Probabilità e Statistica – ESERCIZI EsercizioA1 Data la variabile

Probabilità e Statistica – ESERCIZI
EsercizioA1 Data la variabile aleatoria normale standard Z, si calcoli la probabilità
che Z sia minore o uguale di 1,2.
Soluzione La probabilità che una variabile aleatoria
normale standard Z sia minore o uguale ad un certo
valore x, ovvero
P(Z ≤ x)
è un valore che, per la variabile aleatoria normale
standard, viene riportato in Tabella1. Tale probabilità
x
si ricava nel modo seguente: le righe della tabella
corrispondono alla cifra intera ed alla prima cifra decimale del valore x, mentre le
colonne della tabella corrispondono alla seconda cifra decimale del valore x.
Quindi, per calcolare la probabilità che Z sia minore a 1,2, si dovrà considerare il
valore riportato in tabella relativo alla riga 1,2 ed alla colonna 0. Il valore
corrispondente è 0,8849. Si avrà:
P(Z ≤ 1,2) = 0,8849
EsercizioA2 Data la variabile aleatoria normale standard Z, si calcoli la probabilità
che Z sia minore o uguale di 1,94.
Soluzione La metodologia da seguire per la risoluzione dell’esercizio è analoga a
quella illustrata nel caso precedente. Per calcolare la probabilità che Z sia minore a
1,94, si dovrà considerare il valore riportato in tabella relativo alla riga 1,9 ed alla
colonna 0,04. Il valore corrispondente è 0,9738. Si avrà:
P(Z ≤ 1,94) = 0,9738
EsercizioA3 Data la variabile aleatoria normale standard Z, si calcoli la probabilità
che Z sia minore o uguale di 0,65.
Soluzione La metodologia da seguire per la risoluzione dell’esercizio è analoga a
quella illustrata nei casi precedenti. Per calcolare la probabilità che Z sia minore a
0,65, si dovrà considerare il valore riportato in tabella relativo alla riga 0,6 ed alla
colonna 0,05. Il valore corrispondente è 0,7422. Si avrà:
P(Z ≤ 0,65) = 0,7422
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EsercizioB1 Data la variabile aleatoria normale standard Z, si calcoli la probabilità
che Z sia minore o uguale di -2,15.
Soluzione La probabilità che una variabile aleatoria normale standard Z sia minore o
uguale ad un certo valore x negativo, è uguale al complemento ad uno della
probabilità che la variabile aleatoria normale standard Z sia minore o uguale del
valore x considerato con il segno positivo, ovvero
P(Z ≤ -x) = 1 - P(Z ≤ x)
A questo punto la metodologia da seguire per la risoluzione dell’esercizio è analoga a
quella illustrata nei casi precedenti. Per calcolare la probabilità che Z sia minore a
-2,15, si dovrà considerare il valore riportato in tabella relativo alla riga 2,1 ed alla
colonna 0,05. Il valore corrispondente è 0,9842. Si avrà:
P(Z ≤ -2,15) = 1 - P(Z ≤ 2,15) = 1 – 0,9842 = 0,0158
EsercizioB2 Data la variabile aleatoria normale standard Z, si calcoli la probabilità
che Z sia minore o uguale di -0,12.
Soluzione La metodologia da seguire per la risoluzione dell’esercizio è analoga a
quella illustrata nel caso precedente. Per calcolare la probabilità che Z sia minore a
-0,12, si dovrà considerare il valore riportato in tabella relativo alla riga 0,1 ed alla
colonna 0,02. Il valore corrispondente è 0,5478. Si avrà:
P(Z ≤ -0,12) = 1 - P(Z ≤ 0,12) =1 – 0,5478 = 0,4522
EsercizioC1 Data la variabile aleatoria normale standard Z, si calcoli la probabilità
che Z sia maggiore di 2,98.
Soluzione La probabilità che una variabile aleatoria
normale standard Z sia maggiore di un certo valore
x, è uguale al complemento ad uno della probabilità
che la variabile aleatoria normale standard Z sia
minore o uguale ad x, ovvero
P(Z > x) = 1 - P(Z ≤ x)
x
La metodologia da seguire per la risoluzione dell’esercizio è adesso analoga a quella
illustrata nei casi precedenti. Per calcolare la probabilità che Z sia maggiore a 2,98, si
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dovrà considerare il valore riportato in tabella relativo alla riga 2,9 ed alla colonna
0,08. Il valore corrispondente è 0,9986. Si avrà:
P(Z > 2,98) = 1 - P(Z ≤ 2,98) = 1 – 0,9986 = 0,0014
EsercizioC2 Data la variabile aleatoria normale standard Z, si calcoli la probabilità
che Z sia maggiore di -0,11.
