Spazi completamente regolari e compattificazione di

Università degli Studi di Firenze
Facoltà di Scienze
C.d.L. in Matematica
Tesi di Laurea Triennale
Anno Accademico 2008-2009
Spazi completamente regolari
e compattificazione di
Stone - ƒech
Candidato:
Fulvio Gesmundo
Relatore:
Prof. Donato Pertici
Università degli Studi di Firenze
Facoltà di Scienze
C.d.L. in Matematica
Indice
1 Assiomi di separazione
2
1.1
Spazi completamente regolari
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Il Teorema di Immersione
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2 La compatticazione di Stone - ƒech
6
2.1
Estensione di funzioni continue
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
La caratterizzazione della compatticazione di Stone - ƒech . . . . . . . . . .
8
3 Compattezza e compattezza per successioni
3.1
La compatticazione di uno spazio metrico non compatto
3.2
Gli spazi
3.3
Il Cavatappi di Tychono
[0, Ω[
e
[0, Ω]
9
. . . . . . . . . . .
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Sommario
In questo lavoro si vuole dare una presentazione di alcune proprietà degli Spazi topologici
completamente regolari. In particolare mostreremo che essere completamente regolare è una
condizione necessaria e suciente per ammettere una compatticazione di Stone-ƒech e ci
soermeremo su alcune proprietà di questa compatticazione. Inne con i teoremi dimostrati
forniremo alcuni esempi notevoli che mostrano come i concetti di compattezza e compattezza
per successioni siano tra loro indipendenti. Il lavoro si ispira in larga misura a [CTV] e [T],
con importanti integrazioni e controesempi tratti da [D], [StSe] e [W].
1
1 Assiomi di separazione
Dato uno spazio topologico
X , diamo le seguenti denizioni, note in letteratura come assiomi
di separazione:
Denizione 1.1.
X si dice T0 se:
∀ x, y ∈ X x 6= y, ∃ Ux intorno
x∈
/ Uy .
Denizione 1.2.
X si dice T1 se:
∀ x, y ∈ X x 6= y, ∃ Ux intorno
di x tale che y ∈/ Ux oppure ∃ Uy intorno di y tale che
di x tale che y ∈/ Ux .
Denizione 1.3.
X si dice T2 (o di Hausdor) se:
∀ x, y ∈ X x 6= y, ∃ Ux , Uy rispettivamente intorni
di x e di y tali che Ux ∩ Uy = ∅.
Denizione 1.4. X si dice T3 (o regolare) se:
X è T1 e ∀ F chiuso in X , ∀ x ∈
/ F ∃ UF , Ux rispettivamente intorni di F e di x tali che
UF ∩ Ux = ∅.
Denizione 1.5. X si dice T4 (o normale) se:
X è T1 e ∀ F, G chiusi in X tali che F ∩ G = ∅, ∃ UF , UG rispettivamente intorni di F
e di G tali che UF ∩ UG = ∅.
Direttamente dalle denizioni è possibile fare la seguente banale osservazione:
Osservazione 1.1. Per ogni i = 1, 2, 3, 4 risulta che:
X
è Ti ⇒ X è Ti−1
Ricordiamo inoltre un importante risultato di topologia generale che riguarda gli spazi
normali. Tale risultato è noto come Lemma di Urysohn e per la dimostrazione rimandiamo
a [CTV], pag. 216:
Teorema 1.2 (Lemma di Urysohn). Sia X uno spazio topologico normale. Siano S, T chiusi
disgiunti di X . Allora esiste un'applicazione continua:
f : X −→ I = [0, 1]
tale che:
(1.1)
f (S) = {0}
f (T ) = {1}
1.1 Spazi completamente regolari
Denizione 1.6. Sia X uno spazio topologico. X si dice completamente regolare o di
Tychono, o T3,5 se:
X è T1 e
∀F chiuso in X , ∀x ∈
/ F , ∃ un'applicazione continua:
ϕ : X −→ I = [0, 1]
tale che:
(1.2)
ϕ(x) = 0
ϕ(F ) = 1
È interessante osservare che ogni spazio normale è completamente regolare (come segue
banalmente dal Teorema 1.2) e che ogni spazio completamente regolare è
T3 .
Esistono controesempi che provano che queste implicazioni non si possono invertire. Diamo di seguito un controesempio di spazio completamente regolare che non è normale. Per
un controesempio di spazio regolare che non è completamente regolare rimandiamo al paragrafo 3.3 in quanto per la dimostrazione avremo bisogno di alcuni risultati che forniremo in
seguito.
2
Esempio 1 (Piano di Niemytzki).
Consideriamo il semipiano superiore di
X = {(x, y) ∈
Per ogni
(x, y) ∈ X ,
per ogni
ε>0
R2 :
R2
:
y ≥ 0}.
deniamo:
S((x, y), ε) = {(x0 , y 0 ) ∈
R2
: ||(x0 , y 0 ) − (x, y)|| < ε}.
Deniamo poi:
(
S((x, y), ε)
B((x, y), ε) =
S((x, ε), ε) ∪ {(x, 0)}
È facile osservare che la famiglia
se
se
y>0
y=0
0<ε≤y
ε>0
e se
e
B(x, y) = {B((x, y), ε) : ε > 0} soddisfa gli
(x, y) ∈ X . Quindi
[
B=
B(x, y)
assiomi dei
sistemi fondamentali di intorni aperti di un generico punto
(x,y)∈X
τ
denisce una base di aperti per una topologia
Mostriamo che lo spazio topologico
(X, τ ),
su
X.
chiamato
Banalmente si verica che
τ
è
T1 .
