a. s. 2015-2016
CLASSE 1A
Insegnante: Torchia Franca
Disciplina: Matematica
PROGRAMMA SVOLTO
NUMERI NATURALI
- Ordinamento e operazioni
- Proprietà delle operazioni
- Proprietà delle potenze
- Multipli, divisori, MCD e mcm
- Sistemi di numerazione
NUMERI INTERI
- Definizioni
- Addizione e sottrazione
- Moltiplicazione e divisione
- Potenza
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
- Definizioni
- Confronto e rappresentazioni
- Operazioni
- Numeri decimali
- Rapporti e proporzioni
NUMERI RAZIONALI E NUMERI REALI
- Numeri razionali
- Operazioni
- Numeri reali
INSIEMI
- Definizioni
- La relazione di inclusione
- Operazioni con gli insiemi
o Unione, intersezione, differenza
o Prodotto cartesiano
- Partizione di un insieme
- Problemi
LOGICA
- Definizioni
- I connettivi logici
o Disgiunzione inclusiva, congiunzione, negazione
- Espressioni logiche
o Tavole di verità
o Tautologie e contraddizioni
- L’implicazione logica e sue proprietà
- Gli enunciati aperti
- I quantificatori
CALCOLO LETTERALE
- I monomi
o Definizioni
o Operazioni con i monomi
o MCD e mcm tra monomi
o Problemi
- I polinomi
o Definizioni
o Somma algebrica e moltiplicazione
o Prodotti notevoli
o Il triangolo di Tartaglia
o Divisione tra polinomi
o Il teorema del resto
o La regola di Ruffini
o Problemi
- Scomposizione dei polinomi in fattori
o Raccoglimento totale e parziale
o Prodotti notevoli
o Somma e differenza di cubi
o Trinomi particolari
o Metodo di Ruffini
- Frazioni algebriche
o Definizioni
o Proprietà invariantiva e semplificazione
o Operazioni
EQUAZIONI di 1° GRADO
- Definizioni
- I principi di equivalenza
- Equazioni numeri intere
- Equazioni letterali
- Equazioni numeriche fratte
- Problemi
DISEQUAZIONI
- Definizioni
- Disuguaglianze e proprietà
- Disequazioni intere
- Disequazioni fratte
- Sistemi di disequazioni
GEOMETRIA
ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI
- Geometria euclidea
- I teoremi
o Ipotesi, tesi, dimostrazione
o Dimostrazione per assurdo
- Figure e proprietà
- Linee, poligonali, poligoni
- Operazioni con segmenti e angoli
- Multipli e sottomultipli
- Lunghezze, ampiezze, misure
TRIANGOLI
- Definizioni
- Classificazione dei triangoli
- I criteri di congruenza
- Proprietà del triangolo isoscele
- Disuguaglianze nei triangoli
RETTE PERPENDICOLARI E PARALLELE
- Rette perpendicolari
o Asse di un segmento
o Proiezioni ortogonali
- Rette parallele
o Criterio di parallelismo
o Inverso del criterio di parallelismo
o Proprietà del parallelismo
INDICAZIONI PER IL LAVORO ESTIVO
I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI
1. Che cosa sono i numeri naturali
Scrivi in ordine crescente i seguenti numeri e poi rappresentali su una retta orientata.
0,
10,
7,
5,
30.
Scrivi tutti i numeri naturali n, se esistono, che verificano le seguenti relazioni.
3 n 7;
n 4;
5 n 6;
9 n 10.
2. Le quattro operazioni
Scrivi il numero mancante al posto dei puntini.
33 ... 24;
72 ... 216;
45 ... 74;
Indica quali delle seguenti operazioni sono possibili in .
3 7; 1 4;
8 9;
10 : 5;
4 4;
3 0;
60 :... 5.
15 :10.
3. I multipli e i divisori di un numero
2;
10;
30.
Scrivi i divisori dei numeri seguenti e i loro multipli minori di 100.
28;
31;
45;
44.
Segna con una crocetta quali numeri, fra quelli indicati, sono divisori di n.
4. Le potenze
Calcola il valore delle seguenti potenze.
10 ;
32 ;
23 ;
21 ;
102.
42 ;
110 ;
33 ;
91 ;
150.
Completa, quando è possibile, mettendo il numero giusto al posto dei puntini.
...7 1;
...2 81;
3... 30;
7... 49.
Scrivi le potenze di 2 e 3 comprese tra 10 e 40.
5. Le espressioni con i numeri naturali
Scrivi l’espressione relativa alla seguente frase e calcolane il risultato.
«Moltiplica per 5 la differenza fra 20 e 6, poi sottrai 45 dal risultato».
[25]
«Dividi la somma di 21 e 23 per la differenza tra 20 e 16».
Calcola il valore delle seguenti espressioni
6 5 1 2 3 : 2 3 4 8 2 : 6 2
[11]
[3]
12 10 15 8 4 : 7 8 5 2
[3]
2 18 3 : 7 12 : 6 2 9 : 5 2
9 14 10 : 4 15 : 3 2 : 20 2 18 : 3 2
2 3 : 5 : 5 4 : 2 1 5 2
5 : 5 2 11 2 20 : 2
3 2
3
2
3
2
2
2
2
0
3 2
[12]
[1]
3
[16]
2
[4]
2
2
62 : 34 : 93 1 : 52 2
2
1 4
2 2 3 8
3
2
5
:
5
5
5
2 : 2
[6]
[9]
Calcola il valore che assume la seguente espressione sostituendo ad a e b i valori indicati a fianco.
a 2 2b a b 1 ;
[2; 2; 16]
a 4, b 3; a 2, b 1; a 5, b 2.
2a b b : 3 4a 25 ;
[20]
a 7, b 12.
Traduci in espressione letterale la seguente frase e calcola il suo valore per i numeri indicati.
Dalla somma del quintuplo di b e del triplo di a sottrai il quadrato della differenza tra il
doppio di b e il doppio di a; a 3, b 4.
[25]
Moltiplica a per la somma di a con b, sottrai poi al risultato la somma tra il quoziente del
quadrato di a per a e il cubo di b;
[6]
a 7, b 4.
Nella figura seguente determina l’espressione della misura di ciò che è scritto sotto.
3
6. Le proprietà delle operazioni
Indica la proprietà dell’operazione applicata in ognuna delle seguenti uguaglianze.
63 14 7 9 2 .
56 49 57 50;
3 8 4 12 32;
30 20 :10 3 2;
56 16 8 7 2 .
63: 21 9 : 3;
7. Le proprietà delle potenze
Completa le uguaglianze applicando le proprietà delle potenze.
5... 53 59 ;
38 ... 158 ;
89 : 8... 86 ;
7
145 : ... 25 ;
64 ... 244 ;
5
104 10 :10... 100.
5
8
... 3
8
:125 53 ;
Indica la proprietà delle potenze applicata in ognuna delle seguenti uguaglianze.
52 22 32 302 ;
105 :102 103 ;
7
102 : 22 52 ;
26 23 29 ;
42 24.
2 6
712.
... 4
720.
Calcola il valore dell’espressione applicando le proprietà delle potenze.
72 3 75 : 74 2 7 : 7 2
3
65 62 : 33 22 : 32
[49]
3
[8]
2 33 1 13 : 22 52 110
2
3
[2]
32 3 : 32 : 33 3 : 34 2 32
2
3 3 : 3 3 5
3
2 2
6
2
2 3
[2]
: 511
[22]
3
2
3
2
[13]
2 3 : 54 : 53 210 : 42 :105 3
8. Il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo
Scomponi in fattori primi i seguenti numeri.
150;
200;
330;
5000.
72;
420;
189;
1232.
Scrivi i seguenti prodotti come prodotti di potenze di numeri primi.
20 15 30.
12 4 7;
2 4 5 9;
11 66 2;
Calcola il M.C.D. e il m.c.m. fra i seguenti gruppi di numeri.
a) 9, 12;
b) 15, 25, 30;
c) 6, 15, 24, 40.
9. I sistemi di numerazione
Scrivi in base 2 i seguenti numeri.
10 2 ; 1010 2 ; 10100 2 ; 110012
2;
10;
20;
25.
Scrivi in base decimale i seguenti numeri.
[10; 21; 66]
10102 ; 2103 ; 2315
2
2 7
10. Che cosa sono i numeri interi
Rappresenta su una retta orientata i seguenti numeri. Indica quali hanno lo stesso valore assoluto e
quali sono discordi.
3, 4, 0 2, 3, 5, 2.
Scrivi tutti i numeri interi il cui valore assoluto è maggiore di 2 e minore di 5.
4; 3; 3; 4
Scrivi tutti i numeri interi maggiori di 2 il cui valore assoluto è minore di 5.
1; 0; 1; 2; 3; 4
11. Le operazioni nell’insieme dei numeri interi
Completa le seguenti tabelle.
Calcola il valore delle seguenti espressioni.
a) 7 6 5 3 6 4 3 2 7 5
[+22]
b) 3 15 3 2 6 3 10 4 2 3 6 5
[+4]
16
c) 15 3 2 6 : 7 : 4 2 6 : 3 4 2 6 4
Calcola il valore delle seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze.
3
2
2 4 : 2 2 36 ;
4 2 4 5 : 2 14 .
2 36 ; 214
2
4 2 4 3 : 4 4 ;
2 3 33 : 6 5 .
