PREPARAZIONE ALLA PROVA ORALE
INTEGRALI INDEFINITI
Cosa si intende per primitiva funzione f(x)?
Risposta: una funzione F(x) tale che F'(x)=f(x)
Cosa si intende per integrale indefinito di una funzione f(x)?
Risposta: l'insieme di tutte le primitive di f(x)
Quale simbolo si utilizza per l'insieme di tutte le primitive di una funzione f(x)?
Risposta: ∫ f (x) dx
Come si chiama la funzione f(x) all'interno del simbolo di integrazione?
Risposta: funzione integranda
Che cosa si intende con il simbolo dx?
Risposta: dx si chiama differenziale di x
Come si calcola il differenziale di una funzione (Utile nel metodo di sostituzione)
Risposta: df(x) = f'(x)dx.
Esempio d (x 3)=3 x 2 dx
Cosa significa che l'integrale indefinito è un operatore lineare?
Risposta: che gode di due proprietà:
∫ f (x)+ g(x ) dx=∫ f (x ) dx+∫ g(x ) dx
∫ c⋅f ( x)dx=c ∫ f ( x)dx
•
•
Applicare le proprietà di linearità per calcolare
Risposta:
•
∫ 2 x5 dx +∫ 3⋅e x dx (1 proprietà)
2∫ x 5 dx+ 3∫ e x dx (2 proprietà)
•
6
x
• L'integrale vale G(x)=
+3 e x + c
3
∫ 2 x5 +3⋅e x dx
6
x
+3 e x + c è il risultato di un'integrazione discutere le componenti dell'espressione
3
x6
x
Risposta:
+3 e è una primitiva particolare della funzione integranda mentre c è una
3
costante numerica arbitraria. L'introduzione di c si deve al fatto che tutte le primitive
differiscono tra loro per una costante.
Se
Dopo aver calcolato l'integrale indefinito di una funzione, come posso controllare la correttezza del
calcolo?
Risposta: facendo la derivata che deve essere uguale alla funzione integranda
Che relazione sussiste tra due primitive F(x) e G(x) di una funzione f(x)?
Risposta: Tutte le primitive differiscono per una costante. Cioè F(x) – G(x) = c
Integrare per parti
Risposta: facile
∫ ln( x) dx
Integrare per sostituzione
Risposta: facile
∫ (2 x +3)5 dx
Integrare col metodo dei coefficienti indeterminati
1
∫ x2 −3 x +2 dx
Risposta: facile
Sia y = F(x) +c l'integrale indefinito di una funzione f(x). Come determino c di modo che la curva
nel piano cartesiano passi per il punto (x 0 ; y 0 ) ?
Risposta: sostituisco le coordinate del punto ottenento y 0=F (x 0)+c e risolvendo poi
l'equazione c=F ( x 0)− y 0
Nel simbolo
Risposta: 1
∫ dx
quanto vale la funzione integranda?
INTEGRALI DEFINITI
Cosa si intende per rettangoloide (sottografico) di una funzione?
Risposta: la parte di piano compresa tra la curva e l'asse delle x
Come si costruisce la somma integrale superiore e inferiore di una funzione f ( x) definita in un
intervallo [a,b]?
b−a
Risposta: si suddivide l'intervallo [a,b] in n sotto-intervalli di ampiezza
. Per ogni
n
sotto-intervallo si costruisce un rettangolo con altezza uguale al valore massimo di f nel sottointervallo e il rettangolo con altezza uguale al valore minimo di f nel sotto-intervallo. L'unione
dei rettangoli superiori (e l'unione dei rettangoli inferiori) viene chiamato plurirettangolo La
somma integrale superiore non è altro che l'area del plurirettangolo (cioè la somma delle aree
dei singoli rettangoli) superiore e si indica con S n . La somma integrale inferiore non è altro
che l'area del plurirettangolo (cioè la somma dell'area dei rettangoli) inferiore e si indica con
sn .
Che relazione c'è tra somma integrale superiore e inferiore di una funzione definita in un intervallo
[a,b]?
Risposta: s n≤Sn
Cosa si intende con il termine funzione continua ?
Risposta: In modo spiccio che il suo grafico non presenta salti. In modo rigoroso che per ogni
x_{0} appartenente al dominio della funzione lim f ( x)=f ( x 0 ) , cioè il limite è uguale al
x→x 0
valore della funzione.
Che relazione c'è tra la somma integrale superiore e inferiore di una funzione continua(!) definita in
un intervallo [a,b]?
Risposta: si ha che:
•
•
s n≤Sn
lim s n= lim S n
n→+∞
n→+∞
Attenzione!
