Algebra dei limiti delle successioni

Algebra dei limiti delle successioni
Premettiamo due lemmi (teoremi che servono a dimostrare quelli successivi) che
chiameremo L1 e L2.
L1: Sia
convergente a ∈
|
∈
: allora esiste
|≥
=
esiste
≥
si ha
(1)
Dimostrazione: se = 0 il teorema è ovvio; se
ponendo
tale che per ogni
∈
tale che per ogni
|
− |≤
≠ 0 poiché
≥
=
segue che,
si ha
||
(2)
si consideri la seguente catena di disuguaglianze:
||=| −
+
|
Inserendo la (2) nella (3) si ha
− |+|
− |≥
| ≥| |−|
L2: Sia
convergente a ∈ . Allora
tale che
|
|≤|
||
|
(3)
che è la (1) cioè la tesi.
è limitata, cioè esiste un numero reale positivo
|≤
(4)
Dimostrazione (fatta nel caso ≠ 0; nel caso = 0 è lasciata per esercizio): poiché
= segue che, ponendo = | | esiste ∈ tale che per ogni ≥ si ha
|
|=|
+ − |≤|
− | + | | ≤ 2| |
(5)
La (5) ci dice che la successione è definitivamente limitata. A questo punto chiamiamo
il più grande dei termini di
tali che < (che esiste certamente perché questi termini
2| |,
si ha la tesi.
sono in numero finito). Allora ponendo =
Questi due lemmi ci saranno utili per studiare come si comportano le successioni rispetto
alle operazioni di somma, prodotto e quoziente. I teoremi relativi a questi comportamenti
“algebrici” ci consentiranno di calcolare finalmente molti limiti di successioni. Ho affibbiato
ai teoremi indispensabili che saranno ora dimostrati dei semplici nomignoli di comodo, cioè
li contrassegnerò banalmente con una appropriata lettera maiuscola.
Teorema S (“limite della somma”):
Siano
somma
e
+
successioni reali tali che
tende al limite + .
=
e
=
; allora la successione
> 0 dobbiamo trovare un numero naturale
Dimostrazione: Fissato
si abbia
|
tale che per
− " + #| ≤
+
(6)
∈ tale che per
$
si ha | − | ≤ .
Ma per la convergenza di
e
e per l’arbitrarietà di
esiste
$
ogni ≥ si ha | − | ≤ , esiste
∈ tale che per ogni ≥
S ha allora applicando le due ultime disuguaglianze, e quindi per
|
− " + #| = |"
+
− #+"
− #| ≤ |
=
che è la tesi ponendo appunto
≥
,
≥
,
$
− |+|
$
− |≤ + =
.
Teorema P (“limite del prodotto”):
Siano
e
prodotto
∙
=
successioni reali tali che
tende al limite ∙ .
=
e
; allora la successione
Dimostrazione: Possiamo porre ∙ ≠ 0 (provate a dimostrare per esercizio il caso
particolare ∙ = 0 , la dimostrazione è molto semplice usando il lemma L2). Fissato
> 0 dobbiamo trovare un numero naturale
tale che per ≥ si abbia
|
Ma |
∙
− " ∙ #| ≤
∙
− " ∙ #| = |
∙
−
∙
(7)
+
∙
−
∙"
∙ |=|
∙"
− #+
− #|.
E ancora dalla disuguaglianza triangolare applicata alla relazione precedente ottengo
|
∙
− " ∙ #| ≤ |
| ∙ |"
− #| + | | ∙ |"
Ma per il teorema L2 esiste un numero reale positivo
=
segue che, esiste ∈ tale che per ogni
=
esiste
∈
(8)
tale che | | ≤
; poiché
$
≥ si ha | − | ≤ | | . Poiché
si ha |
≥
tale che per ogni
− #|
− |≤
$
(
&
.
Si può completare la catena di disuguaglianze inserendo nella (8) le tre precedenti
disuguaglianze, ottenendo per ≥
, :
|
∙
− " ∙ #| ≤ |
| ∙ |"
− #| + | | ∙ |"
che è la tesi ponendo appunto
=
,
− #| ≤
.
∙
$
(
+) *∙
$
| &|
$
$
= + =
Teorema R (“limite della successione reciproca”):
= con
Sia
≠ 0 . Allora la successione
tende al limite
+,
.
= 0 la successione
Un’osservazione prima della dimostrazione: se
+,
non risulta
definita ; questo però succede eventualmente solo per un numero finito di punti, ce lo
assicura il teorema della permanenza del segno. Non è quindi un problema per una
definizione coerente di
(si scarterebbe eventualmente qualche indice) e per la
+,
ricerca del suo limite.
∈
Dimostrazione: utilizzando il lemma L1 esiste
|
|≥
≤||
(9)
> 0 dobbiamo trovare un numero naturale
Fissato
−
si ha
e quindi
|+, |
+,
≥
tale che per ogni
≤
. Ma per
≥
=
≥
si abbia
si ha usando la (9)
+,
Ma poiché
tale che per
| -+, |
, |∙| |
−
esiste
|
= |+
∈
∙|+, - |
| |&
≤
(10)
tale che per ogni
− |≤
≥
si ha
| |& $
(11)
A questo punto, per ≥
,
si possono usare contemporaneamente le due
espressioni precedenti e, inserendo la (11) nella (10) si ottiene finalmente
+,
−
che è la tesi ponendo appunto
≤
| |& $
| |&
=
=
,
.
Teorema Q (“limite del quoziente”):
Siano
e
=
successioni reali tali che
successione quoziente
+,
.,
tende al limite
/
&
e
.
Dimostrazione: è un ovvio corollario dei teoremi P e R.
=
con
≠ 0; allora la