CIRCUITI RLC ED EQUAZIONI DIFFERENZIALI 1

CIRCUITI RLC ED EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Sommario. In queste pagine studiamo alcune configurazioni elementari di resistori, condensatori e bobine. Vedremo come si possono dedurre le equazioni differenziali che regolano l’andamento delle correnti nel tempo partendo
dall’equazione di bilancio e dal concetto di potenziale elettrico.
1. Circuito RLC serie
Studiamo la configurazione mostrata in figura 1.1.
Figura 1.1.
1.1. Tensioni. Ai capi del resistore si applica la legge di Ohm,
(1.1)
φA − φB = RI
(diremo che la corrente I, scorrendo sulla resistenza R, determina una «caduta
ohmica» tra i terminali A e B, nel senso che B ha potenziale piÛ basso del potenziale
di A) mentre ai capi del condensatore si applica la relazione fondamentale tra
potenziale, carica e capacità:
1
q
C
La presenza della bobina è caratterizzata da una relazione molto semplice tra
potenziale, derivata della corrente rispetto al tempo e capacità ed induttanza della
bobina:
(1.2)
φC − φD =
dI
dt
(discutiamo tra poco il segno in questa equazione).
Il generatore di tensione, infine, determina una differenza di potenziale costante
tra i suoi terminali:
(1.3)
φB − φC = L
(1.4)
φD − φA = −f
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Sommiamo membro a membro le equazioni 1.1, 1.2, 1.3 e 1.4:
RI +
1
dI
q+L
−f =0
C
dt
Questa equazione può anzitutto essere riscritta così:
(1.5)
f −L
dI
1
= RI + q
dt
C
La 1.5 può essere letta così: quando, sotto l’azione del generatore di tensione f ,
la corrente del circuito aumenta (dI/dt > 0), si stabilisce nel circuito una tensione
di segno opposto a quella del generatore (−LdI/dt < 0) che diminuisce la tensione
da f a f − LdI/dt ai capi degli altri due elementi, il resistore ed il condensatore. La
bobina, pertanto, ha dal punto di vista teorico un ruolo diverso dagli altri elementi
circuitali.
Scritta così l’equazione del circuito è utile per capire il segno della tensione
indotta dalla bobina al variare della corrente elettrica; se vogliamo però scrivere e
risolvere l’equazione del circuito è meglio riorganizzare i termini così:
(1.6)
RI +
dI
1
q+L
=f
C
dt
D’ora in avanti, pertanto, tratteremo la bobina come un qualunque altro elemento del circuito, ritenendo che ai suoi capi si instauri la tensione Ldi/dt.
1.2. Bilancio. La corrente I entra nella prima armatura del condensatore, sulla
quale si accumula una carica q1 regolata dall’equazione di bilancio
dq1
= +I
dt
e allo stesso modo la carica accumulata sul secondo condensatore è regolata
dall’equazione di bilancio
dq2
= −I
dt
Se assumiamo che il condensatore sia complessivamente neutro (ad esempio
perché lo era all’istante iniziale) vediamo che
q2 = −q1 = −q
e per sostituzione vediamo che entrambe le equazioni si riducono a
(1.7)
dq
=I
dt
La 1.7 è l’equazione di bilancio della carica nel condensatore.
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1.3. ODE. Sostituiamo l’equazione 1.7 nell’equazione 1.6:
(1.8)
L
d2 q
dq
1
+R + q =f
dt2
dt
C
L’equazione 1.8 è formalmente analoga a quella che regola un oscillatore forzato
con smorzamento laminare:
m
dx
d2 x
+α
+ kx = F
dt2
dt
(L corrisponde a m, R ad α, 1/C a k e f a F ). Cercheremo pertanto la soluzione
esattamente nello stesso modo.
Antitutto cerchiamo una soluzione «a regime» ponendo d2 q/dt2 = 0 e dq/dt = 0:
otteniamo la «carica di regime» accumulata sulle lastre del condensatore
q∞ = f C
(1.9)
Introduciamo una nuova funzione con la definizione
def
y (t) = q (t) − q∞
(1.10)
Sostituiamo la definizione 1.10 nell’equazione 1.8; semplificando i termini otteniamo l’equazione
(1.11)
L
dy
1
d2 y
+R
+ y=0
dt2
dt
C
Per risolvere la 1.11 poniamo come al solito
y = y0 eiωt
così che otteniamo l’equazione polinomiale
−Lω 2 + iRω +
1
=0
C
che può anche essere riscritta così:
(1.12)
LCω 2 − iRCω − 1 = 0
Questa equazione viene risolta e discussa come di consueto.
2. Circuito RC parallelo
Ogni generatore di tensione reale può essere schematizzato con un generatore di
tensione ideale (il simbolo f della tensione tra i poli «+» e «−») ed una resistenza
in serie, che indicheremo con la lettera r. Un circuito RC parallelo reale, pertanto,
ha l’aspetto mostrato in figura 2.1.
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Figura 2.1.
2.1. Tensioni. Ai capi della resistenza interna del generatore la caduta ohmica è
(2.1)
φA − φB = rI
mentre la caduta ohmica ai capi della resistenza R è
(2.2)
φB − φC = RI1
Il condensatore invece è regolato dalla relazione
q2
C
Ricordiamo infine che la tensione ai capi del generatore è
(2.3)
φB − φC =
(2.4)
φC − φA = −f
Combinando le equazioni 2.4 e 2.1 otteniamo immediatamente
(2.5)
φB − φC = f − rI
Questa è la tensione ai capi del resistore e del condensatore in parallelo.
