Consumo, tempo libero e scelta della tecnica Marianna Belloc

Economia Politica (a.a. 2015-2016)
Esercizi svolti in classe - Consumo, tempo libero e scelta della tecnica
Marianna Belloc
Esercizio sul consumo:
Si consideri un consumatore la cui funzione di utilità sia:
U (x1 , x2 ) = x1 × x2
Siano il prezzo del bene x1 pari a 2, il prezzo del bene x2 pari a 3. Calcolare la scelta ottimale
di tale consumatore nell’ipotesi che egli goda di un reddito pari a 5.
Soluzione: Il vincolo di bilancio del consumatore è:
p1 x1 + p2 x2 = Y
2x1 + 3x2 = 5
x1 =
5 3
− x2
2 2
Calcoliamo le utilità marginali rispetto ai due beni:
∂U (x1 , x2 )
= x2
∂x1
∂U (x1 , x2 )
= x1
∂x2
e il saggio marginale di sostituzione:
MRSx1 ,x2
∂U (x1 , x2 ) x1
∂x2
=
= −
x2
∂U
(x
,
x
)
1
2
∂x1
Nota bene: il SMS ci dice quante unità di x1 l’individuo è disposto a cedere in cambio di
una unità aggiuntiva di x2 date le sue preferenze. Invece il rapport fra prezzi ci dice quante
unità di x1 l’individuo deve a cedere in cambio di una unità aggiuntiva di x2 dati i prezzi di
mercato.
1
La scelta ottima del consumatore si ottiene risolvendo il sistema:
∂U (x1 , x2 )
∂U (x1 , x2 )
p2
p2
∂x2
∂x2
−
=− →
=
∂U (x1 , x2 )
∂U (x1 , x2 )
p1
p1
∂x1
∂x1
p1 x1 + p2 x2 = Y
cioè
3
x1
=
x2
2
2x1 + 3x2 = 5
da cui:
3
x2 =
x1 = x2
2
⇐⇒
3
2 x2 + 3x2 = 5
x1 =
2
La soluzione del problema è rappresentata in Figura 9.
5
6
3 5
5
× =
2 6
4
x1
5/2
5/4
O
5/6
5/3
x2
Figura 1
Esercizio sulla scelta fra consumo e tempo libero:
Le preferenze di Massimo per il consumo (C) e tempo libero (T ) possono essere espresse con
la seguente funzione di utilità
2
U(C, T ) = (C − 60) × (T − 90)
Ci sono 168 ore alla settimana da suddividere tra lavoro e tempo libero. Luca guadagna 10€
all’ora e riceve un reddito da capitale pari a 140€ alla settimana indipendentemente da quanto
lavora. Il prezzo del paniere di beni, p, è pari a 1. N indica il numero di ore lavorate. (a)
Disegnate la retta di bilancio di Massimo. (b) Trovare la quantità ottima di consumo e tempo
libero.
Soluzione:
(a) Il vincolo di bilancio di Massimo è:
p × C = 140 + 10 × (168 − T )
che espressa rispetto a C, per p = 1, ci dà:
C = 140 + 10 × (168 − T )
Il vincolo di bilancio è rappresentato in figura 1.
(b) La scelta ottima del consumatore è quella che massimizza l’utilità sotto il vincolo di
bilancio. La condizione di ottimo è data da:
∂U/∂T
w
10
= =
∂U/∂C
p
1
SM S =
C − 60
T − 90
= 10 cioè C = 60 + 10(T − 90)
Sostituiamo C nella retta di bilancio
C = 140 + 10 × (168 − T )
60 + 10(T − 90) = 140 + 10 × (168 − T )
10T − 900 + 60 = 140 + 1680 − 10T
20T
= 2660
T ∗ = 133
3
Da cui:
C ∗ = 140 + 1680 − 1330 = 490
N ∗ = 168 − 133 = 35
Graficamente:
Figura 2
Esercizio sulla scelta della tecnica:
Un’impresa produce sedie impiegando lavoro e macchinari. Il salario orario, w, è pari a 160, e
√
il costo orario dei macchinari, pM , è pari a 10. La funzione di produzione sia Q = M × N, dove
M è il numero di ore in cui sono usate le macchine e N è il numero di ore di lavoro impiegato.
Supponiendo che l’impresa voglia ottenere un output di 60 tonnellate di sedie, calcolare la
combinazione ottima dei fattori. Rappresentare graficamente il risultato.
Soluzione 3:
L’impresa vuole minimizzare i costi sotto il vincolo di produzione Q = 60. La combinazione
ottima dei fattori corrisponde al punto in cui l’isocosto è tangente all’isoquanto.
4
L’isocosto è dato da:
CT = w × N + Pm × M,
CT = 120 × N + 10 × M,
che espresso in termini di M può essere scritto come segue:
M=
120
CT
CT
−
×N =
− 12 × N.
10
10
10
L’isoquanto in termini di M può essere scritto come segue:
M=
Q2
.
N
Dunque, nel punto di equilibrio abbiamo che il saggio marginale di sostituzione tecnica
(SMST) deve essere uguale al rapporto tra i prezzi dei dui input, lavoro e macchinari, (w/pm ):
SM ST =
w
P MN
=
P MM
pM
Le produttività marginali rispetto ai due fattori sono rispettivamente:
1 M
1 N
P MN =
e P MM =
2 N
2 M
Dunque il saggio marginale di sostituzione tecnica è:
1
M
P MN
M
2
N
SMST =
= =
,
P MM
N
1
N
2
M
da cui
M
160
=
→ M = N × 16.
N
10
Mettendo a sistema con l’obiettivo dell’impresa, otteniamo
M = N × 16,
√
60 =
M × N → 60 = N 2 × 16 → 60 = N × 4.
La combinazione di equilibrio è infine data da:
N ∗ = 15 e M ∗ = 240.
Questa condizione garantisce che l’impresa produca 60 tonnellate di sedie minimizzando i
costi. Graficamente:
5
Figura 3
6