Def. Sia f una funzione a valori reali definita in un intervallo I
(limitato o illimitato) e sia un punto interno all’intervallo I.
Si dice che f è continua nel punto se:
lim () = ( )
→
Una funzione f è continua in un punto interno al proprio
intervallo di definizione se:
• ∃( )
• ∃ finito il limite di () per → • il limite coincide col valore ( )
In base alla definizione di limite, la definizione di continuità può
essere data come segue:
Def. Una funzione f definita in un intervallo I (limitato o illimitato) è
continua in un punto ∈ se:
∀ > 0 ∃ > 0: ∀ ∈ ( − , + ) ∩ , |( ) − ( )| < Se si verifica solo
lim () = ( )
→
si dice che la funzione è continua a destra.
Se si verifica solo
lim () = ( )
→
si dice che la funzione è continua a sinistra.
Def. Sia f una funzione a valori reali definita in un intervallo I
(limitato o illimitato). Si dice che f è continua nel proprio
intervallo di definizione I se è continua in ogni punto interno
ad I:
lim () = ( ), ∀ ∈ →
Limiti e continuità
Sia la nozione di limite che la nozione di continuità si
riferiscono al comportamento di una funzione in prossimità di
un punto che
- non deve necessariamente appartenervi se si parla di limite e
quindi in tale caso si può verificare anche che = ±∞
- deve necessariamente appartenere all’insieme di definizione
della funzione, se si parla di continuità.
Da un punto di vista grafico, dire che una funzione è continua
nel proprio intervallo di definizione equivale a dire che il suo
grafico è costituito da una “linea continua” senza alcuna
interruzione:
2
1
1
funzione continua
funzione non continua
Punti di discontinuità
• se f è definita in un intervallo [a,b] escluso al più un punto oppure
• se f non è continua in un punto si dice che il punto è un punto singolare
oppure punto di discontinuità
I punti di discontinuità si dividono in tre specie
• Punti di discontinuità eliminabile (III specie)
Si dice che nel punto una funzione f ha una discontinuità
eliminabile se
∄( )
$
∃ lim→ () finito ma !
lim→ () ≠ ( )
Esempio
sin ( ) =
'() = (−∞, 0) ∪ (0, +∞)
presenta nel punto = 0 una discontinuità eliminabile:
∄(0)
sin lim
=1
→ • Punti di discontinuità di I specie
Si dice che nel punto una funzione f ha una discontinuità di
I specie se in tale punto esistono finiti il limite destro ed il
limite sinistro di f ma sono diversi tra loro:
*+ = lim () ≠ lim() = *,
→
→
Esempio
| |
( ) = +
' () = (−∞, 0) ∪ (0, +∞)
presenta nel punto = 0 una discontinuità di I specie:
| |
lim +
= −1
→
y
1
x
-1
| |
lim +
=1
→
• Punti di discontinuità di II specie
Si dice che nel punto una funzione f ha una discontinuità di
II specie se in tale punto almeno uno dei due limiti destro o
sinistro di f è infinito oppure non esiste.
Osservazione
In definitiva, la presenza di asintoti verticali è rappresentativa
di discontinuità di II specie
Esempio
1
() = '() = (−∞, 0) ∪ (0, +∞)
presenta nel punto = 0 una discontinuità di II specie:
1
lim = −∞
→ 1
lim = +∞
→ Esempio
+
2
( ) =
'() = (−∞, 0) ∪ (0, +∞)
+
presenta nel punto = 0 una discontinuità di II specie:
lim
→
lim
→
→
+
2
+
2
=0
= +∞
Tutte le funzioni elementari sono continue nel proprio
dominio e valgono i seguenti limiti:
Funzione potenza ad esponente intero
n pari
n dispari
• lim→./ 0 = +∞
• n pari
lim→1/ 0 = +∞
• n dispari
lim→1/ 0 = −∞
Funzione radice ennesima
n pari
n dispari
• lim→./ √ = +∞ ∀4 ∈ 5
3
• n dispari
• n pari
∄ lim→1/ √
3
lim→1/ √ = −∞
3
Funzione potenza ad esponente reale
6<0
6>1
6>0
• lim→./ 7 = +∞
• lim→ 7 = 0
(continuità in zero)
0 < 6 <1
6<0
• lim→./ 7 = 0
• lim→ 7 = +∞
Funzione esponenziale
8>1
0<8<1
8>1
• lim→1/ 8 = 0
• lim→./ 8 = +∞
0<8<1
• lim→1/ 8 = +∞
• lim→./ 8 = 0
Funzione logaritmo
8>1
• lim→ log ; = −∞
• lim→./ log ; = +∞
0<8<1
• lim→ log ; = +∞
• lim→./ log ; = −∞
Funzioni trigonometriche
4<4 =>?>@= lim sin →±/
4<4 =>?>@= lim cos →±/
Pur non esistendo, tali limiti rappresentano qualcosa di
limitato (finito) poiché sia la funzione seno che la funzione
coseno assumono valori nell’intervallo chiuso e limitato [-1,1].
−
B
2
B
2
lim
tan = +∞
E
→
,
4<4 =>?>@= lim tan →±/
lim tan = −∞
E
→
,
Funzioni trigonometriche inverse
Le funzioni () = 8FG sin e () = 8FG cos sono definite
e continue nell’intervallo [-1,1] quindi il limite in ogni punto
coincide col valore della funzione nel punto:
lim arc sin = arc sin x
→
lim arc cos = arc cos x
→
per ogni ∈ [−1,1].
B
2
−
B
2
B
lim arctan =
→./
2
B
lim arctan = −
→1/
2
N.B.
Tutte le funzioni che si possono ottenere come somma,
prodotto, quoziente e composizione da funzioni elementari
sono continue nel loro insieme di definizione.
Sono pertanto continue:
• i polinomi
• le funzioni razionali (rapporti di polinomi)
• funzioni come:
exp(− , )
√sin log(1 + tan , )