2.2. Bilancio. L’equazione di bilancio può essere applicata sia al nodo B sia al
nodo C e può essere espressa in questa forma:
(2.6)
I1 + I2 = I
Essa ci dice che non vi è accumulo di carica nei due nodi; il bilancio del condensatore è già stato trattato nella sezione precedente.
2.3. ODE. Combinando l’equazione 2.2 con la 2.5 otteniamo
f − rI
R
mentre combinando l’equazione 2.3 con la 2.5 otteniamo
(2.7)
I1 =
q2 = C (f − rI)
Deriviamo questa equazione ed otteniamo
(2.8)
I2 = −rC
dI
dt
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Ora utilizziamo contemporaneamente le equazioni 2.7, 2.8 e 2.6 ed otteniamo
l’equazione differenziale del circuito:
f − rI
dI
+ −rC
=I
R
dt
che può essere semplificata e riscritta così:
f
dI r
I=
(2.9)
rC
+ 1+
dt
R
R
Una volta risolta questa equazione (ad esempio come visto nel caso della caduta
in aria) determiniamo le correnti nei due rami usando le equazioni 2.7 e 2.8.
3. Circuito RL parallelo
La discussione di questo esempio è molto simile a quella del caso precedente. Anche nel circuito della figura 3.1 prendiamo in considerazione una resistenza interna
del generatore.
Figura 3.1.
3.1. Tensioni. Come abbiamo visto nel circuito RC parallelo la tensione ai capi
dei terminale della bobina e del resistore è
(3.1)
φB − φC = f − rI
Se prendiamo in considerazione il resistore, inoltre
(3.2)
φB − φC = RI1
mentre ai capi della bobina
dI2
dt
Combinando queste tre equazioni otterremo la ODE del circuito.
(3.3)
φB − φC = L
3.2. Bilancio. Il bilancio è espresso (ad entrambi i nodi, B o C) dalla relazione
I = I1 + I2
ma in questo caso dovremo far ricorso alla relazione analoga tra le derivate delle
correnti:
dI
dI1
dI2
(3.4)
=
+
dt
dt
dt
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3.3. ODE. Procedendo come nel circuito RC parallelo otteniamo
I1 =
f − rI
R
e, derivando questa equazione,
dI1
r dI
=−
dt
R dt
Vediamo inoltre immediatamente che
f − rI
dI2
=
(3.6)
dt
L
e pertanto
f − rI
r dI
dI
+ −
=
L
R dt
dt
Riorganizzando i termini otteniamo l’equazione differenziale del circuito:
(3.5)
r dI
r
f
+ I=
L dt
L
L
Notiamo che in entrambi i circuiti, RC parallelo e RL parallelo, l’equazione
differenziale che regola la corrente in uscita dal generatore è del primo ordine.
(3.7)
1+
4. Circuito RLC parallelo
Siamo ora pronti per studiare il circuito RLC parallelo reale alimentato da un
generatore di tensione costante (figura 4.1).
Figura 4.1.
4.1. Tensioni. Le considerazioni precedenti ci mostrano immediatamente che
(4.1)
φB − φC = f − rI
(4.2)
φB − φC = RI1
(4.3)
φB − φC =
q2
C
dI3
dt
Vediamo che sono coinvolte la carica elettrica, la sua derivata prima e la sua
derivata seconda: ci dobbiamo pertanto aspettare un’equazione differenziale di
second’ordine.
(4.4)
φB − φC = L
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4.2. Bilancio. Il bilancio ai nodi dovrà espresso dalla relazione
dI
dI1
dI2
dI3
=
+
+
dt
dt
dt
dt
come visto nel circuito RL parallelo.
4.3. ODE. Dalle relazioni che esprimono le tensioni otteniamo
dI1
r dI
=−
dt
R dt
(derivando una volta)
dI2
d2 I
= −rC 2
dt
dt
(derivando due volte)
f − rI
dI3
=
dt
L
(direttamente, senza derivare).
Dall’equazione di bilancio otteniamo
r dI
d2 I
dI
f − rI
−
+ −rC 2 +
=
R dt
dt
L
dt
e riorganizzando i termini otteniamo l’equazione differenziale del circuito:
d2 I r
f
r dI
(4.5)
rC 2 + 1 +
+ I=
dt
R dt
L
L
5. Esercizi di approfondimento
(1) Stabilisci tutte le relazioni tra le unità di misura delle grandezze coinvolte:
[R] = Ω, [φ] = V, [q] = C, [I] = A, [C] = F e [L] = He. Tieni presente che
le dimensioni di una capacità tipica variano dal µF al mF, ed allo stesso
modo le dimensioni di una induttanza tipica variano dal µHe al mHe.
(2) Determina e rappresenta in grafico la soluzione dei circuiti RL parallelo
ed RC parallelo e costruisci anche le soluzioni per le correnti nei due rami
parallili.
(3) Determina e discuti le soluzioni dei circuiti RLC serie ed RLC parallelo,
individuando per ciascuno dei due circuiti il caso critico.
(4) Studia i seguenti circuiti ad una maglia privi di generatore di tensione:
(a) RC ed RL;
(b) RLC serie;
(c) RLCparallelo.