www.matematicamente.it La prova di matematica per il liceo – 2014
LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE 2014
QUESITO 1
Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α?
3
α
4
30°
Per il teorema dei seni
da cui
da cui
primi l’angolo misura 41° e 0.81∙60=48,60’. La risposta al quesito è quindi 41°49’.
in gradi e
QUESITO 2
Si spieghi perché non esistono poliedri regolari le cui facce siano esagoni.
Un poliedro regolare ha tutte le facce che sono poligoni regolari dello stesso tipo. Esistono solo 5 poliedri
regolari semplici sulle facce, sugli spigoli e sui vertici, sono detti Solidi platonici: Tetraedro, Cubo,
Ottaedro, Dodecaedro, Icosaedro. Esistono poi altri poliedri regolari non semplici, le cui facce si
intersecano, noti come Poliedri di Keplero-Poinsot. La dimostrazione del perché ci sono solo 5 solidi
regolari segue dalla osservazione che per formare un solido si devono incontrare in un vertice almeno 3
facce, si deve creare così un angoloide e la somma degli angoli delle facce che concorrono a quel vertice
deve essere minore di 360°, altrimenti le facce si unirebbero formando un piano. Da questa osservazione
segue che i casi possibili sono:
1. tre facce triangolari concorrenti in un vertice formano in totale un angolo di 3x60°=180°.
2. quattro facce triangolari concorrenti in un vertice formano in totale un angolo di 4x60°=240°.
3. cinque facce triangolari concorrenti in un vertice formano in totale un angolo di 5x60°=300° .
NON è possibile unire 6 facce triangolari perché si otterrebbe un angolo di 360° e le facce si incollerebbero
formando un piano.
4. tre facce quadrate concorrenti in un vertice formano in totale un angolo di 3x90°=270°.
NON è possibile unire 4 facce quadrate perché si otterrebbe un angolo di 360° e si otterrebbe un piano
invece che una figura solida.
5. tre facce pentagonali concorrenti in un vertice, un pentagono ha la somma degli angoli interni di
3x180°=540°, dividendo per i cinque angoli si ha un angolo di 108°, unendo 3 facce pentagonali si ottiene in
totale un angolo di 3x108°=324°
NON è possibile unire 4 facce pentagonali perché si otterrebbe un angolo totale di 4x108°>360°.
Nel caso di un esagono la somma degli angoli interni vale 4x180°=720°, dividendo per i sei lati si ha che
ogni angolo misura 120°. Unendo tre angoli di questo tipo si ottiene un angolo di 360°, il che significa che
unendo tre esagoni si uniscono solo formando un piano e non un solido. A maggior ragione non è possibile
unire più di tre esagoni.
QUESITO 3
Venti palline sono poste in un’urna. Cinque sono rosse, cinque verdi, cinque gialle e cinque bianche..
Dall’urna si estraggono a caso, senza reimbussolamento, tre palline. Si valutino le seguenti probabilità
Esattamente una pallina rossa
Le tre palline sono di colori differenti
La probabilità di estrarre una pallina rossa su tre estratte è pari al rapporto tra casi favorevoli sui casi
20
5 15
possibili. I casi possibili sono mentre quelli favorevoli è dato dal prodotto ovvero 1 pallina
3
1 2
rossa e le altre due di altro colore. Di conseguenza
34
www.matematicamente.it La prova di matematica per il liceo – 2014
5 15
1 2
35
p 1R
76
20
3
La probabilità che le tre palline sono di colori differenti è data:
4 5 5 5
3 1 1 1
25
p 3colori
57
20
3
in quanto i casi favorevoli sono dati dal prodotto delle singole combinazioni che consentono di avere una
4
pallina di colore differente moltiplicato per il fattore che indica il numero di combinazioni di 3 colori
3
diversi su 4 disponibili.
QUESITO 4
Un solido Ω ha per base la regione R delimitata dal grafico di …
Volume
.
QUESITO 5
In un contesto di geometria non euclidea si illustri un esempio di triangolo i cui angoli non hanno
somma 180°.
Nella geometria ellittica, nella quale per un punto esterno a una retta non esiste nessuna parallela alla retta,
la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di un angolo piatto e minore di tre angoli piatti.
Nella geometria iperbolica, nella quale per un punto esterno a una retta esistono più parallele alla retta, la
somma degli angoli interni di un triangolo è minore di 180°. Si può costruire un modello di geometria
ellittica prendendo come ‘piano’ la superficie di una sfera e come rette i cerchi massimi della sfera. Un
triangolo su questa superficie ha la somma degli angoli interni maggiore di 180°.
QUESITO 6
Si calcolino l’altezza ed il raggio del massimo cilindro circolare retto inscritto in una sfera di raggio
3.