Calcola il valore delle seguenti espressioni
4;
3
2
2 5 2 2 0 : 2 4 2 3 : 2 10
4
6
58
2 3 : 29 25 5 4 1 2 3
52 : 54 12 3 5 4 3 6
24
Calcola quale valore assume l’espressione indicata quando si sostituiscono alle lettere i valori scritti
a fianco.
a 1,
b 5.
2 3a b 2a 5a 6ab 2a;
19
3
2ab a 2 b2 1 a a 3b ;
a 1, b 3; a 3, b 2.
2;
9
3b2 : a a b ;
a 2, b 0; a 3, b 2.
17; 21
Traduci in una espressione numerica la seguente frase e calcolane il risultato.
Dividi il cubo di 3 per la somma di 3 e del prodotto di 2 per 3, sottrai poi 5 e aggiungi al
risultato la differenza tra 7 e il prodotto di 3 per 2.
[11]
Dividi la differenza tra 15 e la somma di 4 e del prodotto di 3 per 2, per la somma di 3 e 2,
sottrai al risultato la somma di 5 e del prodotto di 3 per 2.
[2]
Traduci in una espressione letterale la seguente frase e calcolane il risultato per i valori delle lettere
indicati.
Dividi per il quadruplo di a il quadrato della differenza tra il doppio di b e il triplo di a,
aggiungi poi al risultato la somma del doppio di b col triplo di a.
a 2, b 1
12
a 1
b
a b
2a
Sottrai la somma del triplo di b col quintuplo di a alla somma del doppio di a e del quadrato
della differenza tra b e il triplo di a.
a 2, b 1
52
Risolvi i seguenti problemi utilizzando i numeri interi.
In un centro commerciale Marco spende € 48 per dei CD e € 16 per alcune riviste. Preleva
allo sportello automatico € 25, poi pranza in pizzeria spendendo € 12. Quanti euro aveva
inizialmente in tasca se alla fine gli rimangono € 10?
€ 61
In giro per negozi Giulia spende € 23 in profumeria e € 14 in libreria. Preleva allo sportello
automatico € 30, poi cena in pizzeria spedendo € 11. Quanti euro aveva inizialmente in tasca
se alla fine le rimangono € 12?
€ 30
I NUMERI RAZIONALI
1. Le frazioni
Rappresenta le seguenti frazioni prima come parti di un segmento, scelto come unitario, e poi come
parti di un cerchio, pensato come l’intero.
2
3
1
5
;
;
;
.
3
4
6
2
2. Le frazioni equivalenti e la proprietà invariantiva
Cancella le frazioni che non sono equivalenti alla prima assegnata; fra quelle rimaste, evidenzia la
frazione ridotta ai minimi termini.
4
8
8
5
8
1 2
6 10
;
,
,
,
,
,
,
,
.
18 10 26 19 36 4 9 27 45
Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni.
16 36 18 160 1260
;
;
;
;
.
14 12 24 112 1500
Semplifica le frazioni e riducile al minimo comune denominatore.
6 12 10
42 28 18
;
;
.
63 ; 63 ; 63
9 27 35
3. Dalle frazioni ai numeri razionali
Trasforma ogni numero assegnato in tre opportune frazioni con denominatori 2, 6 e 10,
rispettivamente.
1; 8; 12.
Trasforma ogni numero assegnato in tre opportune frazioni con denominatore 3, 3, 5.
2; 4; 10.
4. Il confronto tra numeri razionali
Scrivi in ordine decrescente le seguenti frazioni.
3
5
2
1
5
; ;
; ;
.
4
7
9
3 8
Scrivi in ordine crescente le seguenti frazioni e rappresentale su una retta orientata.
1
13
7
9
7
8
; + ; ; ; ; .
5
4
2
3
3
5
5. Le operazioni in
Calcola il valore dell’espressione.
1 1 2 3 2 1 1 2 1 3 5
5 4 5 10 20 4 5 5 4 2 4
3 1 2 2 7
1
2
1
2 4 3 2
2
3
12
2 6 3 3 4
[0]
127
12
1 2 4
6 4 1 2 1 2 11
5 3 : 5 2 7 5 3 5 4 3 30
4 1 11 4 15
4 3 6 : 18 1 5 10
1 1 2 4 4 15
7 5 : 3 7 5 4
4 2 4 3 2 4 8 4 6
2
: : 1
3
5 5 5 5 5
1
2
5
13
15
5
4
2
3
3
1 2 3 1 10 1 2
1
: : 1 :
6
3 3 4 2
9 3
9
Calcola il valore della seguente espressione, assegnando alle lettere i valori indicati a fianco.
1
1
1
3
139
x , y .
x y 2 xy;
24
2
4
y
x
2
2
b
a
3
3
43
a
;
a , b .
28
4
2
b a 1 b 2
Traduci in espressione la seguente frase, poi calcolane il valore.
2
4
4
Dividi per 4 il prodotto di
per il risultato della sottrazione di
al prodotto di per la
5
3
5
1
2
4
differenza tra 7 e , sottrai poi al risultato .
15
3
3
5
3
1
Moltiplica per il quadrato di
il risultato della sottrazione di al prodotto di per la
5
5
2
3
25
differenza di 2 e .
8
2
Traduci in espressione la seguente frase e calcolane il valore con i dati assegnati.
7
3
47
Sottrai
di a ai
di b, dividi poi il risultato per i
del cubo di c;
2
5
2
1
1
1
4
a ,
b ,
c .
15
2
18
2
Risolvi il seguente problema.
7
Un rettangolo con il perimetro di 72 cm ha un lato che è
dell’altro. Determina l’area del
2
224 cm2
rettangolo.
Dalle seguenti formule ricava la lettera indicata tra parentesi.
x
3
5 z0
a b2c 0 c .
y;
y
2
x
2a
y 5 z ; c 3b 2
6. Le potenze a esponente intero negativo
Calcola il valore dell’espressione applicando le proprietà delle potenze.
1
2
1 2 15 2 1 9 3 6 3
2
:
5 2 5 5 3
8
27
2
3
1 5 3 1 1 2 3 2
3 2 4
3 1
8
1
:
:
4
:
3
8
4
5
3
4 12 3 2 2
7. Le percentuali
Risolvi il problema.
In un gruppo di 30 ragazzi il 30% ha 14 anni, il 40% ha 15 anni e i rimanenti hanno 16 anni.
Calcola quanti ragazzi hanno 14 anni, quanti ne hanno 15 e quanti ne hanno 16.
[9; 12; 9]
Una scuola ha 12 classi, il 25% di queste è formato da 20 alunni, il 50% è formato da
25alunni e le restanti da 30 alunni. Calcola quanti alunni frequentano la scuola. Sapendo che
di essi il 40% frequenta il biennio, calcola quanti sono gli alunni del triennio.
[300; 180]
In una comitiva ci sono 12 italiani, 20 tedeschi, 35 americani e 8 francesi. Qual è la
percentuale degli italiani sull’intera comitiva? E quale, tra gli europei?
[16%; 30%]
Una casa editrice applica uno sconto del 30% su un libro. All’acquisto in libreria, l’esercente
applica un ulteriore sconto del 20% più un bonus di € 5. Se il libro viene pagato € 23, qual
era il suo prezzo originario?
[€ 50]
8. Le frazioni e le proporzioni
Risolvi le seguenti proporzioni.
2
15
1
16
; 12;
8 :15 x :10;
9 : x x :16;
x : x : 5.
3
26
2
3
Risolvi il seguente problema, utilizzando le proporzioni.
Determina le lunghezze di due percorsi stradali sapendo che la loro differenza è pari a 75 km
5
e che il loro rapporto è uguale a .
[187,5 km; 112,5 km]
3
Determina le altezze di due amici sapendo che la somma delle loro stature è pari a 348,5 cm
e che le lunghezze stanno tra loro come 21 : 20.
[170,0 cm; 178,5 cm]
9. I numeri razionali e i numeri decimali
Trasforma in numeri decimali le seguenti frazioni.
1
2
23
7
125
;
;
;
;
.
11
2
3
5
5
Trasforma i seguenti numeri decimali in frazioni.
3, 4;
0, 2;
0,17;
2, 03.
Calcola il valore delle seguenti espressioni.
17
7
1
0, 2 0, 2 0,138 : 12 0,127 11 : 4,81 1 2
2
1
3
13
0,8 : 0,136 0,5 : 0, 05 0, 045
2
11
18
GLI INSIEMI
1. Che cos’è un insieme
Indica quali, fra i seguenti, sono insiemi matematici ben definiti.
Le automobili con targa pari.
I numeri naturali compresi fra 0 e 1.
I ragazzi molto alti.
17 2 8 61
5 ; 9 ; 45 ; 30
7
10
49
10
I granelli di sabbia contenuti in una bottiglia.
Le moto che corrono veloci.
I divisori comuni a 2 e 3.
I dischi più venduti.
Le carte comuni a un mazzo di carte da poker e a un mazzo di carte da briscola.
1
1
3
5
Dati gli insiemi A 1, , 5, 9 , B , , 0, 2 , C 4, 3, 0, , completa con i
2
3
4
2
simboli e le seguenti proposizioni in modo da renderle vere.
5
1 1
0 ... A;
3 2 ... A;
... C.
1 2 ... B;
2 4
2. Le rappresentazioni di un insieme
Rappresenta i seguenti insiemi graficamente e poi mediante la proprietà caratteristica.
