La funzione totiente di Eulero

La funzione totiente di Eulero
a cura di Flavio Cimolin
(pagina a cura di Marco Frigerio)
(ultimo aggiornamento: 24/08/2006)
Ecco un'altra bella formula di teoria dei numeri che non può che destare stupore in chi la vede per la
prima volta.
Chiamiamo Φ la funzione totiente di Eulero, che per ogni numero naturale k restituisca il valore
Φ(k) pari al numero di interi positivi minori o uguali a k che sono primi con esso. Ricordiamo che
due numeri sono primi fra loro se e solo se non hanno alcun divisore in comune.
Ad esempio, risulta Φ(1) = 1 e Φ(p) = p - 1 se p è un numero primo. Si dimostra che in generale
vale la seguente formula per il calcolo di Φ(N):
dove n è il numero dei fattori primi distinti di N e pi sono i fattori primi stessi (l'ordine è
ininfluente). Applicando la formula appena vista si trova, per esempio: Φ(2)=1,
Φ(3)=Φ(4)=Φ(6)=2, Φ(12)=4,…Vediamo ad esempio come funziona il calcolo per N=12. I suoi
fattori primi sono 2, 3 quindi applicando la formula si ottiene Φ(12) = 12 * (1 - 1/2) * (1- 1/3) = 12
* 1/2 * 2/3 = 4. E infatti gli interi minori o uguali a 12 e primi con esso sono quattro: 1, 5, 7, 11.
Sulla funzione totiente esiste un'altra interessante proprietà, che può essere espressa dalla formula
dove d percorre tutti i divisori di N (inclusi 1 e lo stesso N). Ad esempio, per il numero N=12, i cui
divisori sono 1, 2, 3, 4, 6, 12, si ottiene:
12 = Φ(1) + Φ(2) + Φ(3) + Φ(4) + Φ(6) + Φ(12)= 1+1+2+2+2+4.
Un'interpretazione elementare di tale proprietà può essere data in questi termini. Prendiamo tutte le
frazioni aventi denominatore N=12 e numeratore (intero) 0<X<=12. Scritte nell'ordine sono:
1/12, 2/12, 3/12, 4/12, 5/12, 6/12, 7/12, 8/12, 9/12, 10/12, 11/12, 12/12
Ridotte, diventano:
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1/12, 1/6, 1/4, 1/3, 5/12, 1/2, 7/12, 2/3, 3/4, 5/6, 11/12, 1/1
Ora, premesso che al denominatore deve comunque comparire il valore originale o un suo
sottomultiplo (proprio), osserviamo che esattamente Φ(12)=4 erano già ridotte in origine (quelle
per le quali il numeratore è relativamente primo con il denominatore). Quelle con numeratore pari
possono essere semplificate per 2 (portando il denominatore a 6), ma di esse esattamente Φ(6)=2
risultano ridotte ai minimi termini (2/12 e 10/12 che diventano 1/6 e 5/6). Allo stesso modo ne
otteniamo Φ(4)=2 (semplificando esattamente per 3), Φ(3)=2 (semplificando esattamente per 4),
Φ(2)=1 (semplificando esattamente per 6) e Φ(1)=1 (semplificando per 12).
Ora, l'insieme delle frazioni finali, semplificate, ha la stessa cardinalità dell'insieme delle frazioni
iniziali (ridotte o no), dove ridotte implica che il numeratore è primo con il denominatore, proprietà
che giustifica la formula inizialmente proposta.
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