Nel mondo della geometria vol.2

CAPITOLO QUARTO
GLI
ENTI FONDAMENTALI DELLA GEOMETRIA
Carla Alberti
Il problema della definizione e della dimostrazione in geometria
La qualifica di «fondamentali» per alcuni enti di una geometria, in
questo contesto la geometria piana euclidea, è relativa al fatto che tali enti
sono quelli a cui tutti gli altri sono riconducibili, cioè stanno «a fondamento» della definizione di ogni altro «oggetto» della geometria. In quanto tali,
essi non possono avere una definizione esplicita, per non dare luogo a
catene infinite di definizioni oppure a circoli viziosi, come quello secondo
cui una retta è un insieme di punti allineati in una stessa direzione e una
direzione è individuata da una retta. I termini che designano gli enti
fondamentali sono, pertanto, assunti come primitivi, nel senso che non
viene formulata una definizione del loro significato, del tipo «un punto è
…», ma vengono elencate la proprietà che regolano il loro comportamento
reciproco e che sono assunte come punti di partenza, ipotesi di lavoro, senza
alcuna necessità di dimostrazione. Queste «regole», come già detto nel
Capitolo terzo, sono dette assiomi o postulati e qualificano la geometria
come sistema assiomatico ipotetico deduttivo. Nel corso dei secoli che
separano la stesura del primo trattato geometrico di carattere scientifico, gli
Elementi di Euclide (IV sec. a.C.), e la sistematizzazione della geometria
euclidea, ad opera di David Hilbert (1862-1943) in Grundlagen der Geometrie, seguita alla crisi dei fondamenti matematici (XIX sec.), è cambiato il
modo di concepire sia gli enti primitivi sia gli assiomi, come si legge nelle
pagine di Manara (1970, pp. XII-XIII):
[...] gli Elementi di Euclide iniziano con la famosa frase: «Il punto è ciò che
non ha parte». […] Molti sono coloro che hanno considerato questa frase come
una definizione del punto, in linea con il canone classico che voleva che si
definisse all’inizio di una teoria l’oggetto della teoria stessa. La trattazione di
D. Hilbert inizia con […] la «spiegazione» che dice: «Consideriamo tre
sistemi di oggetti: chiamiamo punti gli oggetti del primo sistema […], chiamiamo rette gli oggetti del secondo sistema, chiamiamo piani gli oggetti del terzo
sistema. È evidente che in questa impostazione si rinuncia del tutto a precisare
la natura delle cose che si prendono in considerazione […] all’inizio del
discorso; essa viene precisata, ma non univocamente, dagli assiomi che
Gli enti fondamentali della geometria
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vengono enunciati e non dai nomi che vengono dati alle cose né da un richiamo
alla esperienza ed alla realtà esteriore. […] Gli assiomi si accettano come
assiomi geometrici in quanto suggeriti dalle osservazioni che noi facciamo
nell’universo che [ci] circonda. Tuttavia non si accettano tali assiomi come
imposti dalla realtà con una sua «evidenza» [come è, invece, nell’opera di
Euclide], né si pretende con le proposizioni enunciate di esaurire tutta la
possibile conoscenza della realtà fisica.
I termini della geometria non relativi a relazioni o a enti primitivi vanno,
invece, definiti esplicitamente, nel senso che, con termini di cui è già noto il
significato, devono essere espresse le condizioni (proprietà, operazioni in senso
generale, ecc.) necessarie e sufficienti per individuare gli oggetti geometrici da
essi designati. La «minimalità» nella scelta dei concetti primitivi, degli assiomi
e nella formulazione delle definizioni è una questione importante dal punto di
vista matematico; in particolare, la riduzione al minimo degli elementi necessari
per caratterizzare univocamente un ente geometrico è ciò che distingue una
definizione da una generica descrizione. Per esempio, dicendo che un parallelogramma è un quadrilatero con i lati opposti paralleli e congruenti si formula una
definizione sovrabbondante, quindi una descrizione della figura, in quanto è
sufficiente richiedere che un quadrilatero abbia le coppie di lati opposti
paralleli per dedurre che tali coppie sono anche congruenti.
Analogamente a quanto detto per i termini, le proprietà geometriche non
assunte come assiomi sono teoremi, quindi vanno dimostrate tramite processi
logici deduttivi fondati sugli assiomi o su teoremi già dimostrati.
Dal punto di vista didattico, alla scuola elementare non è proponibile
agli alunni un approccio assiomatico alla geometria; tuttavia, l’insegnante
deve operare scelte consapevoli che siano coerenti con un’assiomatica di
riferimento, per non cadere in circoli viziosi, trascurare precedenze logiche,
ignorare passaggi, concetti, relazioni, pretendere di definire tutto, ecc. In
particolare, gli enti e le proprietà lasciati a livello intuitivo, con rimando
diretto all’esperienza, sono quelli assunti, rispettivamente, come enti primitivi e assiomi nel processo di razionalizzazione del rapporto degli alunni con
lo spazio circostante.