A 8, 9, 10, 11 ;
B 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4 ;
C ... 5, 4, 3, 2.
Rappresenta per elencazione i seguenti insiemi.
a) x x è una consonante nella parola «eccezionale»;
b) x x è uno stato confinante con la Spagna;
c) x x è una squadra di calcio di Milano;
d) x x è un punto cardinale.
Rappresenta i seguenti insiemi graficamente e poi scrivi la loro rappresentazione per elencazione.
A x x , x 7;
B x x P, 4 x 10;
C x x , 7 x 2.
Rappresenta per elencazione i seguenti insiemi di numeri.
a) 3n 1,
con n 0, 1, 2, 3, 4, 5 ;
b) n,
2
c) n ,
con n 5, 4, 3 ;
con n 1, 0, 1, 2, 3 ;
n
d) ,
con n 2, 3, 4, 5 ;
2
n 1
e)
con n 21, 22, 23.
,
3
Fornisci la rappresentazione mediante la proprietà caratteristica dei seguenti insiemi numerici.
a) I dispari minori di 4;
b) i razionali maggiori o uguali a 2;
c) i naturali compresi tra 10 e 40;
d) gli interi positivi.
3. I sottoinsiemi
VERO O FALSO?
Considera l’insieme S 5, 7, 9, 11, 13 e stabilisci se sono vere o false le seguenti
proposizioni:
a) 7 S
V
F
b) 9 S
V
F
c) 13 S
d) 11 S
V
V
F
F
e) x x D, 4 x 10 S
V
F
f) x x D, 3 x 13 S
V
F
Scrivi i sottoinsiemi dell’insieme delle lettere della parola «marte», formati da una
consonante e da una vocale.
4. Le operazioni con gli insiemi
Per ogni coppia di insiemi assegnata determina l’insieme unione e l’insieme intersezione,
rappresentandoli per elencazione e con un diagramma di Eulero-Venn.
a) A 12, 15, 18, 24 ,
B 2, 12, 24 ;
b) C x x è una lettera della parola «ortolano»,
D x x è una lettera della parola «fruttivendolo».
Determina due insiemi A e B tali che abbiano i seguenti insiemi unione e intersezione.
A B a, b, c, d , e, f , g , h , A B a, c, f
Rappresenta graficamente gli insiemi A, B, C seguenti e dai la rappresentazione tabulare di AB e
B C.
A 1, 2, 3 ;
B 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ;
C 3, 4, 8, 9.
AB 4, 5, 6, 7 ; B C 1, 2, 5, 6, 7
Dati gli insiemi: A x x , 2 x 7 , B x x , 3 x 6 , C x x , 1 x 9 ,
determina, rappresentandoli in forma tabulare, i seguenti insiemi.
A B C ; A B C.
Rappresenta per elencazione la differenza A B dei seguenti insiemi numerici.
A x x , x multiplo di 5, x 30 , B x x , x multiplo di 10, x 20.
Rappresenta mediante proprietà caratteristica l’intersezione A B dei seguenti insiemi.
A x x 4n, n , B x x 5n, n .
Indica quanti elementi hanno gli insiemi A B; A
B
C ; B C ; A C ; A B .
A x x , 2 x 4 , B x x , 10 x 10 , C x x D, x 20.
In ognuna delle seguenti figure, esprimi la parte a righe usando le operazioni di unione e
intersezione fra gli insiemi A, B e C assegnati.
Ricopia la figura e colora i seguenti insiemi.
A;
a) A B C;
b) A B C B C ;
c) A B C A B ;
d) A B B C C A .
Dati
i due insiemi A e B, scrivi la rappresentazione tabulare di A B e
B A e, in seguito, la rappresentazione cartesiana. Determina inoltre A B B A .
A a, b, c, d ,
B a, e, c.
Dati gli insiemi A 0, 1 , B e, f , g , C 0, 2 , D e, h , determina il risultato delle seguenti
espressioni.
A C B;
D B C;
A B C D .
5. L’insieme delle parti e la partizione di un insieme
Determina l’insieme delle parti di ciascuno dei seguenti insiemi.
A 1, 2 ;
B a ;
C x, y, z, t.
;
Considera l’insieme A x x , 1 x 10 e stabilisci se A1 , A2 , A3 , B1 , B2 , C1 , C2 , C3 sono
partizioni di A.
A1 x x , 1 x 3 ,
A2 x x , 4 x 8 ,
A3 x x , 7 x 10;
B1 x x D, 1 x 9 ,
B2 x x P, 0 x 10;
C1 1, 8, 9 ,
C2 2, 10, 4 ,
C3 3, 5, 6 .
LA LOGICA
1. Le proposizioni logiche
Indica quali, fra le seguenti frasi, sono proposizioni logiche e attribuisci a queste ultime il relativo
valore di verità.
« 1 1 è uguale a 5»;
«Non si può fumare in classe»;
«W le vacanze!»;
«3 è un divisore di 6»;
«6 è multiplo di 1».
2. I connettivi logici e le espressioni
In ciascuna frase è contenuta più di una proposizione logica. Traduci ogni frase in una proposizione
composta, usando una variabile logica per ogni proposizione semplice e i connettivi «e», «o»,
«se …, allora».
«Maria studia al liceo e suona al conservatorio»;
«Il gatto mangia o fa le fusa»;
«Un quadrilatero con quattro angoli retti è un quadrato oppure un rettangolo».
La negazione: non
Scrivi la negazione delle seguenti proposizioni.
«Il semaforo verde fa scorrere il traffico»;
«In città non uso mai il motorino»;
«Non ti regalerò nulla»;
«Non è vero che Luigi non si sposa fra un mese».
Indica quali coppie di proposizioni sono formate da un enunciato e dalla sua negazione.
a) «Vedo un gatto nero», «Vedo un gatto bianco»;
b) «Esco di casa», «Resto in casa»;
c) «Salgo le scale», «Scendo le scale»;
d) «Vinco la partita»; «Perdo la partita».
La congiunzione: e
Date le proposizioni:
A: «14 è divisore di 7»,
B: «14 è un numero pari», C: «14 è minore di 9»,
traduci in parole ognuna delle seguenti proposizioni composte. Assegna infine i rispettivi valori di
verità, compilando la tavola di verità relativa.
Costruisci la tavola di verità di ciascuna delle seguenti proposizioni composte.
A B A ;
A B;
A B.
La disgiunzione
Costruisci la tavola di verità delle seguenti proposizioni composte.
B A,
A B A,
A B,
A B A;
A B,
B A B ,
A B,
A B A.
L’implicazione
Date le proposizioni A e B, traduci in simboli le seguenti proposizioni composte.
A: «Ho fame», B: «Vado al bar».
a) «Ho fame, ma non vado al bar»;
b) «O non ho fame, o vado al bar»;
c) «Ho fame e vado al bar»;
A B; A B; A B; A B
d) «Se ho fame, vado al bar».
Le tautologie e le contraddizioni
Utilizzando le tavole di verità, per ognuna delle seguenti espressioni indica se è una tautologia o
una contraddizione.
A B A ;
A B A B;
A B A B B.
[C; T; T]
3. La logica e gli insiemi
Considera i tre enunciati aperti:
A(x): «x è un’automobile con cilindrata superiore ai 2000 cc»;
B(x): «x è un’automobile di marca straniera»;
C(x): «x è un’automobile con motore a benzina».
Scegli un opportuno insieme universo U e disegna l’insieme di verità dei tre enunciati A(x), B(x) e
C(x). Rappresenta, infine, con i diagrammi di Eulero-Venn l’insieme di verità dei seguenti enunciati
composti.
C,
B A,
A C,
A B,
C B A .
4. I quantificatori
Trasforma i seguenti enunciati aperti in proposizioni utilizzando i due quantificatori « » e « ».
Tenendo presente l’insieme universo U assegnato, scrivi di fianco a ogni proposizione il suo valore
di verità.
a) U ,
A(x): «x è minore di 0»;
b) U triangoli isosceli , B(x): «x è un triangolo equilatero».
Dato l’insieme universo U e gli enunciati semplici aperti A(x), B(x), C(x), trasforma gli enunciati
composti seguenti in proposizioni utilizzando i quantificatori e , e scrivi per ognuna il valore di
verità.
A(x): «x è divisibile per 4»,
U ,
B(x): «x è pari»,
C(x): «x è multiplo di 3»,
A x B x ;
A x B x;
C x B x;
B x C x.
I sillogismi
Stabilisci se i seguenti sillogismi sono validi, utilizzando i diagrammi di Venn.
I MONOMI E I POLINOMI
1. Che cosa sono i monomi
Fra le seguenti espressioni indica quelle che sono monomi, spiegando perché hai escluso le altre, e
determina il loro grado complessivo e quello rispetto a ciascuna lettera.
1
xy
2
4a
4 xy 1; a 4 ; 3 a c ;
5a 0 ;
;
; 71 bc;
.
3 5 b3 ;
4
5
3x
3
Riduci a forma normale i seguenti monomi indicando poi la parte letterale e il coefficiente.
3 3 2 2 1 3 2
4
49
1
a b ab x b x ;
xy 3 xyz 2 yz 3 .
2
7
9
2
16
3
1 4 6 3 7 2 5 5
6 a b x ; 12 x y z
Riduci a forma normale i seguenti monomi e indicane il grado complessivo.
mn m2
4
7 2
2
2 3
b ac 9 b a c ab;
2 n2 n mn3.