Piano di Niemytzki, non è normale,
ma è completamente regolare.
Dimostrazione.
Siano:
E = {(q, 0) ∈ X : q ∈
F = {(r, 0) ∈ X : r ∈
/
E
e
F
sono chiusi di
X
τ
in quanto
induce la topologia discreta sulla retta
U , V di X tali
Br = B((r, 0), εr ) ⊆ V .
Supponiamo che esistano due aperti
Q ∃ εr > 0
An = {r ∈
/ Q : εr > 1/n}
∀r∈
/
Sia
tale che
,
n∈
N∗
Sia
q∈
RrQ
, cioè tale che
Q ∩ (a, b)
r∈
/Q
, e sia
Per ogni
che
U ∩ V = ∅, E ⊆ U
{y = 0}.
F ⊆V.
e
.
Per il Teorema di Baire (cfr. [CTV], pag. 178)
interni in
Q},
Q}.
∃ a, b ∈
R
Bq = B((q, 0), εq )
N
∃n∈
tale
(a, b) ⊆ An .
tali che
tale che
che
An ∩ (
R r Q)
ha punti
Bq ⊆ U .
risulta che:
Br ⊆ V
)
Bq ⊆ U
=⇒ Br ∩ Bq = ∅ =⇒
=⇒ [εr + εq ]2 ≤ k (r, εr ) − (q, εq ) k2 =⇒ 4 εr εq ≤ (r − q)2 .
D'altra parte risulta evidente che:
q ∈ An ⇒ ∃ r ∈ An
tale che
(r − q)2 <
Da questo è evidente una contraddizione: perciò
Mostriamo ora che
È chiaro che
τ
(X, τ )
(X, τ )
4 εq
< 4εr εq .
n
non può essere normale.
è completamente regolare.
è una topologia più ne della topologia euclidea
Poniamo:
R2 : y > 0},
= {(x, y) ∈ R2 : y = 0}.
H + = {(x, y) ∈
H0
3
E.
Consideriamo
+
F ∩H
F ∪ H0
chiuso di
è un chiuso in
H
+
y0 > 0
X.
Su
H +, τ
induce la topologia euclidea e quindi si ha che
rispetto alla topologia euclidea. Da questo si ricava che anche
è un chiuso euclideo di
Consideriamo
Se
F ⊂X
X.
(x0 , y0 ) ∈ X r F .
si ha che
(x0 , y0 ) ∈ X r (F ∪ H 0 ).
Poiché
(X, E)
è normale, possiamo applicare il
Teorema 1.2 che ci garantisce l'esistenza di una applicazione continua:
f : X −→ [0, 1]
tale che:
f (x0 , y0 ) = {0}
f (F ∪ H 0 ) = {1}
Se invece
∃ε>0
y0 = 0 si ha che (x0 , 0)
S((x0 , ε), ε) ∩ F = ∅.
ammette un intorno contenuto in
X r F,
cioè
tale che
f : X −→ [0, 1] tale che:


∀(x, y) ∈
/ S((x0 , ε), ε) ∪ {(x0 , 0)}
f (x, y) = 1
f lineare da 1 a 0 sulle corde di S((x0 , ε), ε) con secondo


f (x0 , 0) = 0.
Denisco
L'applicazione f considerata è continua e soddisfa (1.2). Dunque
estremo in
(x0 , 0)
(X, τ ) è completamente
regolare.
In seguito ci sarà utile il seguente lemma, di immediata dimostrazione:
Lemma 1.3. Sia X uno spazio completamente regolare. Sia Y
Allora anche Y è completamente regolare.
⊆X
un sottospazio.
1.2 Il Teorema di Immersione
Dimostriamo a questo punto due importanti risultati che caratterizzano gli spazi completamente regolari. Diamo prima una denizione:
Denizione 1.7. Sia
di dimensione A se :
A
X=
un insieme qualsiasi. Si dice che uno spazio X è un cubo reale
Y
Ia = I A ,
dove, ∀ a ∈ A, Ia = [0, 1]
a∈A
Come topologia sul cubo reale si considera la topologia prodotto denita dalla topologia
euclidea sull'intervallo
I = [0, 1].
Dai teoremi sulla compattezza segue il seguente lemma:
Lemma 1.4. Sia I A un cubo reale di dimensione A. Allora I A è normale.
Dimostrazione.
Il prodotto di spazi di Hausdor è uno spazio di Hausdor (cfr.
[CTV],
pag. 9). Per il Teorema di Tychono (cfr. [CTV], pag. 145) il prodotto di spazi compatti è
uno spazio compatto.
Segue quindi che
IA
è compatto e
T2 .
Quindi
IA
è normale (cfr. [CTV], pag. 140).
Diamo ora una prima caratterizzazione degli spazi completamente regolari.
4
Teorema 1.5 (Teorema di
mazioni sono equivalenti:
Immersione)
. Sia
uno spazio topologico. Le seguenti aer-
X
(i) X è completamente regolare.
(ii) X è omeomorfo a un sottospazio di un cubo reale.
Dimostrazione. (ii) ⇒ (i)
Segue dal Lemma 1.4 e dal Lemma 1.3.
