Algebra dei limiti delle successioni Premettiamo due lemmi (teoremi che servono a dimostrare quelli successivi) che chiameremo L1 e L2. L1: Sia convergente a ∈ | ∈ : allora esiste |≥ = esiste ≥ si ha (1) Dimostrazione: se = 0 il teorema è ovvio; se ponendo tale che per ogni ∈ tale che per ogni | − |≤ ≠ 0 poiché ≥ = segue che, si ha || (2) si consideri la seguente catena di disuguaglianze: ||=| − + | Inserendo la (2) nella (3) si ha − |+| − |≥ | ≥| |−| L2: Sia convergente a ∈ . Allora tale che | |≤| || | (3) che è la (1) cioè la tesi. è limitata, cioè esiste un numero reale positivo |≤ (4) Dimostrazione (fatta nel caso ≠ 0; nel caso = 0 è lasciata per esercizio): poiché = segue che, ponendo = | | esiste ∈ tale che per ogni ≥ si ha | |=| + − |≤| − | + | | ≤ 2| | (5) La (5) ci dice che la successione è definitivamente limitata. A questo punto chiamiamo il più grande dei termini di tali che < (che esiste certamente perché questi termini 2| |, si ha la tesi. sono in numero finito). Allora ponendo = Questi due lemmi ci saranno utili per studiare come si comportano le successioni rispetto alle operazioni di somma, prodotto e quoziente. I teoremi relativi a questi comportamenti “algebrici” ci consentiranno di calcolare finalmente molti limiti di successioni. Ho affibbiato ai teoremi indispensabili che saranno ora dimostrati dei semplici nomignoli di comodo, cioè li contrassegnerò banalmente con una appropriata lettera maiuscola. Teorema S (“limite della somma”): Siano somma e + successioni reali tali che tende al limite + . = e = ; allora la successione > 0 dobbiamo trovare un numero naturale Dimostrazione: Fissato si abbia | tale che per − " + #| ≤ + (6) ∈ tale che per $ si ha | − | ≤ . Ma per la convergenza di e e per l’arbitrarietà di esiste $ ogni ≥ si ha | − | ≤ , esiste ∈ tale che per ogni ≥ S ha allora applicando le due ultime disuguaglianze, e quindi per | − " + #| = |" + − #+" − #| ≤ | = che è la tesi ponendo appunto ≥ , ≥ , $ − |+| $ − |≤ + = . Teorema P (“limite del prodotto”): Siano e prodotto ∙ = successioni reali tali che tende al limite ∙ . = e ; allora la successione Dimostrazione: Possiamo porre ∙ ≠ 0 (provate a dimostrare per esercizio il caso particolare ∙ = 0 , la dimostrazione è molto semplice usando il lemma L2). Fissato > 0 dobbiamo trovare un numero naturale tale che per ≥ si abbia | Ma | ∙ − " ∙ #| ≤ ∙ − " ∙ #| = | ∙ − ∙ (7) + ∙ − ∙" ∙ |=| ∙" − #+ − #|. E ancora dalla disuguaglianza triangolare applicata alla relazione precedente ottengo | ∙ − " ∙ #| ≤ | | ∙ |" − #| + | | ∙ |" Ma per il teorema L2 esiste un numero reale positivo = segue che, esiste ∈ tale che per ogni = esiste ∈ (8) tale che | | ≤ ; poiché $ ≥ si ha | − | ≤ | | . Poiché si ha | ≥ tale che per ogni − #| − |≤ $ ( & . Si può completare la catena di disuguaglianze inserendo nella (8) le tre precedenti disuguaglianze, ottenendo per ≥ , : | ∙ − " ∙ #| ≤ | | ∙ |" − #| + | | ∙ |" che è la tesi ponendo appunto = , − #| ≤ . ∙ $ ( +) *∙ $ | &| $ $ = + = Teorema R (“limite della successione reciproca”): = con Sia ≠ 0 . Allora la successione tende al limite +, . = 0 la successione Un’osservazione prima della dimostrazione: se +, non risulta definita ; questo però succede eventualmente solo per un numero finito di punti, ce lo assicura il teorema della permanenza del segno. Non è quindi un problema per una definizione coerente di (si scarterebbe eventualmente qualche indice) e per la +, ricerca del suo limite. ∈ Dimostrazione: utilizzando il lemma L1 esiste | |≥ ≤|| (9) > 0 dobbiamo trovare un numero naturale Fissato − si ha e quindi |+, | +, ≥ tale che per ogni ≤ . Ma per ≥ = ≥ si abbia si ha usando la (9) +, Ma poiché tale che per | -+, | , |∙| | − esiste | = |+ ∈ ∙|+, - | | |& ≤ (10) tale che per ogni − |≤ ≥ si ha | |& $ (11) A questo punto, per ≥ , si possono usare contemporaneamente le due espressioni precedenti e, inserendo la (11) nella (10) si ottiene finalmente +, − che è la tesi ponendo appunto ≤ | |& $ | |& = = , . Teorema Q (“limite del quoziente”): Siano e = successioni reali tali che successione quoziente +, ., tende al limite / & e . Dimostrazione: è un ovvio corollario dei teoremi P e R. = con ≠ 0; allora la