2 3
8
5
3
4 4 5
21 5 4 3
4 a b c , 12 grado; 5 m n , 9° grado
Individua i monomi simili nei seguenti gruppi n 1 e naturale .
x 3 xy,
2 x 2 y,
a) 3xy,
7 y 4 x;
2 xy,
n 1
n 1
b) a b,
2a b,
a b3a ,
a 4ba ,
a 2 nba.
Scrivi tutti i possibili monomi di terzo grado complessivo, nelle lettere x, y, z, con
coefficiente 7.
2. Le operazioni con i monomi
Esegui le seguenti somme algebriche di monomi (m, n ).
bx 2 3x 4 5a3 7a3 2 x 4 2bx 2 3a3 x 4 ;
1
2
1 1
5a3 bx 2 ; 2 x3 xy
x3 xy x3 y 3 xy y 3 .
6
3
6 3
2n
n
n
n
x n 3x m 3x n 4 x m 4 x n ;
8
1
a 2bn ab 2 n bn a 7a 2b n ab n ab 2 n .
3
2
Calcola i seguenti prodotti di monomi
1
1
5ab3 a3b 5a 2b 2 ;
xy 9 x 4 y .
3
10
2
3
4 xy 2 x 2 y 4 x3 y 2 ;
a 2b 10ab .
5
8
Semplifica la seguente espressione.
13 n
n
m
2 n
2 x x ; 8a b 6 ab
1
1
ab 4a 2b a 2 3a 2b 3a 2b 5a 2b
2
2
3 1
1
2b a 2 ab 4a 4b a 2 4a 2b 2a 2b
2 4
2
5 6 6
5 2
2 a b ; 3x y
6 x6 y 5 ; 4a3b2
2a 2b
2a 2b
Calcola le seguenti potenze di monomi.
3a b
4
4
,
5x y
3
2b c
2
2
b c
4
,
2
3
2
1
x3 y 4 ;
6
,
x y .
4
,
5 3
Scrivi i monomi i cui quadrati sono i seguenti.
49 36 100
1 2 8
16a10b2 ;
x y ;
ac.
64
36
Semplifica l’espressione con potenze n con n 1 .
3
2
1
4
a 2ab2 3b2 ab 3 ab3 a 2 2a 2b 4 3a 2b 2
2
2
3
1 2 3 1 2 1 3 4 1 2
a b ab a b ab a
3
2
3
2
2
n
2
2
1 2 3 n
1
8
x y
x y xy 2 x n y n xy n 2 2 x n1 y xy n
3
2
3
2 6
Esegui le seguenti divisioni fra monomi.
3 6 5 10 9 2 5
1 4 2 1 2 2
x y z : x yz ;
a b c : a b .
5
20
25
5
8a 4b6
5 4 6
72 a b
2 2 n 1 3n 2
3 x y
1
4 4 4 5
3 x y z ; 5 c
2
3 3 2 1
5 3 2 5 5 2
a b c : abc ;
x yz : x y z .
4
2
2
4
Semplifica l’espressione.
3 2
1
2
1 4 3 2
2
4 x 2 xy 5 x y : 5 xy : xy 3 y 3x
2
2
2
2
2
5 2 1
3x 2 x y : 2 xy 3x z : xz : 2 x
2
5 3
2
3a b; 2 xz
3
2
2
5 2 1 4 2 1
1
1 5
2
2
3x y x y : x y y x xy xy xy xy
2
6
4
3
2 6
5x 2 y
2x 2
x3 y 3
2
5 6 2 2
2
1
3 2
3 3
2 7
7
7 2
2
xy
:
2
xy
2
x
xy
x
y
:
xy
2
x
y
0
2
3
5
Traduci la seguente frase nell’uguaglianza fra due monomi.
«Il quadrato del prodotto di un numero per il doppio di un secondo numero è uguale al
quadruplo del prodotto dei quadrati dei due numeri».
x 2 y 2 4 x 2 y 2
«Il prodotto dell’opposto di un numero per il doppio di un secondo numero è uguale
all’opposto del doppio del prodotto dei due numeri».
x 2 y 2 xy
Esprimi la misura dell’area grigia mediante un monomio.
33 2
4 a
29 2
2 b
Esprimi attraverso un monomio in b e h l’area della regione evidenziata.
1
4 bh
7
32 bh
7
3
a , la base minore uguale a a e l’altezza è la metà
2
2
5
della base maggiore. Calcola l’area del trapezio. Se si aumenta la base maggiore di a , qual è la
2
differenza tra l’area del nuovo trapezio e l’area di quello vecchio?
35 2 55 2
8 a ; 8 a
5
2
Un trapezio ha la base maggiore uguale a a , la base minore uguale a a e l’altezza è la metà
3
3
1
della base minore. Calcola l’area del trapezio. Se si diminuisce la base minore di a , qual è la
6
differenza tra l’area del vecchio trapezio e l’area di quello nuovo?
7 2 17 2
18 a ; 144 a
3. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo fra monomi
Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti gruppi di monomi.
20a 4b2c,
8ab5 ,
12a 2c3 ;
Un trapezio ha la base maggiore uguale a
a 2 a,
a3ab2 ,
3a 2 6a3,
2a 2b2ab2 ,
2a 3 2 a 2 ;
2ab3 .
4. Che cosa sono i polinomi
Indica quali polinomi sono omogenei, quali completi e quali ordinati. Per ogni polinomio scrivi
inoltre il grado complessivo e il grado rispetto a ogni lettera.
1
1
x4 5x3 2 x 1;
5a3 4b3 ;
y 2 3a 2 y a3 y;
a3b5 5a2b2 a5b.
4
5
5. Le operazioni con i polinomi
Semplifica l’espressione.
2 3 1 3 7 2
3 3 1 2 1 3 5 2 1 2
x x y y xy x y y x xy
4
2
3 2
2
2
3
4
2x3 y 3 xy 2
3
1 1
3 1
xy x y xy 2 xy 2 x y 2 xy
2
2 2
2 3
1
2 2
2 xy x y
2
3 ab
2a 2b a b 2a b
1
1
1
a b 2b 3a a b
2
2
3
6 xy y 10
x2 1 y 2 3xy 6 13 x 2 2 x x 1
1
Posto X 3x y, Y y 2 x 2 , Z 2 xy, semplifica la seguente espressione.
2
9 3
39 2
2
3
X Z 3Y 2 XZ
15 xy 2 x 3 y 2 x y
4
In un trapezio isoscele la base maggiore supera di 2a la base minore b, il lato obliquo è
della
3
base minore, mentre l’altezza è metà della base maggiore. Esprimi con un polinomio ridotto la
misura del perimetro e dell’area del trapezio.
14
3
1 2
2
2a 3 b; a 2 ab 2 b
Esprimi mediante un polinomio ridotto a forma normale il perimetro e l’area della zona evidenziata.
4a 8c; a 2 2b2 4ab c 2
18a 2c; 12a 2 bc
6. I prodotti notevoli
Utilizza i prodotti notevoli per calcolare il risultato delle seguenti espressioni m, n
2a
3
4 2 4 2
ab 11 ab .
9
9
3b2 2a3 3b2 ;
5a 3b
2
2 x
;
2
2a b
3y
2 2
2
1 3 1 3
a b ;
2
3
;
2
1 n
2n
x 3y ;
4
2 2
2
y
n
5 x .
2
ab 3 ;
2
2
1
1
3y x .
2
4
2ab
2
a3b .
2
.
3
3
3
2 xy 2 x 2 .
x 2y ;
2
2
2x x 2 2x2 x 2 ; x y z t x y z t .
Completa in modo da ottenere il quadrato di un binomio.
xy y 2
2
... .
4a 6ab ...;
3
9
a2
16 x 2 ... .
... 4 xy 2 4 y 2 ;
4
Utilizzando il triangolo di Tartaglia sviluppa le seguenti potenze di binomio.
a bc
5
4
y
x .
2
;
5 4
5 3 2 5 2 3 5 4 1 5
4
3
2 2 2
3 3
4 4
5
a 4a bc 6a b c 4ab c b c ; x 2 x y 2 x y 4 x y 16 xy 32 y
Utilizza i prodotti notevoli per semplificare l’espressione.
2
43 2 9 2
12 b 4 a
3 3
2
1
a b b a a b 3 2a a b
2 2
3
2
2
2
1 2 4
2 y 3 xy
3 4
3
4
2 a a b
1
1
2 8
2
x y 2 x x y x y y x x 2
2
3 3
3
3
2
1
3
b4 3 a b 1 b 1 a 2 b 2
2
2
1
2
3
1
12a a b a b b b 2a 2a 4a 2b 2a b
2
2
a b
2 3
x 3x 2 x x 2 x 3 2x x 1 x x 10
a 2 a 3a 1 a a a 2 a 3 a 2a 3 a a
2
2
2
3
2
3
2
14a3
2
2
2
3
2a 2 13
x 2 4
4a 2 9
7. La divisione fra polinomi
Calcola il risultato della seguente divisione di un polinomio per un monomio ed esegui la verifica.
1 2 2
8
4 2 2 3 3
2 4
12a 2 ab 16b 2
3a b a b 4a b : a b
3
3
4
1 3
27 3
5 3 3 4 4
3 5
81x 2 y 2
xy 27 y 4
9 x y x y 3x y : x y
2
2
9
Esegui la seguente divisione fra polinomi e scrivi quoziente e resto.
