www.matematicamente.it La prova di matematica per il liceo – 2014
LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2014
QUESITO 1
Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α?
3
α
4
30°
Per il teorema dei seni
da cui
da cui
primi l’angolo misura 41° e 0.81∙60=48,60’. La risposta al quesito è quindi 41°49’.
in gradi e
QUESITO 2
Si spieghi perché non esistono poliedri regolari le cui facce siano esagoni.
Un poliedro regolare ha tutte le facce che sono poligoni regolari dello stesso tipo. Esistono solo 5 poliedri
regolari semplici sulle facce, sugli spigoli e sui vertici, sono detti Solidi platonici: Tetraedro, Cubo,
Ottaedro, Dodecaedro, Icosaedro. Esistono poi altri poliedri regolari non semplici, le cui facce si
intersecano, noti come Poliedri di Keplero-Poinsot. La dimostrazione del perché ci sono solo 5 solidi
regolari segue dalla osservazione che per formare un solido si devono incontrare in un vertice almeno 3
facce, si deve creare così un angoloide e la somma degli angoli delle facce che concorrono a quel vertice
deve essere minore di 360°, altrimenti le facce si unirebbero formando un piano. Da questa osservazione
segue che i casi possibili sono:
1. tre facce triangolari concorrenti in un vertice formano in totale un angolo di 3x60°=180°.
2. quattro facce triangolari concorrenti in un vertice formano in totale un angolo di 4x60°=240°.
3. cinque facce triangolari concorrenti in un vertice formano in totale un angolo di 5x60°=300° .
NON è possibile unire 6 facce triangolari perché si otterrebbe un angolo di 360° e le facce si incollerebbero
formando un piano.
4. tre facce quadrate concorrenti in un vertice formano in totale un angolo di 3x90°=270°.
NON è possibile unire 4 facce quadrate perché si otterrebbe un angolo di 360° e si otterrebbe un piano
invece che una figura solida.
5. tre facce pentagonali concorrenti in un vertice, un pentagono ha la somma degli angoli interni di
3x180°=540°, dividendo per i cinque angoli si ha un angolo di 108°, unendo 3 facce pentagonali si ottiene in
totale un angolo di 3x108°=324°
NON è possibile unire 4 facce pentagonali perché si otterrebbe un angolo totale di 4x108°>360°.
Nel caso di un esagono la somma degli angoli interni vale 4x180°=720°, dividendo per i sei lati si ha che
ogni angolo misura 120°. Unendo tre angoli di questo tipo si ottiene un angolo di 360°, il che significa che
unendo tre esagoni si uniscono solo formando un piano e non un solido. A maggior ragione non è possibile
unire più di tre esagoni.
QUESITO 3
Nello sviluppo di
compare il termine
. Qual è il valore di n?
Ipotizzando la potenza di (X-Y)n il termine indicato corrisponde a X2Y3 che è un termine di 5° grado, quindi
n è 5. Verifica:
.
QUESITO 4
Un solido Ω ha per base la regione R delimitata dal grafico di …
Volume
.
QUESITO 5
Dei numeri 1, 2, 3 … 6000, quanti non sono divisibili né per 2, né per 3 né per 5?
Sui 6000 numeri la metà sono divisibili per 2, restano quindi 3000 numeri.
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I numeri divisibili per 3 sui primi 6000 sono 1/3 quindi 2000, la metà di essi è pari (3 – 6 – 9 – 12 – 15 – 18
…) quindi dei 3000 numeri rimasti 1000 sono divisibili per 3 e non per 2. Restano 2000 numeri.
I numeri divisibili per 5 sui primi 6000 sono 1/5 quindi 1200. Di essi 1/2 è pari, 1/3 è divisibile per 3, 1/6 è
divisibile sia per 2 sia per 3, perciò sono stati conteggiati sia nei numeri pari sia nei multipli di 3. Dei 1200
bisogna togliere 1/2, togliere 1/3 e aggiungere 1/6, quindi togliere 2/3 cioè toglierne 800, ne rimangono 400
che sono da togliere dai 2000 che erano rimasti prima.
Rimangono allora 6000-3000-1000-400=1600.
Si può studiare nel dettaglio il caso dei numeri da 1 a 60.
QUESITO 6
Un’azienda commercializza il suo prodotto in lattine da 5 litri a forma di
quadrata. Le lattine hanno dimensioni tali da richiedere la minima quantità
Quali sono le dimensioni, arrotondati ai mm, di una lattina?
Detto x il lato del quadrato di base e y l’altezza del parallelepipedo si deve aver
minima.
Dalla prima relazione si ricava y=5/x2, che sostituito in St si ha
derivata si annulla per
parallelepipedo a base
di latta per realizzarle.
yx 2=5dm3 e St=2x2+4xy
da cui
. La
, approssimato al millimetro x=171mm.
QUESITO 7
Il valor media della funzione
sull’intervallo chiuso [0, k] è 9. Si determini k.
k
1 3
1 x4
k3
Il valor medio è pari a VM x dx
. Imponendo che sia uguale a 9 si ha:
k0
k 4 0
4
k
k3
9 k 3 36 k 3 36
4
QUESITO 8
Del polinomio di quarto grado P(x) si sa che assume il suo massimo valore 3 per x= 2 e x=3 e, ancora,
che P(1)=0. Si calcoli P(4).
Il polinomio deve avere la derivata prima nulla in x=2 e x=3, questo significa che deve avere come fattori
x 22 ed x 32 , inoltre per avere anche valore massimo 3 un possibile polinomio è
3
2
2
3 4a 0 a ,
Px 3 ax 2 x 3 .
Imponendo
P(1)=0
si
ha
pertanto
4
3
3
2
2
2
2
Px 3 x 2 x 3 e di conseguenza P4 3 4 2 4 3 0 .
4
4
QUESITO 9
Si determini il dominio della funzione:
f x 3 log 2 x 5
Il dominio è dato dalla risoluzione del seguente sistema:
x 5 0
x 5 0
x 5 0
0 x 5 8 5 x 3
3 log 2 x 5 0 log 2 x 5 3 x 5 8
QUESITO 10
Si determinino i valori reali di x per cui
Intanto osserviamo che
quindi
Se
per ogni x reale.
allora
allora
.
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Se
allora x=7 o x=3.
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