(i) ⇒ (ii) Sia X completamente regolare.
Siano C(X, I) = {f : X −→ I : f continua} e A un insieme in biezione con C(X, I). Indicheremo con a un elemento generico dell'insieme A e con fa la corrispondente applicazione
di C(X, I).
Deniamo:
f : X −→ I A
(1.3)
x 7−→ (fa (x))a∈A
*
f
è continua per come è denita la topologia prodotto.
*
f
è iniettiva infatti:
∀x, y ∈ X, x 6= y, {x}, {y}
sono chiusi disgiunti di
soddisfa le Proprietà (1.2) per i chiusi
quindi
*
f
X.
∃ a ∈ A tale che fa
1 = fa (x) 6= fa (y) = 0, e
Quindi
Risulterà
f (x) 6= f (y).
è chiusa sulla sua immagine infatti:
siano
F
{x}, {y}.
F ⊆X
è chiuso e
un chiuso,
x∈
/ F,
z ∈ (f (X) r f (F ))
quindi
∃a∈A
e
tale che
x ∈ f −1 (z).
fa
soddisfa (1.2).
A
pa : I −→ Ia la proiezione canonica sul fattore Ia . Si ha che pa (z) = 0 e quindi
[0, 1/2) è un intorno aperto di z in I A e ovviamente Uz ∩ p−1
Uz = p−1
a (fa (F )) = ∅
a
perché fa (F ) = {1}.
−1
Chiaramente fa = pa ◦ f e quindi pa (fa (F )) ⊇ f (F ). Per quanto appena visto
∀ z ∈ f (X) r f (F ), ∃ Uz intorno aperto di z tale che Uz ∩ p−1
a (fa (F )) = ∅ e perciò
Uz ∩ f (F ) = ∅ .
Sia
Segue che
f
f (X) r f (F ) è un aperto di f (X).
Quindi
f (F ) è un chiuso di f (X).
Perciò
è chiusa sulla sua immagine.
Concludendo,
f
è un omeomorsmo tra
X
e
f (X) ⊆ I A
e quindi la tesi è dimostrata.
Con questo teorema si è dimostrato quindi che gli spazi completamente regolari sono
tutti e soli quelli che possono essere immersi in un cubo reale. Dimostriamo ora un altro
risultato che dà un'altra caratterizzazione degli spazi completamente regolari.
Teorema 1.6. Sia X uno spazio topologico T1 . Le seguenti aermazioni sono equivalenti:
(i) X è completamente regolare.
(ii) Esiste una famiglia di applicazioni
F = {fa : X −→
R : a ∈ A} ⊆ C(X, R)
tale che ∀ F chiuso di X, ∀ x ∈/ F, ∃ a ∈ A tale che fa (x) ∈/ fa (F )
Dimostrazione. (i) ⇒ (ii)
Consideriamo
F = C(X, I).
Direttamente dalla denizione di spazio completamente regolare si ha la tesi in quanto
vale la proprietà (1.2)
5
R
(ii) ⇒ (i) Sia h : −→ (0, 1) un omeomorsmo della retta reale. Per ogni a ∈ A deniamo
ga = h ◦ fa . Ovviamente la famiglia G = {ga = h ◦ fa : a ∈ A} soddisfa le stesse ipotesi di
F . Deniamo un'applicazione:
g : X −→ I A
x 7−→ (ga (x))a∈A
In modo analogo a quanto fatto per il Teorema di Immersione 1.5 si dimostra che
un'applicazione continua, iniettiva e chiusa sulla sua immagine.
smo tra
X
e
Immersione si
g(X) ⊆ I A . Questo conclude la dimostrazione
ha che X è completamente regolare.
g
è
Dunque è un omeomor-
in quanto per il Teorema di
2 La compatticazione di Stone - ƒech
Diamo alcune denizioni preliminari, per introdurre il concetto di compatticazione.
Denizione 2.1. Sia X ∗ uno spazio topologico compatto. Sia X ⊆ X ∗ tale che X è denso
in X ∗ . Allora X ∗ si dice una compattificazione di X .
Denizione 2.2. Sia X uno spazio topologico. Sia Y uno spazio topologico compatto e T2 .
Sia h : X −→ Y un'applicazione continua tale che h è un omeomorsmo tra X e h(X) e
h(X) è denso in Y . Allora la coppia (Y, h) si dice una T2 − compattificazione di X .
Denizione 2.3. Sia X uno spazio completamente regolare. Sia h : X −→ I A l'applicazione
denita nel Teorema di Immersione 1.5. Sia X̌ = h(X) la chiusura di h(X) in I A . La coppia
(X̌, h) si chiama la compattificazione di Stone − Čech di X .
Osservazione 2.1. È chiaro che ogni compatticazione di Stone-ƒech è una
T2 -compatticazione.
2.1 Estensione di funzioni continue
Dimostreremo in questo paragrafo alcune importanti proprietà della compatticazione di
Stone-ƒech.
e
X0
Infatti osserveremo che, dati due spazi topologici completamente regolari
X
e un'applicazione continua tra i due spazi, è sempre possibile estendere l'applicazione
alle compatticazioni di Stone-ƒech. Questa proprietà non è aatto banale e vedremo in
seguito che è proprio caratteristica della compatticazione di Stone-ƒech.