Q 2b2 3b 5; R 0
22b2 12b3 8b4 3b 5 : 4b2 1
10a
4
15a3 19a 2 7a 16 : 5a 2 3
5 2 3
2
2
x x 2 x 4 : 2 x 1
3
5
1 5
1 2
4
x x x 3 : x 1
2
2
2
7 2
1
6
4
3
2
2 x x 4 x x 5 x : x x 1
2
2
Q 2a 2 3a 5; R 2a 1
1 3 1
1
Q 2 x 12 x 1; R 12 x 5
9
3
2
Q x 2 x 2 x 4; R 2 x 7
3
1
4
3
2
Q 2 x 2 x x 3x 2 ; R 2 x 2
Esegui la seguente divisione fra polinomi, considerando come variabile la lettera scritta a fianco.
1 3
1
6
4
2 2
4
2
Q 2a 2 b; R 2 b3
a
2 a a b 2a b 2 b : a b
2
2
3 3
5
2 4
6
6
3
3
3
2
3
4 2
a b 3a b a b 6b a : a b a Q a 3ba 2b ; R 2b a 4b6
8. La regola di Ruffini
Determina per quale valore di a il seguente polinomio è divisibile per x 2 .
32
3
3
3x3 ax2 4 x a
x5 3a2 x3 6a2 x2 2ax 20
Esegui la divisione applicando la regola di Ruffini.
3a 4a3 a5 6 : a 2
2x
5
Q a 4 2a3 3; R 0
Q 2 x 4 4 x3 2 x 2 4 x 9; R 13
x 6 x3 5 : x 2
3
4 5 2
4y y 9y 9 : y
4
4
5 3
2
4 4
a a 1 a : a
9
3
3
7b3 b2 2b4 4b 3 : 2b 1
6a
4
a
4a 2b a 3ab2 3b : a 3b
39
27
3
2
Q 4 y 3 y y 4 ; R 16
2
3
2
Q a a 3 a; R 1
Q b3 3b2 2b 1; R 2
5a3 23a 2 20a 4 : 3a 1
Q 2a3 a 2 8a 4; R 0
Esegui la seguente divisione, considerando come variabile la lettera scritta a fianco.
x
Q 3x 5 y; R 0
15x 5 y 9x2 y 2 6xy : y 3x
3
a
Q a 2 ab 1; R 0
9. Il teorema del resto
Calcola il resto delle seguenti divisioni, considerando come variabile la lettera scritta a fianco
(quando indicata).
1
1
4
2
3
0; 0
a 6 a 2 b 2 a 4b b 3 : b a 2 b ;
4y 2y 4y y : y
4
2
11
1
4
55
3
2
3
2 2
6
4
2
5a 3a 2a a : a ; y x y x x y : y x y
48 ; 0
6
2
10. Il teorema di Ruffini
Stabilisci se il polinomio assegnato è divisibile per ciascuno dei binomi scritti a lato.
5
1
[no; no; no; no]
2a 1, a 1, a 2, a .
12a 4 a ;
3
3
1
36 x 4 13x 2 1;
[sì; no; no; no]
3x 1, x 1, x 2, x .
4
LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE
1. La scomposizione in fattori dei polinomi
Scomponi in fattori i seguenti polinomi, raccogliendo a fattor comune un monomio.
3
15 9 21 6 3 3
2
2 x y 2 y 3x 4 y 2 ; x3 5 x 6 7 x3 1
4 x 2 y 2 6 x3 y 8 x 2 y 3 ;
x x x .
4
4
4
4
5
20 15 10 10 5 5
2 2
3a b 3ab 2 4b 1 ; x5 4 x10 2 x5 1
x x x
9a3b4 12a2b3 3a 2b2 ;
3
3
3
3
Scomponi in fattori le seguenti espressioni algebriche, raccogliendo a fattor comune un polinomio.
a 3 2a 4 a 2 a 3 ;
2 x 3 x2 2 x2 2 2 x 4 . a 3 a 2 ; x2 2
3x 2 2 x 2 3x 2 x 1 ; 2a2 b b2 1 2a2 b 1 b2 .
3x 2 x 1 ; 2 2a 2 b
Scomponi in fattori con il metodo del raccoglimento parziale (con m, n
ax2 ab2 b2 x x3 ;
y
2
).
y 7 y 2 7 y;
2
2a x 2 y 2 x 2 y 2 b b 2a .
2
a x x b x b ; y y 1 y 2 y 7 ; 2a b x 2 y 2 2a b
4 a 2 x3 2ax 2ax 2 ;
2a b 4a2 2ab;
x 2 x 2 3x 2 6 x 4 x 2 .
2
2 ax 2 ax 2 ; b b 2a ; x 2 x 4 x 1
a n1 2abn ba n 2bn1;
3x n 3x 2 m n 1 x 2 m .
a n 2bn a b ; 3xn 11 x2 m
Scomponi in fattori, dopo aver osservato che ciascun polinomio è la differenza di due quadrati.
2
4 a 2 .
a 2 64b2 ;
16 x 4 y 4 ;
a 8b a 8b ; 2 x y 2 x y 4 x 2 y 2 ; a 4 a
36 x 2 y 2 ;
a 4 81b4 ;
x 3 9.
6 x y 6 x y ; a 3b a 3b a 2 9b2 ; x x 6
2
Scomponi in fattori, dopo aver osservato che ciascun polinomio è il quadrato di un binomio.
1 2
2
9 x2 6 xy y 2 ;
a 4a 8;
a 3 8 a 3 16.
2
2 1
2
2
3x y ; 2 a 4 ; a 7
1 2
2
9 6 a 2 a 2 .
a 2 8ab 16b2 ;
x 3 2 x;
3
2 1
2
2
a 4b ; 3 x 3 ; a 1
Scomponi in fattori, dopo aver scritto ciascun polinomio come la differenza di due quadrati.
2
3x2 6 xy 3 y 2 3;
a 2 b2 1 2b. 3 x y 1 x y 1 ; a b 1 a b 3
5 a b 1 a b 1 ; y x 1 y x 5
Riconosci nel seguente polinomio il quadrato di un trinomio.
2
3
2
9 2 4 2
4
b
a
1
b a 3b 2ab 1 a.
4
9
3
3
2
5a 2 10ab 5b2 5;
y 3
2
x 2 4 4 x.
2
1
5
x y 1
2
5
1 2 25 2
2
x
y 5 y 1 xy x.
25
4
5
Scomponi in fattori, riconoscendo il cubo di un binomio.
1 5 2 1 2 5 1 3 4 1 4 3
27 xy 2 x3 9 x 2 y 27 y3 ;
ab ab ab ab .
54
2
2
6
3
3 1 2 21
3 y x ; a b a b
2
3
1 4 3 3 3 4 1 6 3 2 5
a3 6a 2b 12ab2 8b3 ;
x y x y xy
x y.
5
10
40
20
3
1
3 1
3
2b a ; xy x y
5
2
Scomponi in fattori, riconoscendo la somma o la differenza di due cubi.
2 3 16 9
3
3
x3 y 6 125;
a b;
a 1 a 2 .
3
81
2
2
2 3 2 2 3 4 6
2 4
2
2
xy 5 x y 5 xy 25 ; 3 a 3 b a 3 ab 9 b ; 2a 1 a a 7
81 3 3 6
3
3
8 a 9 b3 ;
x y ;
b 2 b 1 .
16
2
33
3 2
3
3
6 2
2 9 2
4
2
2 a b 4 2a b a b ; 2 2 x y 4 x 2 xy y ; 2b 1 b b 7
Scomponi in fattori i seguenti trinomi particolari di secondo grado.
x 8 x 6 ; a 16b a b
x 2 2 x 48;
a 2 15ab 16b2 .
a 2 5a 36;
x2 13xy 14 x 2 .
Scomponi in fattori i seguenti trinomi particolari.
x 2 3x 28;
a3 12a 2b 20ab2 .
x 2 x 30;
a3 7a2b 18ab2 .
Scomponi in fattori utilizzando la regola di Ruffini.
a 4 a 9 ; x y x 14 y
x 7 x 4 ; a a 10b a 2b
x 5 x 6 ; a a 9b a 2b
6 x3 13x2 14 x 3.
x 3 2 x2 x 7
2
x 1 4 x x 8
2 x 1 x 3 3x 1
8x3 26 x2 5x 3.
2 x 1 x 3 4 x 1
4 x 5x2 2 x3 21.
7 x 3x2 4 x3 8.
Scomponi in fattori i seguenti polinomi.
9 x3 y 6 x 2 4 y 6 xy 2 ;
2
1
1
3 a b a b;
3
3
3ax 2 6a 2 x;
1
z 2 z x2 .
4
2
1
1
3x 2 y 3xy 2 ; z 2 x z 2 x
x 2 a 2 b2 4 y 2 a 2 b2 4a 2 xy 4b2 xy.
3xy y 6 x 2 2 x;
1
2
3 a b a 3b 1 ; a b a b x 2 y
3
2
3x 12 xy ;
1
9a 2 3ab b 2 ;
4
64 x6 y 6 ;
x2 9 x 14.
3ax x 2a ; 3x 1 y 2 x ;3x x 2 y x 2 y ;
2
1
2
2
2
2
3a b ; 2 x y 2 x y 4 x y 2 xy 4 x y 2 xy ; x 7 x 2
2
2
2
2
2
4 x a x a y 4 y;
25a 10ab b 4 20a 4b;
27a3b 54a3 b 2;
x2 8x5 4 32 x3 .
