Equazioni esponenziali e logaritmi

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Pasquale Terrecuso
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equazioni esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
casi particolari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
i logaritmi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
risoluzione grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
eq. in forma canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
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Equazioni esponenziali
Un equazione si dice esponenziale quando l’incognita x compare ad esponente di una
potenza. Per esempio
2x = 8
In questo caso è anche semplice ricavare la soluzione. Infatti, essendo il termine noto 8
proprio una potenza di 2, si ha:
2x = 23
Da cui
x = 3,
poichè due potenze uguali aventi la stessa base devono avere anche lo stesso esponente.
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Equazioni esponenziali
In generale il caso più semplice di equazione esponenziale, detta equazione esponenziale
elementare è della forma:
ax = b
Per quanto precedentemente detto questa equazione ammette soluzione solo se
a>0 e
b > 0.
Infatti ax ha significato nell’insieme dei numeri reali solo se a > 0, ed in questa ipotesi
dovendo essere la potenza ax positiva lo dovrà essere anche b.
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Casi particolari: a = 0
Osserviamo che nel caso a = 0, l’equazione diventa
0x = b.
Allora nell’ipotesi x > 0
se b = 0 si avrà
0x = 0
verificata per qualunque valore reale attribuito alla x > 0.
Se, invece, b 6= 0 l’equazione sarà impossibile.
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Casi particolari: a = 0
0x = b.
Nell’ipotesi
a=0∧x=0
⇒
00
forma indeterminata.
a=0∧x<0
⇒
0−|x|
forma impossibile.
00
e
0numero negativo
risultano non definiti e quindi privi di significato.
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Casi particolari: a = 1
Osserviamo che nel caso a = 1, l’equazione diventa
1x = b.
Se b = 1 si avrà
1x = 1
verificata ∀x ∈ R.
Se, invece, b 6= 1
l’equazione sarà impossibile.
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Equazioni esponenziali
A parte questi casi particolari si dimostra che dati due numeri reali positivi a e b, con a 6= 1
l’equazione
ax = b
ammette una ed una sola soluzione. Per esempio:
3x = 9
1 x
2
1 x
3
=9
=
1
16
x = 2 poichè
ha soluzione
x = 4 poichè
ha soluzione
ha sol. x = −2 poichè
9=
1
9−1
=
9 = 32
1
1
= 4
16
2
1 −1
1 −2
1
=
=
32
3−2
3
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Nell’ipotesi in cui a ≻ 0, non abbiamo problemi a calcolare b tale che
b = ax
con
x∈R
Sappiamo anche che il risultato di questa elevazione è positivo, cioè
b ≻ 0.
Ora poniamo l’attenzione sull’esponente x, supponiamo che esso non sia noto.
In altre parole noti a e b mi chiedo quanto vale x affinché ax = b?
Per conoscere il valore di x bisogna risolvere quella che abbiamo definito un’equazione
esponenziale elementare.
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Abbiamo risolto quest’equazione nel caso in cui b possa essere scritta come potenza di a
(b = ax ).
Esempio:
2x = 16
poiché
16 = 24
⇒
x=4
Ma come risolvere l’equazione 2x = 3 ?
In altre parole è possibile scrivere 3 come una potenza di base 2?
In generale, dunque, ci chiediamo dato un numero qualunque è possibile esprimerlo come
potenza di base un altro numero arbitrario da me scelto?
E’ possibile se ricorriamo al concetto di logaritmo.
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Il logaritmo
Si definisce logaritmo in base a positiva e diversa da 1 (a ≻ 0, a 6= 1) di un numero b
positivo l’esponente da dare ad a per ottenere b e lo si indica con la scrittura
loga b.
- a e b sono detti rispettivamente base e argomento del logaritmo.
Dunque la scrittura loga b è equivalente alla scrittura
aloga b = b.
In altre parole, per definizione, soddisfatte le ipotesi menzionate il loga b è la soluzione
dell’equazione ax = b.
Cioè
x = loga b
⇔
ax = b
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ax = b
⇔
x = loga b
Per esempio, il log2 8 si trova risolvendo l’equazione esponenziale
2x = 8,
quindi essendo x = 3 si ha
log2 8 = 3
Infatti l’esponente da dare a 2 per ottenere 8 è proprio 3.
Quindi in questi caso posso immaginare 8 scritto come potenza di 2:
8 = 2log2 8 ,
relazione immediata da verificare. Allo stesso modo potrei scrivere 8 come potenza di 5, per
esempio,
8 = 5log5 8
e così via per un qualunque numero reale positivo.
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Scrivere 3 come potenza di 7 e di...
Il problema è equivalente alla seguente equazione esponenziale:
7x = 3
la cui soluzione è
x = log7 3
per definizione di logaritmo. Quindi 3 può essere scritto come potenza in base 7 nel seguente modo:
3 = 7log7 3
Analogamente valgono le seguenti uguaglianze che potrete verificare con una calcolatrice scientifica
:
3 = 10log10 3
5 = 10log10 5
3 = eloge 3
5 = eln 5
3 = π logπ 3
5 = 43ln43 5
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Relazione ↔ Equazioni
Data la relazione
c = ab
si possono avere tre differenti tipologie di equazioni a seconda se l’incognita sia a, b o c.
a = x equazione irrazionale
b = x equazione esponenziale
c = x caso banale
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Equazione esponenziale elementare
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Equazioni esponenziali elementari: risoluzione grafica


y = ax



y=b



a ∈ R+ − {1}
0
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Equazioni esponenziali in forma canonica
4x = 8
3x = 32x−1
af (x) = bf (x) ⇒
4x
1
= 1000 · 101−x
10
f (x) = g(x)
5x
2 −x
= 25
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Equazioni esponenziali
af (x) = ag(x)
⇒
f (x) = 0 per
a > 0, b > 0, a 6= b
2x+3 = 64 · 3x−3
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