Esercizi di Algebra 1

Esercizi di Algebra 1
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1) Determinare tutti gli elementi invertibili di Z[ −7] = {a + b 7i | a, b ∈ Z}.
2) Sia A = Z[i] l’anello degli interi di Gauss. Siano I = (13) e J = (3 − 2i). I è massimale? J è massimale?
Nel caso in cui uno non sia massimale si esibisca un ideale che lo contiene.
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3) Dire quali tra i seguenti elementi di Z[ −7] = {a + b 7i | a, b ∈ Z} sono tra loro associati:
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3 + 4 −7, −3 + 4 −7, −3 − 4 −7.
4) Sia A = Z[i] l’anello degli interi di Gauss. Sia I = (2). I è massimale? Z[i]/(2) è campo?
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5) Si determinino le unità dell’anello di Z[ −5] e si provi che l’anello non è a fattorizzazione unica.
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6) Sia A = Z[ −2]{a + b 2i | a, b ∈ Z}.
a) Dimostrare che A è un sottoanello dei complessi;
b) Determinare gli elementi invertibili di A;
c) Decomporre in fattori primi di A gli elementi: 2,3 e 5.
7) Sia A = Z[i] l’anello degli interi di Gauss. Trovare i divisori di 1 + 3i e 5i. Determinare, se esiste, il loro
massimo comun divisore.
8) Scomporre i seguenti interi di Gauss in prodotto di primi: 2, 5, 17, 1 + 2i, 6i − 3.
9) In Z[x] si considerino i seguenti polinomi: f (x) = x5 − x3 + 1 e g(x) = x2 + 1. Determinare il quoziente e il
resto della divisione euclidea di f (x) per g(x).
10) In Z7 [x] si considerino i seguenti polinomi: f (x) = 3x4 + 2x3 + 2x + 5 e g(x) = 2x2 + 5x + 1. Determinare
il quoziente e il resto della divisione euclidea di f (x) per g(x).