Detta 2x l’altezza del cilindro, con 0 x 3 , il raggio di base è pari a r 3 x 2 ed il volume è
V 2 x3 x 2 . Il volume massimo lo si ottiene massimizzando la funzione f x x3 x 2 la cui
derivata prima è f x 31 x 2 da cui di deduce che la funzione volume è crescente in 0,1 e decrescente
in 1, 3 pertanto il volume è massimo per x 1 ovvero raggio di base r 2 ed altezza h 2 .
QUESITO 7
Se f ' x ln x x 2 , per quale dei seguenti valori approssimati di x, f ha un minimo relativo?
(A) 5,146
(B) 3,146
(C) 1,000
(D) 0,159
(E) 0
Bisogna studiare l’equazione f ' x ln x x 2 0 e possiamo farlo graficamente studiando il sistema
y ln x
. Di seguito nello stesso riferimento cartesiano i due grafici:
y x 2
35
www.matematicamente.it La prova di matematica per il liceo – 2014
Dal grafico si nota che le intersezioni sono due, la prima x A vicina allo zero e la seconda x B poco più di 3;
in particolare dal grafico si deduce che ln x x 2 per x A x xB di conseguenza x A è ascissa di minimo
relativo mentre x B di massimo relativo.
Quindi la soluzione accettabile è (D).
QUESITO 8
La “zara” è un gioco d’azzardo di origine araba che conobbe particolare fortuna in Italia in epoca
medievale – ne parla anche Dante nella Divina Commedia – e si giocava con tre dadi. Si confronti la
probabilità di ottenere in un lancio la somma 9 con quello di ottenere la somma 10.
Ogni dado ha 6 facce e con 3 dadi è possibile avere 63 216 combinazioni di risultati.
Si ottiene somma 9 nei seguenti casi:
(1,2,6),(1,6,2),(1,3,5),(1,5,3),(1,4,4)
(2,1,6),(2,6,1),(2,2,5),(2,5,2),(2,3,4),(2,4,3)
(3,1,5),(3,5,1),(3,2,4),(3,4,2),(3,3,3)
(4,1,4),(4,4,1),(4,2,3),(4,3,2)
(5,1,3),(5,3,1),(5,2,2)
(6,1,2),(6,2,1)
In totale sono 25 combinazioni su 216 pertanto la probabilità di avere somma 9 è p
25
.
216
Si ottiene somma 10 nei seguenti casi:
(1,3,6),(1,6,3),(1,4,5),(1,5,4)
(2,2,6),(2,6,2),(2,2,4),(2,4,2),(2,3,5),(2,5,3)
(3,1,6),(3,6,1),(3,2,5),(3,5,2),(3,3,4),(3,4,3)
(4,1,5),(4,5,1),(4,2,4),(4,4,2)
(5,1,4),(5,4,1),(5,2,3),(5,3,2)
(6,1, 3),(6,3,1),(6,2,2)
In totale sono 27 combinazioni su 216 pertanto la probabilità di avere somma 10 è p
27 1
.
216 8
QUESITO 9
Gli insiemi N, Z, Q, R sono rispettivamente gli insiemi dei numeri naturali, interi, razionali e reali. Si tratta
di insiemi infiniti, che cioè possono essere messi in corrispondenza biunivoca con una loro parte propria. È
molto facile dimostrare che N e Z hanno la stessa cardinalità: infatti, ad esempio, la funzione f : N → Z
f(n)=n/2 se n è pari, f(n)=-(n+1)/2 se n è dispari
mette in corrispondenza biunivoca N e Z. È meno immediato dimostrare che esiste una corrispondenza
biunivoca tra N e Q, e questo implica che anche N e Q hanno la stessa cardinalità. Gli insiemi numerici N, Z
e Q hanno quindi, in un certo senso, lo stesso numero di elementi; ogni insieme che ha la cardinalità di N è
anche detto numerabile: gli insiemi Z e Q sono dunque numerabili. Si può dimostrare invece che l'insieme R
36
www.matematicamente.it La prova di matematica per il liceo – 2014
invece non è numerabile, cioè esso non può essere messo in corrispondenza biunivoca con N: si tratta di un
ragionamento dovuto a Cantor e noto infatti come metodo diagonale di Cantor; in un certo senso, quindi, i
numeri reali sono molti di più dei numeri naturali, od anche dei numeri razionali.
QUESITO 10
Si stabilisca per quali valori reali di a e b, si ha:
a bx 2
lim
1
x 0
x
Moltiplicando numeratore e denominatore per
a bx 2 si ha:
a bx 4
lim
x 0 x
a bx 2
Affinchè il limite converga è necessario fare in modo che la x al denominatore venga semplificata, e questo
è possibile solo se a 4 , infatti in questo caso si ha
lim
x 0
a bx 4 a 4
lim
x 0
x a bx 2
e tale limite è 1 solo se b=4.
37
b
b
4 bx 2 4
