Integrazione numerica
Approssimazione numerica di:
Z
b
f (x)dx.
a
Motivazioni.
• Trovare la forma esplicita della primitiva.
• Valutazione ’costosa’ della primitiva.
Formule di quadratura.
In generale: se f˜ é un’approssimazione di f ⇒ I(f ) ≈ I(f˜).
Z
b
I(f ) ≡
f (x)dx ≈
a
n
X
˜ )
f (xi )αi ≡ I(f
i=1
xi : nodi; αi : pesi
Definizione. Si definisce grado di precisione di una formula di quadratura il
massimo intero r ≥ 0 tale che
˜ ) = I(f ),
I(f
∀f ∈ Pr .
Si puó dimostrare che una formula di quadratura ha grado di precisione r ⇔
˜ k ), ∀k = 0, 1, ..., r.
I(xk ) =I(x
Si osservi che
r=0⇔
n
X
αi = (b − a)
i=1
Formule di quadratura di tipo interpolatorio.
!
Z
Z b
Z b ÃX
n
n
X
˜
Li (x)f (xi ) dx =
f (xi )
I(f ) =
Πn−1 (x)dx ≡
a
a
Z
αi =
b
Li (x)dx (Li =
a
i=1
n−1
Y
j=0
j6=i
i=1
b
Li (x)dx
a
x − xj
: polinomi di Lagrange).
xi − xj
Formule aperte: a < x0 < x1 < ... < xn−1 < xn < b.
Formule chiuse: a = x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = b.
Formule di quadratura di Newton-Cotes
Formule aperte: h =
b−a
n+1 ,
xi = a + ih, i = 1, ..., n.
Formule chiuse: h =
b−a
n−1 ,
xi = a + (i − 1)h, i = 1, ..., n, con a = x1 e b = xn .
• Formula del punto medio (aperta, n = 1).
µ
I(f ) ≈ I˜P M (f ) ≡ (b − a)f
b+a
2
¶
.
(b − a)3 (2)
I(f ) − I˜P M (f ) =
f (t), t ∈ (a, b).
24
• Formula dei trapezi (chiusa, n = 2).
I(f ) ≈ I˜T (f ) ≡
I(f ) − I˜T (f ) = −
b−a
[f (a) + f (b)] .
2
(b − a)3 (2)
f (t), t ∈ (a, b).
12
• Formula di Cavalieri-Simpson (chiusa, n = 3).
·
µ
¶
¸
b−a
b+a
˜
I(f ) ≈ ICS (f ) ≡
f (a) + 4f
+ f (b) .
6
2
5
(b − a) (4)
I(f ) − I˜CS (f ) = −
f (t), t ∈ (a, b).
2880
Formule di quadratura composite
M ≥ 1, H =
b−a
,
M
ai = a + iH, i = 0, ..., M, a = a0 , b = aM .
(M = 1 ⇒ F. di Q. semplici).
• Formula del punto medio composita
(c)
I˜P M = H
¶
µ
M
X
ai−1 + ai
.
f
2
i=1
• Formula dei trapezi composita
(c)
I˜T
"
#
M
−1
M
X
HX
H
f (a) + f (b) + 2
f (ai ) .
=
[f (ai−1 ) + f (ai )] =
2 i=1
2
i=1
Errore:
b − a 2 (2)
(c)
I(f ) − I˜T = −
H f (η), η ∈ (a, b).
12
oppure, (formula asintotica):
(c)
I(f ) − I˜T =
H2 0
[f (a) − f 0 (b)].
12
• Formula di C. Simpson composita
µ
¶
¸
M ·
HX
H
(c)
I˜CS =
f (ai−1 ) + 4f ai −
+ f (ai ) =
6 i=1
2
"
¶#
M
−1
M
−1 µ
X
X
H
H
f (a) + f (b) + 2
f (ai ) + 4
.
f ai +
6
2
i=1
i=0
Errore:
b − a 4 (4)
(c)
I(f ) − I˜CS = −
H f (η), η ∈ (a, b).
180
oppure, (formula asintotica):
(c)
I(f ) − I˜CS =
1 H 4 (3)
[f (a) − f (3) (b)].
180 16