2 a 2 a x y ; 5a b 2 2 ;
2
3a 1 9a 3a 1 b 2 ; 1 2 x 1 2 x 4 x2 x 2 x 2
2. Il M.C.D. e il m.c.m. fra polinomi
Determina M.C.D. e m.c.m. dei seguenti polinomi
25 9b2 30b;
9b2 25;
10 x 10 y 6bx 6by.
4a3 4;
M.C.D. 3b 5 ; m.c.m. 2 3b 52 3b 5 y x
2
2
2a 2a 2;
a x ax x.
x 4 16;
3x 2 2 x 8;
81 x 4 ;
M.C.D. x 2; m.c.m. x 2 x 2 3 x 2 4 3x 4
2
3
2
2 x 7 x 3;
x 9 x 27 x 27.
M.C.D. a 2 a 1; m.c.m. 4 x a 1 a 2 a 1
3
2
x 6 x 12 x 8.
M.C.D. x 3; m.c.m. x 3 x 33 x 2 9 2 x 1
3. Le frazioni algebriche
Scrivi le condizioni di esistenza delle seguenti frazioni algebriche.
7 x ab
a b
2a 1
2a b
;
.
;
;
2
2
2
2
x 9a
ab
a b
3a 9b
x 3a; a 0 b 0; a 3b; a b
1
;
x y2
2a
;
3 2b
2 x2 1
.
a 3b 3
3x
;
2
x 1
3
x
y
2;
b
; x ; a 0 b 0
2
4. Il calcolo con le frazioni algebriche
Semplifica le seguenti frazioni algebriche dopo aver determinato le condizioni di esistenza.
6 x3 y 2
1 2b b 2
3 b 1
;
.
4 2
3
2
5 xz ; b 2
10 x y z
b b
10ab6
;
14a 4b 2 c3
4 4a a 2
.
a 4 2a 3
a4 x4
;
a3 3a 2 x 3ax 2 x3
2x y x y
2
4 y 2 x 2 4 xy
2
.
5b 4 a 2
7 a 3c 3 ; a 3
2
2
a x a x 3x
;
2
x 2y
a x
a 2b a b
2
x 4 16
;
x3 4 x 2 x 2 8
b 4ab 4a
2
xa y 8 xy
;
2 2 2
x a y 2 x 2 ay 2 4 x 2 y 2
3
3
3
2
2
3b
x 2; b 2a
ay 2 y x y
x ; 2x y
.
y xy 2 x 2
.
y 2 4 x2
2
a3 x3 y 3 a 3
2a 2 3ab 2b 2
;
.
a 2 x3 y 2 a 2 x 2 y a 2 x
4a 2 b 2
Esegui l’espressione e semplifica il risultato, se è possibile.
x 1 5 3x 3x 2 7
x 2 x 3 x2 x 6
axy a a 2b
x ; 2a b
x2 7 x 6
x2 x 6
x
x 1
x2 5
x 1 x 2
2
x x 2 2 x x 1
2 xy
4 x 2 y 2 xy 2 2 x 10 y
4 x 2 2 xy
4 x2 y y3
5y x
3
x
2y x 2y
1
2 x 2
48 9a
a 3 64
x 2y
x 2 2 xy 4 y 2 x 2 2 xy 4 y 2
x 2 2 xy
4 xy 2 x3
2 x2 y 8 y3
2 x2 4 x 3
5
x
2
3
x 1
2x 2 x x 1
2
a 3
4 a2
a 4 16 a 2 4a a3 64
Semplifica l’espressione.
1
b 1 b 2
b2 4 b 1 b 5
1
2
: 2
2
2
b 2b 1 b 3b 2 b 6b 5 b 4b 4
a
a a 2 a 2b 2b a
a 1 1 : :
2b
2b 2b 2b a
1
6 x 9 x 3 y x 2 4 xy 2 y 2
2x y x
: 1 : 1
2
2
x 2y
x 2 xy
2x 3 x y
9 4x
2
2
x x y
2
y
Esprimi la lunghezza b della base del rettangolo in funzione di a, x e A, dove A è l’area della zona
ombreggiata.
4 A 3x 2
b
4a
Indicata con A l’area del trapezio, esprimi la lunghezza b della base minore in funzione di a, h, e A.
4 A 3ah
b
4h
LE EQUAZIONI LINEARI
1. Le identità
Verifica che la seguente uguaglianza è una identità e scrivi sotto quali condizioni ha significato.
x 1
3
12
1 2
x2 x2
x 4
2. Le equazioni
Scegli la soluzione dell’equazione fra i valori proposti a lato.
8 2 4 x 1 6 x 2,
x 2; x 0; x 4.
x 4
6 3 2 x 1 4 x 3,
x 1; x 0; x 3.
x 3
x 1, x 2
x 2 x 3x 1 4 x 1,
x 1; x 2; x 3.
Riduci a forma normale la seguente equazione nell’incognita x e scrivi qual è il grado e il termine
noto.
3 3
x x2
3
9 3
5x 1 0; 1; 1
2 x 1 x 1 x 0
5 2
5
10
5
3
2
1
4
x
2 5
1
2
2
8 x 2 4 x 5 x 2 x 3 x 16 0
2
2
3
2
4
x 2
2
3x 2 0; 1;
2
7 2
x 4 x 0; 2; 0
4
4
Scrivi un’equazione di primo grado in x, che abbia come termine noto 14 e come soluzione
x 2.
7 x 14 0
2 x 1 x 1
3 x 1 0
3. I princìpi di equivalenza
Sono assegnate due equazioni, ciascuna delle quali ha una sola soluzione. Tale soluzione è uno dei
numeri reali scritti tra graffe. Stabilisci, senza risolvere le equazioni, se queste sono equivalenti o
meno.
1
1 3
1 4
1 1
e
x 4x 1
x x;
sì
1; 11; .
11
2 2
6 3
3 2
2
1
1
3
1
1
e
x 1 x
x2 x ;
1; 9; 6.
no
3
2
2
4
2
2
Risolvi la seguente equazione, specificando in quali passaggi applichi il primo o il secondo
principio di equivalenza delle equazioni.
1
5
1
x
6 x 2 3x 2 x 8 2 x
12
4
4
4. Le equazioni numeriche intere
Stabilisci se l’equazione assegnata è determinata, indeterminata o impossibile.
x 8 x 4
x 1
1
12
4
3
x 8 x 4 x 1
12
4
3
Risolvi l’equazione numerica intera.
1
1 1
1 1
2
3x 6 x 1 x x 1
2
5 4
30
15 6
[impossibile]
[indeterminata]
1
1
1
1
2
x x 2 x 3 x x 18
2
2
4
4
x 1 x 1 1 x 2 2 2 x 1 2 x 1 23
3
3
4
3
4
12
1
1
2
x 4 2 32
x
3 2 x 4 x
x 2
2
2
4 3
3
x 1
6
2
x 3
4
2
x 2
3
2
x 1
1
2
12
1 2 x 1 x 1
1 x x 1
2
3
6
6
2
2 5x 3 x 3
x 2 12
x
2
10
x
3
3 x 3
15
3
6
13
5
6
5
5
4
3
2
5
4
5. Le equazioni fratte
Risolvi l’equazione numerica fratta, scrivendo C.E. e m.c.m. dei denominatori.
4x 2 2x 3
6x
x 1
x 3 4x 2 2x 1 2x 6
2x
2
x 1
x3
4
3x 4 x 5 x
3 x 5
3
8
x 1 3 3x
x3
4x
2x 5 x 1
10 4 x 2 x 1
2
x
2
15 x 4 5 x 3
6
4x 2 x
4x 2
2x
11 4 x
1
1
2
2
2 x 5 6 x 19 x 10 3x 2
4x 7
1
5
2
2
2x 5
x 1 2x 7 x 5
6. Le equazioni letterali
Risolvi la seguente equazione letterale intera rispetto a ogni lettera che vi compare.
a 1 x 2 2 a 3 x 1
2
5
x 3
x 0
1
x 5
1
x 2
6
x 7
x
5
4
x
2
3
3
x
16
x 3
23
x 38
x 1
x 2
x 3
2a 3
5x 3
a 5, x a 5 , a 5, imp.; x 2, a 2 x , x 2, imp.
1
2
2a 1 x 3 ax 4a
2
16a 6
2
16
2x 6
16
a 3 , x 3a 2 , a 3 , imp.; x 3 , a 16 3x , x 3 , imp.
Risolvi l’equazione letterale intera nell’incognita x.
3 1 4a x 2 a x 3 2a 3a x 3
6 1 2a x 2 2a a x 3 3a x 3
3
6 10a
3
a 8 , x 3 8a ; a 8 , impossibile
3
6 5a
3
a 4 , x 3 4a ; a 4 , impossibile
7. Equazioni e problemi
Risolvi i problemi.
Luca versa in banca € 2100 in 30 banconote, in parte da € 10 e in parte da € 100. Quante sono le
banconote da € 10 e quante da € 100?
[10; 20]
Il rettangolo ABCD viene trasformato in quadrato, diminuendo di 25 cm la lunghezza dell’altezza e
aggiungendo 12 cm alla lunghezza della base. Calcola il perimetro del rettangolo, sapendo che la
lunghezza dell’altezza è doppia di quella della base.