Cominciamo dimostrando il seguente Lemma:
Lemma 2.2 (Estensione al cubo reale). Siano X e X 0 due spazi topologici completamente
regolari. Siano h e h0 le applicazioni denite dal Teorema di Immersione 1.5.
Sia g : X −→ X 0 un'applicazione continua.
Allora esiste un'applicazione continua:
0
g ∗ : I A −→ I A ,
tale che:
(2.1)
∗
0
g ◦ h = h ◦ g.
Dimostrazione.
A
e
A
0
ha
Osserviamo che
a e a0 elementi di due insiemi
0
C(X, I) e C(X , I) i cui elementi corrispondenti sono
h0a0 rispettivamente.
∀ a0 ∈ A0 l'applicazione h0a0 ◦ g è continua da X in I . Quindi ∃ a ∈ A tale
in biezione con gli insiemi
denotati con
che
Come nel Teorema di Immersione consideriamo
e
h0a0 ◦ g = ha .
Sarà quindi ben denita la funzione:
γ : A0 −→ A,
a0 7−→ γ(a0 ),
dove
6
hγ(a0 ) = h0a0 ◦ g.
In questo modo possiamo denire l'applicazione
g∗ :
0
g ∗ : I A −→ I A ,
(ua )a∈A 7−→ (uγ(a0 ) )a0 ∈A0 .
Ovviamente
g∗
è continua perché ogni sua componente
g ∗ ◦ h = h0 ◦ g .
canonica sul fattore Ia0
Resta quindi da dimostrare che
Sia
pa0
la proiezione
di
0
IA
ga∗0 : u 7−→ uγ(a0 )
. Per ogni
x∈X
è continua.
e per ogni
a0 ∈ A0
risulterà:
(pa0 ◦ g ∗ ◦ h)(x) = ga∗0 (h(x)) = hγ(a0 ) (x) = (h0a0 ◦ g)(x) = (pa0 ◦ h0 ◦ g)(x)
x∈X
Per l'arbitrarietà di
e di
a 0 ∈ A0
, vale la (2.1) e quindi la tesi.
Sfruttando il Lemma 2.2 appena dimostrato, possiamo dare il seguente risultato:
Corollario 2.3 (Estensione alle compatticazioni di Stone-ƒech). Siano X e X 0 due spazi
topologici completamente regolari. Siano h e h0 le applicazioni denite dal Teorema 1.5.
Sia g : X −→ X 0 un'applicazione continua.
Siano inne X̌ e X̌ 0 le compatticazioni di Stone-ƒech rispettivamente di X e di X 0 .
Allora esiste un'unica applicazione continua:
ǧ : X̌ −→ X̌ 0 ,
tale che:
(2.2)
0
ǧ ◦ h = h ◦ g.
Dimostrazione. Esistenza
Sia
0
g ∗ : I A −→ I A
l'estensione al cubo reale denita nel Lemma
2.2.
g∗
è continua quindi
Perciò
∗
g (X̌) ⊆
ǧ = g|∗X̌ ,
Posto quindi:
Unicità
g ∗ (h(X)) ⊆ g ∗ (h(X)).
⊆ h0 (X 0 ) = X̌ 0 .
g ∗ (h(X))
ǧ
si ha che
Supponiamo che esistano
ǧ
e
X̌ .
e
̌
che è denso in
Quindi
ǧ
è continua e per il Lemma 2.2 risulta
̌
ǧ
che soddisfano la (2.2).
coincidono su tutto
X̌ ,
e
̌
ǧ ◦ h = h0 ◦ g .
h(X)
X̌ 0 è di
coincidono su
in quanto lo spazio
Hausdor (cfr. [CTV], pag. 95).
Corollario 2.4 (Estensione di applicazioni in spazi compatti). Siano X e X 0 due spazi
topologici completamente regolari, con X 0 spazio compatto. Siano h e h0 le applicazioni
denite dal Teorema 1.5. Sia X̌ la compatticazione di Stone-ƒech di X .
Sia g : X −→ X 0 un'applicazione continua.
Allora esiste un'unica applicazione continua:
G : X̌ −→ X 0 ,
tale che:
(2.3)
G ◦ h = g.
Dimostrazione.
È chiaro che
continua. Inoltre
h0 (X 0 ) = X̌ 0 .
0
0
h (X ) ⊆ I
Risulta quindi
È suciente denire
h0 (X 0 )
A0
è compatto, perché immagine di
che è uno spazio
X0 ∼
= X̌ 0 .
G = h0−1 ◦ ǧ .
La
G
T2 .
Quindi
0
0
h (X )
X0
attraverso
è chiuso in
così denita soddisfa la (2.3).
dimostrare con un argomento analogo a quello del Corollario 2.3.
7
I
A0
h0
che è
e perciò
L'unicità si può
2.2 La caratterizzazione della compatticazione di Stone - ƒech
Dimostriamo ora tre risultati che danno delle proprietà peculiari della compatticazione
di Stone-ƒech.
la più grande
Innanzitutto dimostreremo che questa compatticazione è
T2 -compatticazione
ammessa da uno spazio topologico completamente regolare. Dimostr-
eremo poi due teoremi che caratterizzano la compatticazione di Stone-ƒech come l'unica compatticazione in cui funzioni continue possono essere sempre estese (nel senso del
Corollario 2.4).
