DOMANDE SULLE VARIABILI CASUALI IN PREPARAZIONE ALL'ESAME DI STATO 2015
Cos'è una variabile casuale?
Una variabile casuale è una grandezza numerica X associata ad un insieme di eventi
incompatibili ed esaustivi di una prova casuale. Esaustivi significa che uno degli eventi deve
necessariamente verificarsi.
Con quale altro nome viene chiamata una variabile casuale?
Variabile aleatoria (dal latino alea: sorte, rischio, azzardo. Ricordare Cesare: alea iacta est)
Cos'è una variabile casuale discreta?
Una variabile casuale X è discreta quando i suoi valori sono numerabili, cioè si possono
contare.
Per definire una variabile casuale discreta possiamo utilizzare la definizione del libro a pag.
84:
Si dice variabile casuale discreta una grandezza X che può assumere valori x 1 , x 2 , … .. , x n
associati agli eventi incompatibili E1 , E 2 , … .. , E n di probabilità p1 , p2 , …. , pn tali che
p1+ p 2+ …..+ pn =1
Cos'è la distribuzione di probabilità di una variabile casuale discreta?
E' una funzione che associa ad ogni valore della variabile casuale la rispettiva probabilità
Come si rappresenta una distribuzione di probabilità?
• In forma tabellare
x1
x2
X
p1
p
•
p2
…....
xn
…...
pn
Con un grafico a bastoncini
Cos'è una variabile casuale continua?
Una variabile casuale che assume valori in un intervallo [a,b] della retta reale
Cos'è la funzione di densità di probabilità di una variabile casuale continua?
E' una funzione che gode di due proprietà
f ( x)≥0
•
b
•
∫ f ( x) dx=1
a
In una variabile casuale continua, come si calcola
assuma valori in un determinato intervallo?
p(x 1≤X ≤x 2 ) , la probabilità che la variabile
x2
p( x 1≤X ≤x 2 )=∫ f ( x)dx
x1
Una variabile casuale è caratterizzata da due indici (o parametri). Quali sono?
• Il valore medio
• La deviazione standard (o scarto quadratico medio)
Cos'è il valore medio di una variabile casuale?
E' un indice di posizione nel senso che fornisce il valore attorno al quale oscillano i valori della
variabile casuale.
Esso viene costruito per sintetizzare, rappresentare, la variabile casuale con un unico valore.
Come di calcola il valor medio?
Per una variabile casuale discreta, il valore medio si calcola con la formula
M (X )=m=x 1⋅p1+ x2⋅p2 +… ..+ x n⋅pn
Per una variabile casuale continua definita in [a,b] si calcola con la formula
b
M (X )=m=∫ x⋅f (x) dx
a
Cosa si intende per scarto lineare di una variabile casuale X?
E' una nuova variabile casuale, X̄ , ottenuta sottraendo da ogni ogni valore dalla variabile X
il suo valor medio m
X̄
x 1−m
x 2−m
x n−m
…....
p1
p
p2
…....
pn
Che proprietà ha il valore medio?
• E' un valore compreso tra il minimo ed il massimo dei valori assunti dalla variabile
casuale
• Il valore medio della variabile casuale scarto lineare X-m è 0
Dimostra che la variabile scarto lineare ha valore medio 0
Nel caso discreto
M ( X̄ )=( x 1 – m)⋅p 1+(x 2−m)⋅p2 +.......+( x n−m)⋅pn=
=( x 1⋅p1 + x 2⋅p 2+........+ x n⋅pn )−m⋅p 1−m⋅p2−....−n⋅pn=
=m−m( p1 + p2 +....+ pn)=m−m⋅1=m−m=0
Nel caso continuo
b
b
b
b
M ( X̄ )=∫ (x−m)⋅f ( x)dx=∫ x⋅f ( x)– m⋅f ( x) dx=∫ x⋅f ( x)−∫ m⋅f ( x)=
a
b
a
b
=∫ x⋅f (x)−m⋅∫ f ( x)dx=m−m⋅1=m−m=0
a
a
a
a
Cos'è la deviazione standard (o scarto quadratico medio) di una variabile casuale?
E' un indice di variabilità nel senso che misura l'ampiezza dell'intervallo di oscillazione dei
valori della variabile casuale attorno al valor medio.
Come si calcola la deviazione standard?
Per una variabile casuale discreta si calcola con la formula
σ( X)=√ ( x 1 – m)2⋅p1+( x 2 – m)2⋅p2 +… .+(x n−m)2⋅pn
Per una variabile casuale continua si calcola con la formula
√∫
b
σ( X )=
(x−m)2⋅f (x )dx
a
Cos'è la varianza di una variabile casuale?
E' anch'essa un indice di variabilità. Ha il difetto di non essere espressa nell'unità di misura
dei dati ma con il quadrato dell'unità di misura.
Come si calcola la varianza di una variabile casuale?