[222 cm]
La somma delle lunghezze di due segmenti è 33 cm, calcola la lunghezza di ciascuno di essi
1
sapendo che il primo segmento aumentato di 2 cm risulta uguale a
del secondo. [5 cm; 28 cm]
4
Una corda lunga 58 cm viene divisa in tre parti. Sapendo che la seconda è lunga 2 cm più del
doppio della prima, e che la terza è lunga 3 cm più del doppio della seconda, quanto misurano le tre
parti?
[7 cm; 16 cm; 35 cm]
Dati due tipi di assi di legno, il primo è 20 cm più corto del triplo del secondo. Sapendo che, usando
una dopo l’altra due assi del primo tipo e sette del secondo, si riesce a coprire esattamente una
lunghezza di 10 m, quanto sono lunghi i due tipi di assi?
[220 cm; 80 cm]
Se a un numero si aggiunge il suo triplo e si sottrae la sua terza parte, si ottiene 44.Determina il
numero.
[12]
Se al doppio di un numero si aggiunge il suo quadruplo e si sottrae la sua metà, si ottiene 33.
Determina il numero.
[6]
2
Un trapezio isoscele di area 92 cm ha l’altezza lunga 4 cm. Sapendo che la base minore è lunga il
quadruplo del lato obliquo e che la base maggiore supera di 11 cm il triplo dello stesso lato obliquo,
determina il perimetro del trapezio.
[56 cm]
Un trapezio isoscele di area 72 cm2 ha l’altezza lunga 4 cm. Sapendo che la base minore è lunga il
triplo del lato obliquo e che la base maggiore supera di 1 cm il quadruplo dello stesso lato obliquo,
determina il perimetro del trapezio.
[46 cm]
La somma di numeratore e denominatore di una frazione è 21; sommando 7 a entrambi si ottiene
15
[8; 13]
. Calcola numeratore e denominatore.
20
17
Quale numero si deve sottrarre a ciascun termine della frazione
per ottenere una frazione
32
28
equivalente a
[3]
?
58
LE DISEQUAZIONI LINEARI
1. Le disuguaglianze numeriche
È data una disuguaglianza. Scrivi disuguaglianze fra gli opposti e fra i reciproci dei membri, poi
verifica la correttezza delle risposte posizionando i sei numeri su una stessa retta.
8 10
Sono date due disuguaglianze dello stesso verso. Sommale membro a membro e verifica, riportando
i numeri su una retta, che ottieni ancora una disuguaglianza dello stesso verso.
1 3 3 7 13
1 1 1 3
3 : 2;
3 5
: .
6 29 4 8 8
3 2 2 4
2. Le disequazioni di primo grado
Determina quali fra i seguenti valori di x sono soluzioni della disequazione 4 7 x 5x.
1
1,
2,
0,
.
6
COMPLETA la tabella in modo che, in ciascuna riga, compaiano tre rappresentazioni dello stesso
insieme dei valori di
3. Le disequazioni intere
Risolvi la disequazione numerica intera, scrivendo le soluzioni sia come diseguaglianze sia come
intervalli della retta reale. Infine rappresenta tali soluzioni su una retta.
x 3 x 5 7 x 4 2 3x 2
x 22
x 12
impossibile
x
3 2 x 5 3 4 2 x 2 x 6 2 6 x 4
x 3 2 x x 5 x 2x 2 4 x
2
x 3x 3 2 x x 2 6 x 4 2
2
5x 1x 2 3 x 1 2 x 6 x 2 2 x 3 2 1 2 x
2
x 1
2
x
x2
1
1
x 1 x x 2 x 1 x 3x 2
3
3
2
2
3
2
x 5 2 x x 1
x 3x 1
2
2
x 2
2
2 3 2
2
x
5
2
1
x 7
35
x 19
Risolvi la seguente disequazione.
3x 2 x 5 0
2 x 54 x 1 0
1
3
2 x 2 x 0
2
2
3 2 x 4 x 3 0
2
3 x 5
1
5
x 4 x 2
3
1
4 x 4
3
3
4 x 2
4. Le disequazioni fratte
Risolvi le seguenti disequazioni numeriche fratte, scrivendo l’insieme delle soluzioni mediante
intervalli.
1
1 x
1
x x 1 x 6
x 3
4 0.
;
0;
2
1
x 3 2 x 3
2
3x
x
5
3
11
5
0; 3; 4 ; 3; ; 6 4;
10
1
x
x 3
x 5 2 x2 2
2x
3
6 0.
x
;
0;
1
1
2x 1
4x 2 1 2x
x2
x
2 3
1
1 3
0; 2; ; 5; +; ;
2
20 2
5. I sistemi di disequazioni
Risolvi il sistema di disequazioni.
3x 2 4 x 2 4 2 3x 7 x 2
3 x 0
6
x
3
4
x
9
5 x 1 5 3 x 4 3 1
impossibile
3 x 1 2 x 1 x 4
2
1 9 x 12 x 3x 1 3x 1 4
1
x 1
2
3
x 1 x 1 x 2 x 1
x
2
4
2x 1
3 x 1 x 2 x 4 7 2
4
x
45
4 x 1 x 2 3x 2 4 x 2 1 x
3
2
2
2 3x
3
2 4 9x
x x x 1 x
7
1
2
2
6
9 x 9
3x 1 x 12 x x 2 1
3
2x 3
x 1 2
3 9x 6
7
3
x
2
2
4
2 x 1 x 7 2 x 1 2 x 1 1
2
4
2
6. La risoluzione dei problemi mediante le disequazioni lineari
Risolvi i problemi.
Un triangolo ha due angoli acuti che misurano in gradi 4 x 1 e x 4. Quale valore massimo può
avere x?
17
I lati di un triangolo misurano in centimetri rispettivamente 3x, 2 x 1 e x 3. Per quali valori di x
il triangolo ha il perimetro maggiore o uguale a 28 cm?
x 4
2
dell’altro, il costo della
3
manodopera è di € 20, il costo del materiale è di € 0,30 al centimetro, mentre il guadagno di
vendita è il 25% del valore effettivo. Come devono essere le dimensioni in centimetri dei lati della
cornice affinché il prezzo di vendita del manufatto sia inferiore a € 70?
Per realizzare una cornice rettangolare, con un lato uguale ai
inferiori a 36 cm e 24 cm
LA GEOMETRIA DEL PIANO
1. La geometria euclidea
Scrivi di fianco a ogni enunciato se è una definizione o una proprietà.
a) «La distanza fra due punti è la lunghezza del segmento che ha per estremi i due punti».
b) «Il tachimetro è uno strumento che serve per misurare la velocità».
c) «Un angolo si dice acuto se è minore di un angolo retto».
d) «Mercurio è il pianeta più vicino al Sole».
a) «Il dinamometro è uno strumento che misura l’intensità delle forze».
b) «La Luna è il satellite naturale della Terra».
c) «La metà di un angolo è minore dell’angolo stesso».
d) «Si dice retto un angolo metà di un angolo piatto».
Dati i seguenti enunciati, trasformali nella forma «Se …, allora …» e indicane l’ipotesi e la tesi.
a) Un filo metallico attraversato da corrente elettrica si riscalda.
b) Per un punto del piano passa una e una sola retta perpendicolare a una retta data.
c) Due cariche elettriche negative interagiscono con una forza repulsiva.
d) La somma degli angoli interni di un triangolo qualunque è congruente a un angolo piatto.
a) Un oggetto sottoposto a un aumento di temperatura si dilata.
b) Due angoli opposti al vertice sono congruenti.
c) Due cariche elettriche positive interagiscono con una forza repulsiva.
d) Due triangoli rettangoli che hanno rispettivamente congruenti i due cateti sono
congruenti.
2. Le parti della retta e le poligonali
Per ogni figura scrivi il nome relativo, scegliendolo fra i seguenti: segmento, retta, semiretta,
segmenti consecutivi, segmenti adiacenti, poligonale aperta non intrecciata, poligonale aperta
intrecciata, poligonale chiusa non intrecciata, poligonale chiusa intrecciata.
Completa osservando la figura seguente:
a) La figura ABCDEI è una ……………. intrecciata e …………. .
b) F … ED.
c) AB è …………… a BC.
d) EF e FD sono segmenti ………………….. .
e) H …CB.
f) S
r ….
3. Le parti del piano
Per ogni figura scrivi il nome relativo, scegliendolo fra i seguenti (in alcuni casi ci sono più nomi
che possono essere utilizzati nella stessa figura): piano, semipiano, angolo, angolo piatto, angolo
giro, angolo nullo, angoli consecutivi, angoli adiacenti.
4. Le proprietà delle figure
Per ogni figura indica se è convessa o concava.
Nella figura,
A eB
sono due figure sovrapponibili con movimento rigido. Completa.
A
….
a) Per la proprietà riflessiva
b) AC … .
c) ABC … .
d) Se AB ha lunghezza a, allora DE …….. .
…, allora
….
a) Per la proprietà simmetrica se
b) FE … .
c) DEF … .
d) Se CB ha lunghezza b, allora EF …….. .
5. Le linee piane
Disegna due curve piane: la prima semplice chiusa e la seconda intrecciata aperta. Colora la
parte interna della curva chiusa.
6. Le operazioni con i segmenti
Disegna le figure corrispondenti alla seguente descrizione.
AB, BC, CD segmenti, AB e BC adiacenti, AB 2BC, D AB, CD AB.
