
e L = 0) e acquisterà altri beni per un quantitativo complessivo pari a Y
=
600/5=120. Gra…camente
Esercizio 4. Il signor Formica ha reddito pari a 105 nel 2011 (M1 =105), e sa già
che nel 2012 avrà reddito pari a 126 (M2 =126); le sue preferenze sono rappresentate
0:4
dalla funzione U(C1 ; C2 )=C0:6
1 C2 . Il pane del 2011 (C1 , in ascissa) e quello del
2011 (C2 ) hanno prezzo pari a 1. Il tasso di interesse r è del 40%. (a) Rappresentate
gra…camente il vincolo di bilancio intertemporale di Formica, indicando i valori di
intercetta, l’inclinazione ed il paniere delle dotazioni. (b) Individuate la scelta ottima di Formica. Quanto risparmia, o di quanto si indebita, Formica nel 2011? (c)
Supponete che il tasso di interesse passi dal 40% al 20%. Analizzate gra…camente
ed analiticamente come si modi…ca la scelta ottima di Formica speci…cando quanto
risparmia o di quanto si indebita.
(a) Il vincolo di bilancio di Formica in termini futuri è
C2 + (1 + r)C1 = M2 + (1 + r)M1 ! C2 + 1:4C1 = 273
da cui una pendenza, in valore assoluto, pari a 1.4; un’intercetta orizzontale (195 ;0)
ed un’intercetta verticale (0; 273). [a voi il gra…co]
(b) La scelta ottima del consumatore, ottenuta risolvendo il sistema
M RS = 1 + r
!
vincolo di bilancio intertemp
(0:6=0:4)(C2 =C1 ) = 1:4
C2 + 1:4C1 = 273
comporta C1 = 117 e C2 = 109:2. Dato che C1 > M1 , il signor Formica è un
mutuatario e si indebita per un ammontare pari a 12 euro (S=105-117=-12).
(c) In seguito alla contrazione del tasso di interesse le possibilità di consumo di
un mutuatario si espandono (minor onere per il debito contratto) mentre quelle di
un risparmiatore si contraggono (minori interessi sulle somme investite). Il nuovo
vincolo di bilancio di Formica in termini futuri è
C2 + (1 + r0 )C1 = M2 + (1 + r0 )M1 ! C2 + 1:2C1 = 252
da cui una pendenza, in valore assoluto, pari a 1.2; un’intercetta orizzontale (210
;0) ed un’intercetta verticale (0; 252). [a voi il gra…co] La nuova scelta ottima è
C1 = 126 e C2 = 100:8. Dato che C1 > M1 , il signor Formica rimane mutuatario.
Stante il minor onere sul debito contratto decide di indebitarsi ancora più di quanto
e¤ ettuato al punto (b); infatti il nuovo debito contratto è pari a 21 euro (S=105–
126=-21).
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