Gli enti fondamentali della geometria euclidea piana
Alla fine del XIX sec. il matematico Hilbert pubblicò l’opera Grundlagen der Geometrie, nella quale viene esposta la geometria euclidea in forma di
sistema assiomatico ipotetico deduttivo, secondo l’accezione moderna del
termine. Hilbert assume come concetti primitivi quelli relativi agli enti
indicati dai termini «punto», «retta» e «piano» e alle relazioni di «appartenere», «stare fra» e «essere congruente». Gli assiomi che specificano il comportamento reciproco dei concetti primitivi sono divisi in cinque gruppi, dei
quali si considerano solo le implicazioni per la geometria piana:
1. Assiomi di appartenenza: in base ad essi la retta viene univocamente
individuata da due punti distinti, per cui due rette distinte nel piano o
34
NEL
MONDO DELLA GEOMETRIA
2.
3.
4.
5.
hanno un solo punto in comune, caso in cui si dicono rette incidenti,
oppure non hanno alcun punto in comune. Due rette prive di punti in
comune o coincidenti sono dette rette parallele.
Assiomi di ordinamento: essi rendono possibile l’ordinamento dei punti
di una retta in due modi (versi) tra loro opposti; tale ordinamento consente di caratterizzare l’illimitatezza di una retta e di dimostrare che essa ha
infiniti punti; inoltre, assiomaticamente viene introdotto anche un ordinamento nel piano. Tenendo conto sia degli assiomi di ordinamento che
di quelli di appartenenza, si definiscono i segmenti, le semirette, gli
angoli, i semipiani, le spezzate, le poligonali e i poligoni.
Assiomi di congruenza: essi caratterizzano come relazione di equivalenza la congruenza tra segmenti, fondante il concetto di lunghezza, la
congruenza tra angoli, da cui deriva il concetto di ampiezza, e la congruenza tra poligoni, riconducibile a quella tra segmenti e tra angoli. In
particolare, la congruenza tra angoli consente di definire l’angolo retto,
come l’angolo congruente al proprio adiacente, e, quindi, la perpendicolarità tra rette incidenti. Inoltre, si possono dimostrare risultati notevoli
relativi ai triangoli, come i criteri di congruenza e le relazioni tra i lati e
gli angoli (per esempio, il fatto che in un triangolo il lato maggiore è
opposto all’angolo maggiore).
Assioma della parallela: l’esistenza di rette parallele a una retta data
dipende dal primo gruppo di assiomi; l’unico assioma di cui è costituito
il quarto gruppo è quello che garantisce l’unicità della parallela a una
retta per un punto dato. Si tratta di un assioma importante che caratterizza
la geometria euclidea e dal quale dipendono molte proprietà notevoli di
tale geometria, come il fatto che la somma degli angoli interni di un
triangolo è un angolo piatto. La negazione logica dell’assioma della
parallela, quindi la proposizione secondo cui, data una retta r e un punto
P, esistono almeno due rette parallele a r e passanti per P, è a sua volta
un assioma di una particolare geometria non euclidea, la geometria
iperbolica, nella quale si dimostra, per esempio, che la somma degli
angoli interni di un triangolo non è costante, ma in ogni caso è minore di
un angolo piatto. Un’altra geometria non euclidea è la geometria ellittica,
nella quale si assume come assioma la non esistenza di rette parallele a
una retta data; ne consegue, tra l’altro, che la somma degli angoli interni
di un triangolo non è costante, ma è comunque maggiore di un angolo
piatto. Un modello di geometria ellittica è quella che si ha sulla sfera,
dove si denominano rette i meridiani.
Assiomi di continuità: si tratta degli assiomi che formalizzano l’intuizione secondo cui una retta è priva di «buchi», può essere tracciata «senza
staccare la matita dal foglio».
Nella mappa concettuale seguente sono rappresentati alcuni nodi concettuali relativi alla geometria euclidea piana e i loro legami; il riferimento
assiomatico è quello sinteticamente descritto nel presente paragrafo, per
cui si considerano primitivi i concetti di punto, retta e piano.
Gli enti fondamentali della geometria
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M APPA
CONCETTUALE DEGLI ENTI FONDAMENTALI DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA PIANA
relazioni
possono essere
direzione
induce una
relazioni di
equivalenza
relazioni
d’ordine
definisce
a cui appartengono
parallelismo
con
relazione di
perpendicolarità
formate da
RETTE
incidenza
PUNTI
PIANO
su cui è
definito
su cui è
definito
caratterizzate da
verso
ordinamento induce
induce
continuità
infinità di
punti
illimitatezza
orientamento
consente
dà significato
tra
congruenza
spezzate
SEGMENTI
partizione
di una retta
partizione
di un piano
in
in
regioni
piane
semirette
in
tra cui
poligonali
caratterizzati da
caratterizzate da
limitatezza
definiscono
tra
illimitatezza
in un solo
verso
POLIGONI
hanno
racchiuse da
NEL
MONDO DELLA GEOMETRIA
semipiani
definiscono
ANGOLI
tra
36
tra cui
SCHEDA n. 23
Osserviamo e
riflettiamo
ANGOLO O NON ANGOLO?