Disegna quattro segmenti congruenti e adiacenti l’uno all’altro AB, BC, CD e DE. Completa le
congruenze, scrivendo al posto dei puntini.
AD 3 ... AC ... ... DE
1
BC ... AE ...
2
7. Le operazioni con gli angoli
A
B
Disegna quattro angoli consecutivi α, β, γ, δ, di cui α, β complementari e γ, δ supplementari ( R
indica l’angolo retto e P l’angolo piatto) e completa le seguenti congruenze.
α R ...
δ ... γ
α β γ ... δ
Figure e dimostrazioni
Sulla semiretta Oa disegna tre punti A, B, C, in modo da OA BC. Dimostra che vale la seguente
relazione: OB AC .
Disegna due segmenti OA e AB adiacenti e congruenti. Indica con M il punto medio di OA e con N
OM ON
il punto medio di AB. Dimostra che: OA
.
2
Disegna un angolo retto aVb e, internamente a esso, traccia una semiretta Vd. Indica con α
l’angolo bVd e con β l’angolo aVd . Traccia la retta r passante per V che forma con Vd un angolo
retto. Indica con γ l’angolo acuto che r forma con la semiretta Va e con δ l’angolo acuto fra r e Vb.
Dimostra la seguente relazione: α γ.
I TRIANGOLI
1. Considerazioni generali sui triangoli
Osserva la figura e poi completa le frasi
Il punto C è il vertice …….……… al lato AB, mentre il
punto ...... è il vertice opposto al lato AC.
Gli angoli α ’, β ’, γ ’ si dicono ……….. di vertice,
rispettivamente ….., ….., …… Anche ….. è angolo esterno di vertice
C. Gli angoli …………… al lato AC sono α e γ . L’angolo
β è ………………. tra AB e BC, mentre l’angolo α è
compreso tra ….. e ….. .
Il segmento AK è la ………………. del lato CB.
Il segmento CH è la ………………. del triangolo
relativa al lato AB.
Il segmento BL è la ………………. dell’angolo ABC.
Enuncia il teorema espresso dalla figura e dalla relativa ipotesi e tesi.
Ipotesi 1.
ABC triangolo
2.
3.
4.
C AM M AB
AM AB
AN AC
BN CM
Ipotesi 1.
2.
3.
ABC triangolo
Tesi
ABE CBE
BC BF
4.
AB BE
Tesi
CE AF
Rappresenta la figura e scrivi l’ipotesi e la tesi del seguente teorema.
È dato un triangolo isoscele ABC di base AB. Tracciata l’altezza CH, prolungala di un segmento
CD, esternamente al triangolo, in modo che CD CH . Congiungi D con A e B. Dimostra che il
triangolo ABD è isoscele.
È dato un triangolo isoscele ABC di base BC. Tracciata l’altezza AH, prolungala di un segmento
AD, esternamente al triangolo, dalla parte di BC, in modo che AD AH .
Congiungi D con
B e C. Dimostra che il triangolo BCD è isoscele.
2. La congruenza dei triangoli e il primo criterio di congruenza
Disegna un triangolo ABC. Dalla parte di A prolunga il lato AC di un segmento AD AC e il lato
AB di un segmento AE AB. Dimostra che i triangoli ABD e ACE sono congruenti.
Disegna due triangoli congruenti ABC e A’B’C’. Traccia le mediane AM e A’M’ relative
rispettivamente ai lati congruenti BC e B’C’. Dimostra che AM A’M’
Disegna un triangolo isoscele ABC di base AB. Prolunga il lato AC di un segmento CE e
il
lato BC di un segmento CF CE. Congiungi A con F e B. Dimostra che AF BE.
Disegna un triangolo isoscele ABC di base AB. Prolunga la base di due segmenti congruenti AD e
BE. Congiungi D con C e E con C. Dimostra che CD CE.
Disegna un segmento AB e, nei due semipiani di origine AB, considera due punti C e D in modo che
AC AD e C AB DAB. Dimostra che i triangoli ABC e ABD sono congruenti. Considera poi un
punto qualunque P del segmento AB. Dimostra che i triangoli PCB e PDB sono congruenti.
Disegna un angolo di vertice P e la sua bisettrice. Considera sui lati dell’angolo due punti A e B tali
che PA PB e un punto qualsiasi Q della bisettrice. Dimostra che i triangoli PBQ e PAQ sono
congruenti. Sulla bisettrice ed esternamente al segmento PQ considera un punto C qualunque.
Dimostra che i triangoli AQC e QBC sono congruenti.
3. Il secondo criterio di congruenza dei triangoli
Disegna la bisettrice di un angolo di vertice A e congiungi un suo punto P qualunque con due punti
B e C dei lati dell’angolo, scelti in modo che APB APC. Dimostra che AC AB.
Disegna un segmento AB e il suo punto medio M. Su una qualunque retta passante per M considera,
da parti opposte rispetto a M, due punti P e Q tali che P AB QBA. Dimostra che AP QB.
Due triangoli ABC e A’B’C’ sono costruiti da parti opposte rispetto al lato AB che giace sulla
bisettrice degli angoli C AC ’ e CBC ’. Preso un punto D appartenente al segmento AB, congiungi D
con C e C’. Dimostra che CD è congruente a C’D.
Due triangoli ABC e A’BC sono situati da parti opposte rispetto al lato BC che giace
sulla
bisettrice degli angoli ABA ’ e ACA ’. Prolunga il segmento BC dalla parte di B di un
segmento
DB. Congiunti A e A’ con D dimostra che AD è congruente a A’D.
4. Le proprietà del triangolo isoscele
Dato un triangolo isoscele ABC di base AB, traccia le bisettrici relative ai vertici A e B che
incontrano i lati BC e AC rispettivamente nei punti E e D. Prolunga le bisettrici di due segmenti
congruenti DF ed EG. Congiungi F con A e G con B. Dimostra che AF BG.
Nel triangolo isoscele ABC di base AB disegna le media AM e BN. Dimostra che esse sono
congruenti.
Nel triangolo isoscele ABC, di vertice C, disegna le bisettrici AE e BF degli angoli alla base.
Dimostra che AE BF .
Dimostra che in un triangolo equilatero le altezze sono fra lo congruenti.
Dimostra che in un triangolo equilatero le bisettrici sono fra lo congruenti.
Disegna un triangolo isoscele ABC e prolunga la base AB da ambo le parti con segmenti congruenti
AE e BF. Prolunga i lati AC e BC dalla parte di C di due segmenti congruenti, rispettivamente CG e
CH. Dimostra che i triangoli EBH e FAG sono congruenti.
Disegna un triangolo isoscele ABC e prolunga la base BC da ambo le parti con segmenti
congruenti BE e CF. Prolunga i lati AB e AC dalla parte di A di due segmenti congruenti,
rispettivamente AG e AH. Dimostra che i segmenti EG e FH sono congruenti.
5. Il terzo criterio di congruenza dei triangoli
Disegna il triangolo isoscele ABC di base AB. Esternamente al triangolo prendi un punto D in modo
che DA DB. Unisci D con A, con B e con C e dimostra che i triangoli DAC e DBC sono
congruenti.
Disegna il triangolo isoscele ABC di base BC. Internamente al triangolo prendi un punto D in modo
che DC DB. Unisci D con A, con B e con C e dimostra che i triangoli DAC e DAB sono
congruenti.
Dimostra che due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti due lati e una
mediana relativa a uno di essi.
Dato il triangolo ABC sia D un punto di AB. Si costruisca dalla parte opposta di AB un triangolo
ABC’ tale che AC AC ’ e CD DC ’. Dimostra che i triangoli ABC e ABC’
sono congruenti.
Dimostra che due triangoli equilateri che hanno lo stesso perimetro sono congruenti.
Dimostra che due triangoli isosceli che hanno lo stesso perimetro e la base congruente sono
congruenti.
6. Le disuguaglianze nei triangoli
VERO O FALSO?
a) Un triangolo può avere tre angoli ottusi.
V
F
b) Un triangolo può avere tre angoli esterni ottusi.
V
F
c) Un triangolo rettangolo può avere un angolo ottuso.
V
F
d) Un triangolo non può avere più di un angolo esterno ottuso.
V
F
a) Un triangolo può avere tre angoli acuti.
V
F
b) Un triangolo può avere tre angoli esterni acuti.
V
F
c) Un triangolo isoscele può avere un angolo ottuso.
V
F
VERO O FALSO?
d) Un triangolo può avere più di un angolo esterno acuto.
V
F
In un triangolo ABC si congiungano i vertici B e C con un punto interno O al triangolo. Dimostra
che l’angolo B AC è minore dell’angolo BOC.
In un triangolo ABC si congiungano i vertici A e B con un punto P interno al triangolo. Dimostra
che l’angolo APB è maggiore dell’angolo ACB.
Nel triangolo ABC traccia la mediana CM. Dimostra che, se AC CM o AC CM , allora risulta
AC CM BC CM .
AB AC
Nel triangolo ABC traccia la mediana AM. Dimostra che BM
.
2
Due lati di un triangolo sono lunghi 45 cm e 21 cm. Qual è la lunghezza minima e massima che può
avere il terzo lato?
Due lati di un triangolo sono lunghi 94 cm e 111 cm. Qual è la lunghezza minima e massima che
può avere il terzo lato?
Torino, 01/06/2016
L’Insegnante