Se la funzione non è continua si possono costruire le somme inferiori e superiori ma non è
detto che i due limiti coincidano. Naturalmente noi troveremo (quasi) sempre funzioni
continue
Cosa si intende per integrale definito di una funzione continua(!) definita in [a,b]?
b
Risposta: l'integrale definito, che si indica con
∫ f (x) dx
, è il limite per n che tende a
a
b
+∞ delle delle due somme integrali. Cioè lim s n= lim S n=∫ f (x) dx
n→+∞
n→+∞
a
Cosa si intende per funzione integrale?
Risposta: si definisce funzione integrale di una funzione continua in [a,b] , e si indica con F(x),
x
l'integrale
∫ f (t) dt
a
Che proprietà ha la funzione integrale?
Risposta: la funzione integrale è una primitiva della funzione integranda. Cioè F'(x)=f(x)
Potresti fare un esempio?
Risposta: Certo! Prendiamo come esempio la funzione f (x)=x 2 definita nell'intervallo [2,3]
x
t3
x3 8
x3 8
La funzione integrale vale F( x )=∫ t 2 dt = [ ]x2= − . Se deriviamo F( x )= −
3
3 3
3 3
2
x 2 , cioè la funzione originaria
otteniamo
Dove utilizzi la funzione integrale in altra parte del programma studiato?
Risposta: nelle variabili casuali continue. La chiamiamo funzione di ripartizione.
Cosa afferma il teorema fondamentale del calcolo integrale (Torricelli-Barrow)?
Risposta: Supponiamo che f sia continua in [a, b] e che F sia la sua funzione integrale.
Valgono le seguenti proprietà:
• F'(x)=f(x)
b
•
∫ f ( x)dx=G(b)−G(a)
Se G(x) è una qualunque primitiva di f(x) allora
a
Qual'è l'importanza del teorema fondamentale del calcolo integrale?
Risposta: il teorema stabilisce una connessione tra integrale definito e integrale indefinito,
molto utile nel calcolo degli integrali definiti e quindi nel calcolo delle aree
b
Sotto quale condizione
∫ f (x)dx
fornisce l'area del rettangoloide (sottografico) di una funzione
a
f(x) definita nell'intervallo [a,b]?
Risposta: ssolo se f ( x)≥0
Attenzione! E' errato dire che l'integrale definito fornisce l'area del rettangoloide di una
funzione
L'integrale definito dà l'area del sottografico della funzione solo se f (x)≥0
Come si calcola l'area del rettangoloide di una funzione negativa in un intervallo [a,b]?
b
Risposta: −∫ f (x) dx oppure
a
| |
b
∫ f (x )dx
a
b
oppure
∫ | f (x)| dx
a
Cosa afferma il teorema della media integrale?
Risposta: leggere il libro
Qual è l'interpretazione geometrica del teorema della media integrale?
Risposta: leggere il libro
Siano f(x) e g(x) due funzioni tale che f (x)≥g( x ) in [a,b]. Come si calcola l'area della regione
piana compresa tra f e g?
b
Risposta:
∫ f ( x)−g ( x)dx
a
E se
g( x)≥f (x) ?
b
Risposta:
∫ g(x )– f (x )dx
a
E se le curve delle due funzioni f(x) e g(x) in intersecano in uno o più punti di [a,b]?
Risposta: Occorre suddividere l'intervallo di integrazione in sottointervalli in ognuno dei
quali sia
f ( x)≥g(x ) oppure g( x)≥f (x )
2
Calcolare
+1
dx
∫ xx2 +2
x
1
Risposta:
ln 8−ln3
2
Disegnare la retta y=x e la parabola y=x 2 e determinare l'area delle regioni piane comprese tra
le due curve nell'intervallo 0≤x≤2 (Attenzione che le due curve si intersecano in x=1)
Risposta: facile
INTEGRAZIONE NUMERICA
Cosa significa integrazione numerica e quando si applica?
Risposta: (da Wikipedia) l'integrazione numerica, nota anche come quadratura numerica,
consiste in una serie di metodi che stimano il valore di un integrale definito senza dover
calcolare la primitiva della funzione integranda.
Come si integra numericamente con il metodo dei rettangoli?
Risposta: faremo un esercizio di ripasso in classe
E con il metodo dei trapezi?
Risposta: faremo un esercizio di ripasso in classe
Come si determina il volume del solido di rotazione del grafico di una funzione
y=f (x) , f ( x)≥0 , definita in [a;b] attorno all'asse delle x?
b
2
Risposta: Utilizzando la formula V =π∫ f ( x)dx
a
Come si ricava tale formula
Risposta: leggere il libro
Come si determina il volume del solido di rotazione del grafico di una funzione y
y=f (x) , f ( x)≥0 attorno all'asse delle y?
Risposta: si deve ricavare x=g(y) e poi integrare lungo l'asse delle y con la formula
d
V =∫ g2 ( y ) dy
c
Come si determina la lunghezza di un arco di curva y=f(x) con
b
Risposta:
L=∫ √ 1+[ f '( x ) ]2
a
x∈[ a ,b ] ?