7.1.1 L’angolo
come coppia di
semirette con
l’origine in comune
Osserva le coppie di semirette disegnate e completa la tabella. Ogni semiretta ha origine nel
punto contrassegnato da una lettera.
Sono lati di
un angolo?
Semirette
S
G
F
T
H
C
• Hai sempre risposto in modo affermativo alla domanda?
.....................
Se no, per quale motivo?
..........................................................................................................................................................................................................................................................
• Una coppia di semirette con l’...................................................... in comune forma un ......................................................
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SCHEDA n. 24
Osserviamo e
riflettiamo
GIOCHI IN CORTILE
7.1.1 L’angolo
come coppia di
semirette con
l’origine in comune
In una scuola materna si devono organizzare dei giochi per la festa di fine anno.
Si decide di suddividere lo spazio del cortile in alcune zone a partire dalla
quercia çQ). Ogni zona verrà assegnata a una delle squadre che parteciperà
ai giochi. Ecco il progetto.
2
1
Q
4
3
La zona indicata con il numero 1 è stata assegnata ai LEPROTTI, la zona con
il numero 2 agli SCOIATTOLI, la zona con il numero 3 alle FARFALLE e la
zona con il numero 4 alle TARTARUGHE.
Ritaglia i simboli delle squadre riportati a lato del progetto e collocali nelle zone ad essi
corrispondenti.
Osserva la zona numero 4: essa rappresenta un angolo formato da una coppia di
........................................................................ con
l’origine nel punto .....................; il simbolo della squadra è collocato
nella regione ................................................... Puoi dire la stessa cosa per ognuna delle altre zone? .....................
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SCHEDA n. 25 a
Osserviamo e
riflettiamo
7.1.2 L’angolo come
rotazione di una
semiretta intorno
alla sua origine
LA FORTUNA NELLA RUOTA
Piero è entusiasta di un gioco televisivo e vuole predisporne uno simile per
divertirsi con gli amici. Il gioco consiste nel lanciare un dado e far ruotare
la lancetta in modo da raggiungere lo «spicchio» indicato dalla faccia del dado.
Ad ogni spicchio corrisponde un premio.
Daniele ha ottenuto il punteggio 5 e Piero 2.
2
3
6
1
5
4
Indica con una freccia gialla una possibile rotazione effettuata dalla lancetta per entrare nello
«spicchio» 5 e con una rossa quella per entrare nello «spicchio» 2.
Confronta il tuo lavoro con quello di un tuo compagno. Cosa noti?
........................................................................
.................................................................................................................................................................................................................................................................
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SCHEDA n. 2 5b
Osserviamo e
riflettiamo
7.1.2 L’angolo come
rotazione di una
semiretta intorno
alla sua origine
LA FORTUNA NELLA RUOTA
Aldo e Giorgio hanno totalizzato entrambi il punteggio 5. Ecco rappresentato
come ognuno di loro ha proceduto per entrare nello «spicchio» 5.
Rotazione effettuata da Aldo
Rotazione effettuata da Giorgio
2
3
6
1
5
4
Aldo e Giorgio hanno proceduto entrambi correttamente? .....................
Discutine con i compagni e con l’insegnante.
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Osserviamo,
riflettiamo e
rappresentiamo
SCHEDA n. 26
7.1.2 L’angolo come
rotazione di una
semiretta intorno
alla sua origine
ANGOLI E REGIONI ANGOLARI
Osserva nei due riquadri le regioni angolari evidenziate e completa le frasi.
G
G
F
A
V
F
A
C
B
V
E
C
B
E
D
D
I punti ............................................................................ sono
INTERNI alla regione angolare.
I punti ............................................................................ sono
INTERNI alla regione angolare.
I punti ............................................................................ sono
ESTERNI alla regione angolare.
I punti ............................................................................ sono
ESTERNI alla regione angolare.
Che cosa noti? .......................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................................................................
• Disegna un angolo.
• Evidenziane la regione angolare.
• Colloca almeno tre punti interni e due punti esterni alla regione da te indicata.
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SCHEDA n. 27
Osserviamo e
riflettiamo
7.1.3 L’angolo come
cambiamento di
direzione
LA PASSEGGIATA DI ANDREA
Quello che vedi sotto rappresentato è il percorso compiuto da Andrea per
recarsi al parco giochi.
B
D
E
A
C
Quanti cambiamenti di direzione ha effettuato Andrea? .....................
In B vedi messo in evidenza il primo cambio di direzione e l’angolo da esso determinato.
Ora procedi tu allo stesso modo evidenziando gli angoli che si formano ad ogni cambio di
direzione.
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