Teorema 2.5. Sia X uno spazio completamente regolare avente X̌ come compatticazione
di Stone-ƒech. Sia (Y, k) una T2 -compatticazione di X . Allora Y è omeomorfo a un
quoziente di X̌ .
Dimostrazione. k : X −→ Y
è un'applicazione continua e
Y
è uno spazio compatto. Per il
Corollario 2.4:
∃! G : X̌ −→ Y
Osserviamo che
continua tale che
G ◦ h = k,
dove
h
è l'immersione di
G(X̌) = G(h(X)) ⊇ k(X). Poiché k(X) è denso
G(X̌) = Y e quindi G è suriettiva.
in
Y
e
X
in
X̌.
G(X̌)
è compatto e
G
denisce una
quindi chiuso in Y, si ha che
Inoltre
X̌
è compatto e
relazione di equivalenza
T2
∼G
e quindi
su
G
è un'applicazione chiusa.
Perciò
X̌ :
∀ x, y ∈ X̌, x ∼G y ⇔ G(x) = G(y),
e banalmente risulta:.
X̌/∼G ∼
=Y
Seguono ora due teoremi di caratterizzazione della compatticazione di Stone-ƒech.
Teorema 2.6. Sia X uno spazio topologico completamente regolare.
Sia (X̂, k) una T2 -compatticazione di X tale che:
spazio compatto e T2 , ∀ f : X −→ Y continua,
∃ F : X̂ −→ Y continua tale che f = F ◦ k.
∀Y
Allora X̂ ∼
= X̌ , compatticazione di Stone-ƒech di X .
Dimostrazione.
Consideriamo le due immersioni nelle compatticazioni:
h : X −→ X̌
k : X −→ X̂.
Per
l'ipotesi
H : X̂ −→ X̌ .
su
(X̂, k),
Per il Corollario 2.4,
h
k si
si
estende
a
un'applicazione
continua
K : X̌ −→ X̂ .
k(X) con X ):
estende a un'applicazione continua
Ovviamente per come sono denite le estensioni (identicando
h(X)
e
−1
H|X = h ◦ k
K|X = k ◦ h−1 .
(H ◦ K)|X = (K ◦ H)|X = id.
K sono omeomorsmi tra X̌ e X̂ .
Perciò risulta:
che
H
e
E quindi per la densità di
X
in
X̌
e in
X̂
si ha
Notiamo che in questo teorema l'ipotesi è stata usata solo per poter estendere la funzione
di immersione nella compatticazione di Stone-ƒech
X̌
a tutta la
T2 -compatticazione X̂ .
Questo ci suggerisce che il teorema valga anche se indeboliamo l'ipotesi.
8
Teorema 2.7. Sia X uno spazio completamente regolare. Sia (X̂, k) una T2 -compatticazione
di X tale che:
∀ f : X −→ I continua,
∃! F : X̂ −→ I continua tale che f = F ◦ k
Allora X̂ ∼
= X̌ compatticazione di Stone-ƒech di X .
Dimostrazione.
Consideriamo
h,
l'immersione di X nel cubo reale:
h : X −→ I A
x 7−→ (ha (x))a∈A .
ha si estende in modo unico a X̂ e dunque h ammette un'unica
H : X̂ −→ I A . Per la densità di X in X̂ , si ha che H(X̂) ⊆ X̌ = h(X).
D'altra parte per il Corollario 2.4, anche k si estende in modo unico a una applicazione
K : X̌ −→ X̂ . Procedendo con l'argomento usato nel Teorema 2.6, si ha la tesi.
Per ipotesi ognuna della
estensione
3 Compattezza e compattezza per successioni
Vedremo ora alcune applicazioni dei teoremi appena dimostrati sulla compatticazione di
Stone-ƒech. In particolare daremo esempi notevoli che mostrano l'esistenza di spazi compatti che non sono compatti per successioni e spazi compatti per successioni che non sono
compatti.
Ricordiamo innanzitutto la denizione di compattezza per successioni:
Denizione 3.1. Sia X uno spazio topologico. X si dice compatto per successioni se
∀ {an }n∈N ⊆ X successione in X , si ha che {an }n∈N ammette almeno un punto limite in
X.
3.1 La compatticazione di uno spazio metrico non compatto
Dimostriamo che, sotto alcune ipotesi, una compatticazione di Stone-ƒech non è compatta
per successioni. Cominciamo dimostrando il seguente risultato:
Teorema 3.1. Sia X uno spazio normale. Sia (X̌, h) la compatticazione di Stone-ƒech di
X. Sia y ∈ X̌ r h(X).
Allora y non può essere limite di una successione a valori in h(X).
Dimostrazione.
Procediamo
per
assurdo
supponendo
N
che
esista
una
successione
−1
{yn }n∈N ⊆ h(X) tale che yn −→ y . ∀ n ∈
sia xn = h
(yn ). Poiché {yn }n∈N ammette limite in X̌ r h(X), non ha punti di accumulazione in h(X). Perciò neanche {xn }n∈N
ha punti di accumulazione in X e quindi {xn }n∈N è un chiuso di X.
Deniamo: Sp = {x2n }n∈N e Sd = {x2n+1 }n∈N . Ovviamente anche Sp e Sd sono chiusi
di X . X è normale, quindi per il Teorema 1.2 esiste un'applicazione continua:
f : X −→ I,
tale che:
f (Sp ) = 0
e
Per il Corollario 2.4,
f
può essere estesa a
f (Sd ) = 1
X̌
ad una applicazione continua:
F : X̌ −→ I
tale che:
F (y2n ) = 0
e
F (y2n+1 ) = 1
9
Dunque la successione
F (yn ) −→ F (y)
{F (yn )}n∈N
non converge.