Per una variabile casuale discreta si calcola con la formula
2
2
2
2
σ (x )=( x 1−m) ⋅p 1+( x 2−m) ⋅p2 +.....+( x n−m) ⋅pn
Per una variabile casuale continua si calcola con la formula
b
σ( X )=∫ (x−m)2⋅f ( x)dx
a
Spiega in modo più approfondito il significato di deviazione standard
La deviazione standard misura la variabilità della variaible casuale, cioè misura l'ampiezza
dell'intervallo di oscillazione dei valori della variabile casuale attorno al valor medio. Essendo
una misura, è un numero non negativo, cioè σ( X)≥0 .
Al crescere della variabilità della variabile casuale, aumenta il valore della deviazione
standard.
Essa fornisce anche una misurà della bontà del valor medio di sintetizzare la variabile
casuale: minore è la deviazione standard meglio il valor medio sintetizza la variabile casuale
perché i dati sono concentrati attorno al valor medio
Cos'è la funzione di ripartizione di una variabile casuale?
La funzione di ripartizione di una variabile casuale è una funzione che misura la probabilità
che la variabile casuale assuma un valore minore o uguale ad x, cioè P( X ≤x)
Come si calcola la funzione di ripartizione di una variabile casuale continua definita in [a,b]?
La funzione di ripartizione non è altro che la funzione integrale di f(x), cioè
x
P( X ≤x)=F ( x)=∫ f (t)dt
a
A cosa serve la funzione di ripartizione?
Serve a determinare la probabilità che la variabile casuale assuma valore all'interno di un
intervallo senza dover integrare ma facendo una semplice differenza. In pratica vale la
relazione
x2
p( x 1≤X ≤x 2 )=∫ f ( x)dx=F( x2 )−F (x1 )
x1
Dove viene ampiamente utilizzata la funzione di ripartizione?
Nella variabile casuale normale. La funzione di ripartizione è stata tabulata in una tavola
(pag. 272 del testo)
Cos'è una variabile casuale binomiale B n , p ?
E' una variabile casuale che descrive il numero di volte che può verificarsi un evento E su n
prove indipendenti.
Per essere più precisi.
Consideriamo una prova casuale e fissiamo l'attenzione su un evento E con probabilità p(E)=p
Immaginiamo di ripetere la prova casuale n volte in modo indipendente, cioè sempre nelle
stesse condizioni. La variabile casuale binomiale descrive il numero di volte che E si può
verificare nelle n prove.
Qual è la distribuzione di probabilità di una variabile casuale binomiale B n , p ?
P( Bn , p=k )=( n ) p k (1− p)n−k =( n ) p k q n−k dove q=1-p
k
k
Come si calcolano gli indici di una variabile casuale binomiale?
M (X )=n⋅p
•
•
σ( x )=√ n⋅p⋅q
Con quale altro nome viene chimata una variabile casuale binomiale?
Variabile casuale delle prove ripetute
Si lancia una moneta 100 volte. Qual è la probabilità che Testa esca almeno una volta?
Siamo di fronte ad una variabile casuale binomiale perche si ripete il lancio n=100 volte e si
chiede la probabilità che l'evento T capiti 1 o 2 o 3 o ….... o 100.
Quindi, indicato con X il numero di Teste si chiede p(X=1 o X=2 o …. o X=100).
p(X=1 o X=2 o …... o X=100)=
= p( X=1∨ X=2∨…...∨X=100)=
= p( X=1)+ p( X=2)+… ..+ p (X =100)¿=
=( 100 )0.51 0.5 99+( 100 ) 0.52 0.599+ …+( 100 )0.5 100 0.50
1
2
100
Conviene chiaramente passare all'evento contrario p(almeno una testa) = 1-p(nessuna testa)
1
=1−P( X=0)=1−( 100 )0.5 0 0.5100 =1−0.5100 =1− 100 ≈1
0
2
Si lancia una moneta 100 volte. Qual è la probabilità che Testa esca al più una volta?
Siamo di fronte ad una variabile casuale binomiale perche si ripete il lancio n=100 volte e si
chiede la probabilità che l'evento T capiti 0 o 1.
Quindi, indicato con X il numero di Teste si chiede P(X=0 o X=1).
p( X =0 o X =1)=
= p( X=0∨X=1)=
= p( X=0)+ p(X =1)=
=( 10 ) 0.50 0.510+( 10 ) 0.51 0.59=
0
1
1
1
11
=
+10⋅
=
1024
1024 1024
Cosa si intende per variabile casuale normale di parametri m e σ , N (m , σ) ?
E' una variabile casuale che assume valori sull'intera retta reale ℜ=(−∞ ,+∞) e la cui
1 x−m
− ( σ )
1
e 2
funzione di densità di probabilità è data da f (x)=
dove m e σ sono due
σ √2 π
parametri che coincidono con il valor medio e la deviazione standard della variabile casuale.
2
Cioè
•
+∞
M (X )=∫ x⋅f (x) dx=m
−∞
+∞
•
σ( X )=
√ ∫ ( x−m) ⋅f (x) dx=σ
2
−∞
Quali caratteristiche ha il grafico della funzione di densità di probabilità di una normale?
Il grafico è detto grafico a campana. Esso ha un asse di simmetria nella retta x=m. Ha un
massimo in x=m, è crescente per x<m e decrescente per x>m e presenta due flessi in x
x 1=m−σ e x 2=m+σ . Più grande è σ più la curva è schiacciata sull'asse delle x
Quale caratteristica “negativa” ha la funzione di densità di probabilità di una normale?
