Equazioni esponenziali e logaritmi c Copyright 2008 Pasquale Terrecuso Tutti i diritti sono riservati. Equazioni esponenziali e logaritmi 2 equazioni esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 casi particolari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 i logaritmi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 risoluzione grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 eq. in forma canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 Equazioni esponenziali e logaritmi Equazioni esponenziali Un equazione si dice esponenziale quando l’incognita x compare ad esponente di una potenza. Per esempio 2x = 8 In questo caso è anche semplice ricavare la soluzione. Infatti, essendo il termine noto 8 proprio una potenza di 2, si ha: 2x = 23 Da cui x = 3, poichè due potenze uguali aventi la stessa base devono avere anche lo stesso esponente. Prof. P. Terrecuso – Equazioni esponenziali e logaritmi Equazioni esponenziali In generale il caso più semplice di equazione esponenziale, detta equazione esponenziale elementare è della forma: ax = b Per quanto precedentemente detto questa equazione ammette soluzione solo se a>0 e b > 0. Infatti ax ha significato nell’insieme dei numeri reali solo se a > 0, ed in questa ipotesi dovendo essere la potenza ax positiva lo dovrà essere anche b. Prof. P. Terrecuso – Equazioni esponenziali e logaritmi Casi particolari: a = 0 Osserviamo che nel caso a = 0, l’equazione diventa 0x = b. Allora nell’ipotesi x > 0 se b = 0 si avrà 0x = 0 verificata per qualunque valore reale attribuito alla x > 0. Se, invece, b 6= 0 l’equazione sarà impossibile. Prof. P. Terrecuso – Equazioni esponenziali e logaritmi 2 Casi particolari: a = 0 0x = b. Nell’ipotesi a=0∧x=0 ⇒ 00 forma indeterminata. a=0∧x<0 ⇒ 0−|x| forma impossibile. 00 e 0numero negativo risultano non definiti e quindi privi di significato. Prof. P. Terrecuso – Equazioni esponenziali e logaritmi Casi particolari: a = 1 Osserviamo che nel caso a = 1, l’equazione diventa 1x = b. Se b = 1 si avrà 1x = 1 verificata ∀x ∈ R. Se, invece, b 6= 1 l’equazione sarà impossibile. Prof. P. Terrecuso – Equazioni esponenziali e logaritmi 3 Equazioni esponenziali A parte questi casi particolari si dimostra che dati due numeri reali positivi a e b, con a 6= 1 l’equazione ax = b ammette una ed una sola soluzione. Per esempio: 3x = 9 1 x 2 1 x 3 =9 = 1 16 x = 2 poichè ha soluzione x = 4 poichè ha soluzione ha sol. x = −2 poichè 9= 1 9−1 = 9 = 32 1 1 = 4 16 2 1 −1 1 −2 1 = = 32 3−2 3 Prof. P. Terrecuso – Equazioni esponenziali e logaritmi Equazioni esponenziali e logaritmi Nell’ipotesi in cui a ≻ 0, non abbiamo problemi a calcolare b tale che b = ax con x∈R Sappiamo anche che il risultato di questa elevazione è positivo, cioè b ≻ 0. Ora poniamo l’attenzione sull’esponente x, supponiamo che esso non sia noto. In altre parole noti a e b mi chiedo quanto vale x affinché ax = b? Per conoscere il valore di x bisogna risolvere quella che abbiamo definito un’equazione esponenziale elementare. Prof. P. Terrecuso – Equazioni esponenziali e logaritmi 4 Equazioni esponenziali e logaritmi Abbiamo risolto quest’equazione nel caso in cui b possa essere scritta come potenza di a (b = ax ). Esempio: 2x = 16 poiché 16 = 24 ⇒ x=4 Ma come risolvere l’equazione 2x = 3 ? In altre parole è possibile scrivere 3 come una potenza di base 2? In generale, dunque, ci chiediamo dato un numero qualunque è possibile esprimerlo come potenza di base un altro numero arbitrario da me scelto? E’ possibile se ricorriamo al concetto di logaritmo. Prof. P. Terrecuso – Equazioni esponenziali e logaritmi Il logaritmo Si definisce logaritmo in base a positiva e diversa da 1 (a ≻ 0, a 6= 1) di un numero b positivo l’esponente da dare ad a per ottenere b e lo si indica con la scrittura loga b. - a e b sono detti rispettivamente base e argomento del logaritmo. Dunque la scrittura loga b è equivalente alla scrittura aloga b = b. In altre parole, per definizione, soddisfatte le ipotesi menzionate il loga b è la soluzione dell’equazione ax = b. Cioè x = loga b ⇔ ax = b Prof. P. Terrecuso – Equazioni esponenziali e logaritmi 5 Equazioni esponenziali e logaritmi ax = b ⇔ x = loga b Per esempio, il log2 8 si trova risolvendo l’equazione esponenziale 2x = 8, quindi essendo x = 3 si ha log2 8 = 3 Infatti l’esponente da dare a 2 per ottenere 8 è proprio 3. Quindi in questi caso posso immaginare 8 scritto come potenza di 2: 8 = 2log2 8 , relazione immediata da verificare. Allo stesso modo potrei scrivere 8 come potenza di 5, per esempio, 8 = 5log5 8 e così via per un qualunque numero reale positivo. Prof. P. Terrecuso – Equazioni esponenziali e logaritmi Scrivere 3 come potenza di 7 e di... Il problema è equivalente alla seguente equazione esponenziale: 7x = 3 la cui soluzione è x = log7 3 per definizione di logaritmo. Quindi 3 può essere scritto come potenza in base 7 nel seguente modo: 3 = 7log7 3 Analogamente valgono le seguenti uguaglianze che potrete verificare con una calcolatrice scientifica : 3 = 10log10 3 5 = 10log10 5 3 = eloge 3 5 = eln 5 3 = π logπ 3 5 = 43ln43 5 Prof. P. Terrecuso – Equazioni esponenziali e logaritmi 6 Relazione ↔ Equazioni Data la relazione c = ab si possono avere tre differenti tipologie di equazioni a seconda se l’incognita sia a, b o c. a = x equazione irrazionale b = x equazione esponenziale c = x caso banale Prof. P. Terrecuso – Equazioni esponenziali e logaritmi Equazione esponenziale elementare Prof. P. Terrecuso – Equazioni esponenziali e logaritmi Equazioni esponenziali elementari: risoluzione grafica y = ax y=b a ∈ R+ − {1} 0 Prof. P. Terrecuso – Equazioni esponenziali e logaritmi Equazioni esponenziali in forma canonica 4x = 8 3x = 32x−1 af (x) = bf (x) ⇒ 4x 1 = 1000 · 101−x 10 f (x) = g(x) 5x 2 −x = 25 Prof. P. Terrecuso – Equazioni esponenziali e logaritmi Equazioni esponenziali af (x) = ag(x) ⇒ f (x) = 0 per a > 0, b > 0, a 6= b 2x+3 = 64 · 3x−3 Prof. P. Terrecuso – Equazioni esponenziali e logaritmi 7