D'altra parte per continuità si ha
da cui l'assurdo.
Come Corollario, dimostriamo che la compatticazione di Stone-ƒech di uno spazio
T4
non compatto per successioni non è compatta per successioni:
Corollario 3.2. Sia X uno spazio normale non compatto per successioni. Sia (X̌, h) la sua
compatticazione di Stone-ƒech.
Allora X̌ è uno spazio compatto ma non compatto per successioni.
Dimostrazione.
Per ipotesi
X
Ovviamente
X̌
è uno spazio compatto in quanto chiusura in
è normale, perciò per il Teorema 3.1 i punti di
limiti di successioni in
X̌ r h(X)
IA
di
h(X).
non possono essere
h(X).
{an }n∈N ⊆ X
X . Ovviamente h(X) ∼
= X e quindi {h(an )}n∈N
non ammette estratte convergenti in h(X). D'altra parte non può ammettere estratte che
convergono in X̌ r h(X) per il Teorema 3.1. Perciò la successione {h(an )}n∈N non ammette
estratte convergenti in X̌ e quindi X̌ non è compatto per successioni.
X
non è compatto per successioni:
quindi esiste almeno una successione
che non ammette estratte convergenti in
Questo risultato ci permette di determinare numerosi esempi di spazi compatti ma non
compatti per successioni. Ad esempio lo spazio
Ř
, compatticazione di Stone-ƒech di
R
( , E),
retta reale con la topologia euclidea, non è compatto per successioni per il Corollario 3.2.
Più in generale, deduciamo che la compatticazione di Stone-ƒech di uno spazio metrico
non compatto è sempre compatta ma non compatta per successioni.
3.2 Gli spazi [0, Ω[ e [0, Ω]
Sia
Ω
il primo numero ordinale di cardinalità non numerabile. Consideriamo l'insieme:
[0, Ω] = {α
Deniamo su
[0, Ω]
numero ordinale tale che
0 ≤ α ≤ Ω}
una base di aperti:
B = {[0, α[, α < Ω} ∪ {]α, Ω], α < Ω} ∪ {]α, β[, 0 < α < β < Ω}
Sia
A
la topologia di aperti che ha come base di aperti la famiglia
In questo paragrafo dimostriamo alcune proprietà degli spazi
[0, Ω]
B. A
e
è banalmente
T1 .
[0, Ω[.
Teorema 3.3. Ogni sottoinsieme numerabile di [0, Ω[ ha una limitazione superiore in [0, Ω[.
Dimostrazione.
Sia
Denotiamo
A ⊆ Z (Ω)
[0, α[= Z (α) ∀ α ≤ Ω.
un sottoinsieme numerabile.
Consideriamo:
S=
[
Z (α).
α∈A
Per ogni
Perciò
Inoltre
S
S
α<Ω
si ha che
Z (α)
è al più numerabile.
è unione numerabile di insiemi al più numerabili, e quindi è numerabile.
è unione di ideali di
Z (Ω)
e perciò è un ideale di
Z (Ω)
(cfr. [D], pag. 36).
Perciò:
S = [0, β[,
Da questo la tesi in quanto
∀α∈A
si ha
β < Ω.
α ≤ β.
Diamo ora qualche risultato con cui dimostreremo alcune proprietà di compattezza degli
spazi
[0, Ω]
e
[0, Ω[:
10
Teorema 3.4. Ogni successione crescente in [0, Ω[ ammette un limite in [0, Ω[.
Dimostrazione.
A
Sia
A = {an }n∈N
una successione crescente di
è numerabile, quindi per il Teorema 3.3,
∃ β ∈ Z (Ω)
Z (Ω).
A ⊆ Z (β).
tale che
S = {β ∈ Z (Ω) : A ⊆ Z (β + 1)}. Per il buon ordinamento di Z (Ω) l'insieme S ha un
b Ω. Mostriamo che an −→ b per k → ∞. Consideriamo U intorno aperto di b in
Z (Ω). Senza perdita di generalità possiamo considerare U =]α, β[ con 0 ≤ α < b < β < Ω.
Per come abbiamo denito b si ha che A ⊆ Z (b + 1) e ∀ δ < b si ha che
∃ n∗ tale che δ < an ≤ b, ∀ n > n∗ . In particolare an ∈]α, β[ per n sucientemente
grande, e quindi an −→ b.
Sia
minimo
[0, Ω[
è
è ben ordinato, quindi
A
Come corollario di questo teorema possiamo dimostrare a questo punto che
compatto per successioni:
Corollario 3.5. Lo spazio [0, Ω[ è compatto per successioni.
Dimostrazione.
A = {an }n∈N
Z (Ω), cioè:
Sia
ha un minimo in
una successione in
∃ n1 ∈
Sia
A1 = {an }n>n1
. Anche
N
A1
in
questo
an1 ≤ an ∀ n ∈
ammette un minimo in
∃ n2 > n1
Procedendo
tale che
[0, Ω[. Z (Ω)
tale che
modo
N.