Che non ammette primitiva. L'integrale definito deve essere calcolato con metodi numerici
Cosa si intende per variabile casuale normale standardizzata?
Si intende una variabile casuale normale con parametri m=0 e σ=1 , cioè
N (m=0, σ=1) . In generale una variabile N(0,1) si indica con la lettera Z
Cos'e il procedimento di standardizzazione?
Si chiama standardizzazione la mappatura (o trasformazione) di un valore x di una
N (m , σ) in un valore z di una N(0,1)
Come avviene la mappatura?
Utilizzando la formula
x −m
z= σ
A cosa serve il procedimento di standardizzazione?
Serve a calcolare la probabilità che una N (m , σ) assuma valori all'interno di un intervallo
[x 1 , x 2 ] . Se z 1 e z 2 sono i valori trasformati, si ha che
x2
z2
p(x 1< X < x 2)=∫ f (x )dx=∫ f ∗(z ) dx=F∗ (z 2)−F ∗(z 1 ) dove con f ∗ ( z) e con
x1
F∗ ( z) la
z1
funzione di ripartizione della variabile casuale normale standardizzata
Cosa fornisce la tavola della N(0,1) che utilizziamo?
Fornisce la funzione di ripartizione della Z=N(0,1) tabulata per i valori più utilizzati
La tavola fornisce la funzione di ripartizione solo per valori di z≥0 . Come la utilizzo se
Sfrutto la simmetria della curva normale. Quindi F∗ (−z )=1−F ∗(z )
z< 0 ?
Utilizza le tavole della normale per calcolare la probabilità che una X =N (m=10, σ=2) assuma
un valore compreso tra x 1=12 e x 2=14
Standardizziamo i due valori:
12−10
z 1=
=1
2
14−10
z 2=
=2
2
Allora p(x 1< X < x 2)= p( z1 < Z< z2 )=F∗ (z 2)−F∗ (z 1)=0,9772−0,8413=0,1359
Utilizza le tavole per calcolare la probabilità che una X= N (m , σ) assuma valore compreso tra
x 1=m−1.96 σ e x 2=m+1.96 σ
Standardizziamo i due valori
x −m (m−1.96 σ)−m −1.96 σ
z 1= 1 σ =
= σ =−1.96
σ
x 2−m ( m+1.96 σ)−m 1.96 σ
z 2= σ =
= σ =1.96
σ
Quindi
p(m−1.96 σ <X <m+1.96 σ)= p (−1.96 <Z <1.96)=F ∗(1.96) – F∗ (−1.96)=0.9750−(1−0.9750)=0.95
Utilizza le tavole per calcolare la probabilità che una X= N (m , σ) assuma valore compreso tra
x 1=m−3 σ e x 2=m+3 σ
Standardizziamo i due valori
x −m (m−3 σ)−m −3 σ
z 1= 1 σ =
= σ =−3
σ
x 2−m ( m+3 σ)−m 3 σ
z 2= σ =
= σ =3
σ
Quindi
p(m−3 σ <X <m+3 σ)= p(−3< Z <3)=F∗ (3)– F∗ (−3)=0.9987−(1−0.9987)=0.9974
IMPORTANTE PER TOPOGRAFIA!!!!!!
Cosa mi dice quest'ultimo risultato?
Quest'ultimo risultato mi dice che i valori esterni all'intervallo (m−3 σ , m+3 σ) accadono
con probabilità 1-0.994=0,006, cioè molto, molto piccola. Quindi sono trascurabili.
Questo risultato è utile nella teoria degli errori di misurazione (vedi argomento di Topografia
in terza o quarta). Le misure esterne a tale intervallo, essendo molto poco probabili, vengono
classificate come misure affette da errore non casuale ma sistematico e vengono eliminate nel
calcolo della media delle misure.
Che relazione sussiste tra la variabile casuale discreta binomiale e variabile casuale continua
normale?
Sussiste la seguente relazione:
Una variabile casuale binomiale B_{n,p}, se n è grande può essere approssimata con una
variabile casuale normale N (m , σ) con m=n⋅p e σ=√ n⋅p⋅q
e quindi p( x 1< B< x 2 )=F( x 2 )−F( x1 ) dove F è la funzione di ripartizione della variabile
casuale normale
Fai un esempio
Si lancia un dado 900 volte. Qual è la probabilità che il 6 esca almeno 180 volte
1
Siamo di fronte ad una Binomiale con n=900 (molto grande) e p=
6
Detto X il numero di volte in cui esce il 6, il problema di chiede p(X ≥180)
900⋅1
=150 e deviazione
Siccome n è grande, utilizziamo la normale di parametri m=
6
1 5
standard σ= 900⋅ ⋅ =11.18
6 6
√
Standardizziamo x 1=180 , z 1=
Pertanto
180−150
=2.68
11.18
p( X >180)= p(Z >2.68)= p(2.68< Z <+∞)=1−F∗ (2,68)=1−0.9963=0.0037