Soluzione La probabilità che una variabile aleatoria normale standard Z sia maggiore
di un certo valore x negativo, è uguale al complemento ad uno della probabilità che la
variabile aleatoria normale standard Z sia minore o uguale ad x, che a sua volta è pari
al complemento ad uno della probabilità che la variabile aleatoria normale standard Z
sia minore o uguale del valore x considerato con il segno positivo, ovvero
P(Z > -x) = 1 - P(Z ≤ -x) = 1 – [1 - P(Z ≤ x)] = P(Z ≤ x)
La metodologia da seguire per la risoluzione dell’esercizio è adesso analoga a quella
illustrata nei casi precedenti. Per calcolare la probabilità che Z sia maggiore a -0,11,
si dovrà considerare il valore riportato in tabella relativo alla riga 0,1 ed alla colonna
0,01. Il valore corrispondente è 0,5438. Si avrà:
P(Z > -0,11) = P(Z ≤ 0,11) = 0,5438
EsercizioD1 Data la variabile aleatoria normale standard Z, si calcoli la probabilità
che Z sia compresa tra 1,2 e 2,86.
Soluzione La probabilità che una variabile aleatoria
normale standard Z sia compresa in un certo
intervallo di valori x, è uguale alla probabilità che
Z sia minore dell’estremo superiore meno la
probabilità che Z sia minore dell’estremo inferiore
dell’intervallo:
P(x1 ≤ Z ≤ x2) = P(Z ≤ x2) - P(Z ≤ x1)
x1
x2
Procedendo in modo analogo ai casi precedenti, si avrà:
P(1,2 ≤ Z ≤ 2,86) = P(Z ≤ 2,86) - P(Z ≤ 1,2) = 0,9979 – 0,8849 = 0,113
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EsercizioD2 Data la variabile aleatoria normale standard Z, si calcoli la probabilità
che Z sia compresa tra -1 e 1,1.
Soluzione La metodologia da seguire per la risoluzione dell’esercizio è analoga a
quella illustrata nel caso precedente, facendo attenzione al segno negativo
dell’estremo inferiore dell’intervallo:
P(-1 ≤ Z ≤ 1,1) = P(Z ≤ 1,1) - P(Z ≤ -1) = P(Z ≤ 1,1) – [1 - P(Z ≤ 1)] =
= 0,8643 – (1 – 0,8413) = 0,7056
EsercizioE1 Data la variabile aleatoria normale X con media µ = 0,44 e deviazione
standard σ=3,24, si calcoli la probabilità che X sia minore o uguale di γ = 0,66.
Soluzione Il primo passo per la risoluzione dell’esercizio consiste nella standardizzare
la variabile aleatoria normale X. Poiché Z = (XN - µ) /σ, si andrà ad operare sul valore
x come segue:
x = (γ - µ) /σ
Si avrà:
x = (0,66 - 0,44) /3,24 ≈ 0,07
L’esercizio diventa quindi quello di determinare la probabilità che la variabile
aleatoria normale standard Z sia minore di 0,07:
P(Z ≤ 0,07) = 0,5279
EsercizioE2 Data la variabile aleatoria normale X con media µ = 0,44 e deviazione
standard σ=3,24, si calcoli la probabilità che X sia minore o uguale di γ = -0,54.
Soluzione Il primo passo per la risoluzione dell’esercizio consiste nello
standardizzare la variabile aleatoria normale X. Poiché Z = (XN - µ) /σ, si andrà ad
operare sul valore x come segue:
x = (γ - µ) /σ
Si avrà:
x = (-0,54 - 0,44) /3,24 ≈ -0,30
L’esercizio diventa quindi quello di determinare la probabilità che la variabile
aleatoria normale standard Z sia minore di -0,302:
P(Z ≤ -0,30) = 1 – [P(Z ≤ 0,30)] = 1 - 0,6179 = 0,3821
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EsercizioE3 Data la variabile aleatoria normale X con media µ = 0,44 e deviazione
standard σ=3,24, si calcoli la probabilità che X sia compresa tra γ1 = -0,26 e γ2= 0,68.
Soluzione La soluzione dell’esercizio consiste nell’applicare le metodologie utilizzate
per la risoluzione degli esercizi E2 e D1.
Il primo passo per la risoluzione dell’esercizio consiste nello standardizzare la
variabile aleatoria normale X. Poiché Z = (XN - µ) /σ, si andrà ad operare sugli
estremi dell’intervallo come segue:
x1 = (γ1 - µ) /σ
e
x2 = (γ2 - µ) /σ
Si avrà:
x1 = (-0,26 - 0,44) /3,24 ≈ -0,22
x2 = (0,68 - 0,44) /3,24 ≈ 0,07
L’esercizio diventa quindi quello di calcolare la probabilità che la variabile aleatoria
normale standard Z sia compresa tra -0,22 e 0,07:
P(-0,22 ≤ Z ≤ 0,07) = P(Z ≤ 0,07) - P(Z ≤ -0,22) =
= P(Z ≤ 0,07) – [1 - P(Z ≤ 0,22)]=0,5279 – [1 – 0,5871] = 0,115
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Tabella 1 – Valori di probabilità assunti dalla variabile aleatoria normale standard
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