Z (Ω)
e quindi:
an2 ≤ an ∀ n > n1
si
costruisce
una
successione
crescente
B = {ank }k∈N estratta di {an }n∈N . Per il Teorema 3.4, ∃ b ∈ [0, Ω[ tale che ank −→ b
per k → ∞. Perciò {an }n∈N ammette un'estratta convergente e quindi [0, Ω[ è compatto
per successioni.
Dopo aver dimostrato questo teorema possiamo dare un esempio di spazio compatto
per successioni che non sia compatto.
Consideriamo infatti lo spazio
lario 3.5 dimostra che è compatto per successioni.
O = {Z (α) : α < Ω}. O
è un ricoprimento aperto di
sottoricoprimento nito. Dunque
[0, Ω[
[0, Ω[.
Il Corol-
Consideriamo la famiglia di aperti
[0, Ω[
e chiaramente non ammette un
è compatto per successioni ma non compatto.
Sfruttando il Principio di Induzione trasnita (cfr. [D], pag. 40), dimostriamo il seguente
teorema:
Teorema 3.6. Lo spazio [0, Ω] è una T2 -compatticazione di [0, Ω[.
Dimostrazione.
Basta mostrare che
[0, Ω]
è compatto e
T2 .
Per dimostrare la compattezza, procediamo per induzione dimostrando che
patto per ogni ordinale
α=1
Lo spazio
αγ ⇒γ
∃ j0
{0, 1}
è com-
è nito e quindi compatto.
Consideriamo
U = {Uj }j∈J
E dunque
compatto e ovviamente
Dimostriamo ora che
Uβ = (α, Ω]. Uα
[0, Ω] è T2 .
e
U
∃α<γ
un ricoprimento aperto di
[0, γ].
Chiaramente
]α, γ] ⊆ Uj0 . Per ipotesi induttiva [0, α] è
[0, α].
∗
Sia V = {Ujk }k=1...N un sottoricoprimento nito di U che ricopre [0, α]. Da questo si
∗
ha che [0, γ] è compatto, considerando V = V ∪ {Uj0 } che è un sottoricoprimento nito di
U che ricopre [0, γ].
In particolare per γ = Ω si ha che [0, Ω] è compatto.
tale che
γ ∈ Uj0 .
[0, α]
α.
tale che
è un ricoprimento aperto di
[0, Ω] è T2 . Consideriamo α, β ∈ [0, Ω], α < β . Deniamo Uα = [0, α+1)
Uβ sono intorni aperti disgiunti rispettivamente di α e di β . Perciò
e
11
Per il Lemma 1.3, lo spazio
[0, Ω],
[0, Ω[
è completamente regolare in quanto sottospazio di
che è normale (cfr. [CTV], pag. 140). Perciò
[0, Ω[
ammette una compatticazione
di Stone-ƒech. Dimostriamo il seguente interessante risultato:
Teorema 3.7. La compatticazione di Stone-ƒech di [0, Ω[ è [0, Ω].
Dimostrazione.
Per il Teorema 2.7 è suciente dimostrare che ogni applicazione continua
f : [0, Ω[−→ I = [0, 1]
Per
provare
ammette un'estensione continua a
questo,
f : [0, Ω[−→ I = [0, 1]
dimostriamo
che
ogni
applicazione
continua
è denitivamente costante, cioè:
∃ α ∈ [0, Ω[
Mostriamo
[0, Ω].
che
esiste
una
tale che
successione
∀ β > αn , |f (αn ) − f (β)| < 1/n.
∀ β > α, f (β) = f (α).
{αn }n∈N
⊆ [0, Ω[
tale
che
∀ n ∈
N
,
Supponiamo per assurdo che questa successione non esista:
∃ n0 ∈
N
tale che
∀α ∈ [0, Ω), ∃ β > α
tale che
|f (β) − f (α)| ≥ 1/n0 .
Si può quindi costruire ricorsivamente una successione crescente {βn }n∈N tale che
|f (βn ) − f (βn+1 )| ≥ 1/n0 . {βn }n∈N è crescente e quindi ha un limite β < Ω. f è continua e quindi f (βn ) −→ f (β). Ma questo è assurdo perché la successione {f (βn )}n∈N non
è di Cauchy e quindi non può convergere.
Dunque:
∀n∈
N ∃ αn
Ovviamente la successione
un limite
α ∈ [0, Ω[.
tale che
∀β > αn
{αn }n∈N
si ha
|f (β) − f (αn )| < 1/n.
può essere considerata crescente e quindi ammette
Risulterà che:
∀β > α, |f (β) − f (α)| ≤ 1/n ∀n ∈
e quindi
N,
f (β) = f (α), ∀β > α.
Consideriamo quindi una generica applicazione continua
f : [0, Ω[−→ I .
Per il Teorema 2.7 la dimostrazione è conclusa e
ƒech di
[0, Ω]
f è
[0, Ω].
Poiché
vamente costante è banale osservare che ammette un'estensione continua su
deniti-
è la compatticazione di Stone-
[0, Ω[.
3.3 Il Cavatappi di Tychono
Concludiamo la tesi dando un esempio di spazio regolare ma non completamente regolare:
Esempio 2
spazio
. Siano Ω il primo ordinale
T = [0, Ω] × [0, ω] si chiama Piano
(Cavatappi di Tychono )
primo ordinale innito. Lo spazio
T∞ = T r {(Ω, ω)}
non numerabile e
ω
il
di Tychono mentre lo
si chiama Piano di Tychono cancellato.
