www.matematicamente.it La prova di matematica per il liceo – 2014
LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2014
QUESITO 1
Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α?
3
α
4
30°
Per il teorema dei seni
da cui
da cui
primi l’angolo misura 41° e 0.81∙60=48,60’. La risposta al quesito è quindi 41°49’.
in gradi e
QUESITO 2
Si spieghi perché non esistono poliedri regolari le cui facce siano esagoni.
Un poliedro regolare ha tutte le facce che sono poligoni regolari dello stesso tipo. Esistono solo 5 poliedri
regolari semplici sulle facce, sugli spigoli e sui vertici, sono detti Solidi platonici: Tetraedro, Cubo,
Ottaedro, Dodecaedro, Icosaedro. Esistono poi altri poliedri regolari non semplici, le cui facce si
intersecano, noti come Poliedri di Keplero-Poinsot. La dimostrazione del perché ci sono solo 5 solidi
regolari segue dalla osservazione che per formare un solido si devono incontrare in un vertice almeno 3
facce, si deve creare così un angoloide e la somma degli angoli delle facce che concorrono a quel vertice
deve essere minore di 360°, altrimenti le facce si unirebbero formando un piano. Da questa osservazione
segue che i casi possibili sono:
1. tre facce triangolari concorrenti in un vertice formano in totale un angolo di 3x60°=180°.
2. quattro facce triangolari concorrenti in un vertice formano in totale un angolo di 4x60°=240°.
3. cinque facce triangolari concorrenti in un vertice formano in totale un angolo di 5x60°=300° .
NON è possibile unire 6 facce triangolari perché si otterrebbe un angolo di 360° e le facce si incollerebbero
formando un piano.
4. tre facce quadrate concorrenti in un vertice formano in totale un angolo di 3x90°=270°.
NON è possibile unire 4 facce quadrate perché si otterrebbe un angolo di 360° e si otterrebbe un piano
invece che una figura solida.
5. tre facce pentagonali concorrenti in un vertice, un pentagono ha la somma degli angoli interni di
3x180°=540°, dividendo per i cinque angoli si ha un angolo di 108°, unendo 3 facce pentagonali si ottiene in
totale un angolo di 3x108°=324°
NON è possibile unire 4 facce pentagonali perché si otterrebbe un angolo totale di 4x108°>360°.
Nel caso di un esagono la somma degli angoli interni vale 4x180°=720°, dividendo per i sei lati si ha che
ogni angolo misura 120°. Unendo tre angoli di questo tipo si ottiene un angolo di 360°, il che significa che
unendo tre esagoni si uniscono solo formando un piano e non un solido. A maggior ragione non è possibile
unire più di tre esagoni.
QUESITO 3
Nello sviluppo di
compare il termine
. Qual è il valore di n?
Ipotizzando la potenza di (X-Y)n il termine indicato corrisponde a X2Y3 che è un termine di 5° grado, quindi
n è 5. Verifica:
.
QUESITO 4
Un solido Ω ha per base la regione R delimitata dal grafico di …
Volume
.
QUESITO 5
Dei numeri 1, 2, 3 … 6000, quanti non sono divisibili né per 2, né per 3 né per 5?
Sui 6000 numeri la metà sono divisibili per 2, restano quindi 3000 numeri.
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I numeri divisibili per 3 sui primi 6000 sono 1/3 quindi 2000, la metà di essi è pari (3 – 6 – 9 – 12 – 15 – 18
…) quindi dei 3000 numeri rimasti 1000 sono divisibili per 3 e non per 2. Restano 2000 numeri.
I numeri divisibili per 5 sui primi 6000 sono 1/5 quindi 1200. Di essi 1/2 è pari, 1/3 è divisibile per 3, 1/6 è
divisibile sia per 2 sia per 3, perciò sono stati conteggiati sia nei numeri pari sia nei multipli di 3. Dei 1200
bisogna togliere 1/2, togliere 1/3 e aggiungere 1/6, quindi togliere 2/3 cioè toglierne 800, ne rimangono 400
che sono da togliere dai 2000 che erano rimasti prima.
Rimangono allora 6000-3000-1000-400=1600.
Si può studiare nel dettaglio il caso dei numeri da 1 a 60.
QUESITO 6
Un’azienda commercializza il suo prodotto in lattine da 5 litri a forma di parallelepipedo a base
quadrata. Le lattine hanno dimensioni tali da richiedere la minima quantità di latta per realizzarle.
Quali sono le dimensioni, arrotondati ai mm, di una lattina?
Detto x il lato del quadrato di base e y l’altezza del parallelepipedo si deve aver yx2=5dm3 e St=2x2+4xy
minima.
Dalla prima relazione si ricava y=5/x2, che sostituito in St si ha
da cui
. La
derivata si annulla per
, approssimato al millimetro x=171mm.
QUESITO 9
Gli insiemi N, Z, Q, R sono rispettivamente gli insiemi dei numeri naturali, interi, razionali e reali. Si tratta
di insiemi infiniti, che cioè possono essere messi in corrispondenza biunivoca con una loro parte propria. È
molto facile dimostrare che N e Z hanno la stessa cardinalità: infatti, ad esempio, la funzione f : N → Z
f(n)=n/2 se n è pari, f(n)=-(n+1)/2 se n è dispari
mette in corrispondenza biunivoca N e Z. È meno immediato dimostrare che esiste una corrispondenza
biunivoca tra N e Q, e questo implica che anche N e Q hanno la stessa cardinalità. Gli insiemi numerici N, Z
e Q hanno quindi, in un certo senso, lo stesso numero di elementi; ogni insieme che ha la cardinalità di N è
anche detto numerabile: gli insiemi Z e Q sono dunque numerabili. Si può dimostrare invece che l'insieme R
invece non è numerabile, cioè esso non può essere messo in corrispondenza biunivoca con N: si tratta di un
ragionamento dovuto a Cantor e noto infatti come metodo diagonale di Cantor; in un certo senso, quindi, i
numeri reali sono molti di più dei numeri naturali, od anche dei numeri razionali.
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