Consideriamo 4 copie omeomorfe del piano di Tychono cancellato, che indicheremo come
segue ([Ω, 0] e
[ω, 0]
indicano, rispettivamente,
[0, Ω]
e
[0, ω]
con l'ordine inverso):
+,+
T∞ = ([Ω, 0] × [ω, 0]) r {(Ω, ω)}
−,+
T∞
−,−
T∞
+,−
T∞
= ([0, Ω] × [ω, 0]) r {(Ω, ω)}
= ([0, Ω] × [0, ω]) r {(Ω, ω)}
= ([Ω, 0] × [0, ω]) r {(Ω, ω)}
12
P come unione disgiunta di questi 4 spazi e consideriamo una reP che identichi a due a due 3 delle 4 coppie di assi. In particolare
+,+
−,+
identichiamo l'asse {Ω} × [ω, 0] di T∞
con l'asse {Ω} × [ω, 0] di T∞
e di conseguenza gli
+,−
+,+
assi che seguono, eccezion fatta per l'asse [Ω, 0] × {ω} di T∞
e l'asse [Ω, 0] × {ω} di T∞
Deniamo l'insieme
lazione di equivalenza su
che manteniamo disgiunti.
Indichiamo con
P∗
lo spazio quoziente denito dalla relazione appena descritta.
A questo punto consideriamo l'unione disgiunta di una collezione numerabile
di copie di
P
∗
{P ∗ (i)}∞
i=−∞
. Deniamo ancora su questa unione disgiunta una relazione di equivalenza
[Ω, 0] × {ω}
+,−
P ∗ (i)
con l'asse [Ω, 0] × {ω} del piano
P (i + 1). Denotiamo con S lo spazio quoziente. Diremo che un punto x ∈ S ha
∗
∗
∗
un livello i se x ∈ P (i) r P (i − 1) (dove indichiamo con le stesse notazioni le copie di P
e i loro quozienti). In questo caso indichiamo L(x) = i. Aggiungiamo a S due punti che
+
−
+
+
indichiamo con a e a . Diremo che U
è intorno di a se ∃ n ∈
tale che ∀ x ∈ S tale che
+
L(x) > n si ha x ∈ U . In modo analogo deniamo gli intorni di a− . Il risultato di questa
∗
costruzione è uno spazio K formato dai piani P (i), giustapposti in modo da formare una
che identica l'asse
+,+
T∞
del piano
T∞
di
∗
di
N
scala a chiocciola , che in letteratura viene ricordata con il nome di
Mostriamo che lo spazio
Dimostrazione.
K
è regolare, ma non completamente regolare.
[0, α]
Poiché ogni intervallo
di Tychono è compatto e
Cavatappi di Tychono.
T2 ,
è compatto e
T2
è evidente che anche il Piano
e perciò è normale. Dunque il Piano di Tychono cancellato
S è regolare.
K è regolare, possiamo limitarci a considerare, senza perdita di
+
+
generalità, i casi in cui si considera il punto a e un chiuso generico C di K tale che a ∈
/ C.
+
Deniamo A = K r C . A è aperto e quindi contiene un intorno di a , cioè ∃ n ∈
tale
che ∀ x ∈ K tale che L(x) ≥ n, si ha x ∈ A. Consideriamo i due insiemi:
è completamete regolare, e quindi regolare. Ne segue facilmente che lo spazio
Dunque per mostrare che
N
U = {x ∈ K : L(x) < n + 1},
V = {x ∈ K : L(x) > n + 1}.
U
e
V
sono due intorni disgiunti di
Segue quindi che
Mostriamo ora che
K
K
C
e
a+
rispettivamente.
è uno spazio regolare.
non è completamente regolare.
Sia
f : K −→
ticazione di Stone-ƒech di
[0, Ω[
argomenti del Teorema 3.7 è facile osservare che
ad ogni livello contiene un aperto
successione
{ai }i∈Z
in
K
f|P ∗ (i)
(Ω, ω) ∈
/ P ∗ (i).
si osserva che la restrizione
può essere estesa a un'applicazione continua sul punto
A(i)
f
R
un'applicazione
[0, Ω] è la compat∗
di f al livello P (i)
continua. Con un argomento analogo a quello usato per mostrare che
Ancora con gli stessi
deve essere costante su un insieme che
intorno al punto
(Ω, ω).
Segue quindi che esiste una
tale che:
lim ai = a− ,
i→−∞
lim ai = a+ ,
i→+∞
f (a+ ) = f (ai ) = f (a− ),
Dunque lo spazio
K
∀i∈
N.
non può essere completamente regolare in quanto ogni funzione
continua assume lo stesso valore su
a+
e su
a− .
13
Riferimenti bibliograci
[CTV]
V. Checcucci, A. Tognoli, E. Vesentini,
Lezioni di Topologia Generale,
Feltrinelli,
Milano (1968)
[T]
A. Tognoli,
Esercizi risolti di topologia generale,
Editrice tecnico scientica, Pisa
(1973)
[D]
[StSe]
J. Dugundji,
Topology, Allyn and Bacon Inc., Boston (1966)
L.A. Steen, J.A. Seebach Jr.
Counterexamples in Topology,
Springer-Verlag Inc.,
New York (1970)
[W]
R. Walker,
The Stone - ƒech compactication, Springer, Berlino (1974)
14