Esempio: 5 palline numerate da 1 a 5.
Estrazione di due palline.
Combinazioni:
(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,3) (2,4) (2,5) (3,4) (3,5) (4,5)
Disposizioni:
(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,3) (2,4) (2,5) (3,4) (3,5) (4,5)
(2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (3,2) (4,2) (5,2) (4,3) (5,3) (5,4)
Disposizioni con ripetizione:
(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,3) (2,4) (2,5) (3,4) (3,5) (4,5)
(2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (3,2) (4,2) (5,2) (4,3) (5,3) (5,4)
(1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5)
due dispari
pari e dispari
due dispari
pari e dispari
due dispari
pari e dispari
1 a. Probabilità di estrarre contemporaneamente due palline dispari.
Non conta l’ordine combinazioni
C3,2
- Col calcolo combinatorio: p =
C5,2
=
3! 2!3! 18 3
⋅
=
=
2! 5! 60 10
- Col prodotto di probabilità: devo immaginare necessariamente di estrarre le palline
consecutivamente senza reimmissione:
3 2 3
p= ⋅ =
Non devo moltiplicare per le permutazioni perché i due numeri sono Dispari5 4 10
Dispari, sono due oggetti equivalenti. La permutazione sarebbe 2!/2!.
1 b. Probabilità di estrarre contemporaneamente un pari e un dispari.
Non conta l’ordine combinazioni
- Col calcolo combinatorio: p =
3⋅ 2 6 3
= =
C5,2 10 5
- Col prodotto di probabilità: devo immaginare di estrarre le palline consecutivamente senza
reimmissione. Immagino quindi di estrarre prima un pari o prima un dispari, ma devo ricordarmi
che vale anche l’altra possibilità!
3 2 2 3 3 2
3
p = ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅2 =
(sto calcolando un rapporto di disposizioni: 12 /20…)
5 4 5 4 5 4
5
Devo moltiplicare per le permutazioni (2!) perché i due numeri sono Dispari-Pari, sono oggetti non
equivalenti. Notare che al denominatore compare il prodotto 5 x 4, cioè le disposizioni di 5
elementi in due posti, queste sono il doppio delle combinazioni di 5 elementi presi 2 a 2. Poiché
l’ordine non conta, avendo un denominatore che è il doppio del numero reale di combinazioni, devo
raddoppiare anche il numeratore, ricordandomi che sto facendo un’estrazione contemporanea, cioè
sto valutando le combinazioni. In questo caso il risultato è più sicuro col calcolo combinatorio.
2 a. Probabilità di estrarre due palline dispari consecutivamente senza reimmissione.
Conta l’ordine disposizioni
3⋅ 2 6
3
=
=
D5,2 5 ⋅ 4 20 10
3 2 3
- Col prodotto di probabilità: p = ⋅ =
5 4 10
- Col calcolo combinatorio: p =
D3,2
=
Non devo moltiplicare per le permutazioni perché Dispari-Dispari sono oggetti equivalenti.
2 b. Probabilità di estrarre un pari e un dispari consecutivamente senza reimmissione.
Conta l’ordine disposizioni
P-D
2 3
Ho 2 x 3 x 2! disposizioni, perché P – D è diverso da D – P. Devo permutare.
3 ⋅ 2 ⋅ 2! 12 3
=
=
D5,2
5⋅4 5
3 2
3
3
- Col prodotto di probabilità: p = ⋅ ⋅ 2! = ⋅ 2 =
5 4
10
5
- Col calcolo combinatorio: p =
In questo caso devo moltiplicare per le permutazioni perché ho ipotizzato di estrarre prima il dispari
ma avrei potuto estrarre prima il pari.
2 a. Probabilità di estrarre due palline dispari consecutivamente con reimmissione.
Conta l’ordine disposizioni con ripetizione
- Col calcolo combinatorio: p =
r
D3,2
r
D5,2
=
32 9
=
52 25
3 3 9
- Col prodotto di probabilità: p = ⋅ =
5 5 25
Non permuto perché Dispari-Dispari sono oggetti equivalenti, nel prodotto 3 x 3 comprendo tutte le
possibili coppie Dispari-Dispari.
2 b. Probabilità di estrarre un pari e un dispari consecutivamente con reimmissione.
Conta l’ordine disposizioni con ripetizione
P–D
3 2
Ho 2 x 3 x 2! disposizioni, perché P – D è diverso da D – P. Devo permutare.
- Col calcolo combinatorio: p =
3 ⋅ 2 ⋅ 2! 12 12
= 2 =
r
D5,2
5
25
3 2
12
- Col prodotto di probabilità: p = ⋅ ⋅ 2! =
5 5
25
Ho ipotizzato di estrarre prima il dispari poi il pari, ma devo ricordarmi che avrei potuto fare il
contrario, moltiplico per le permutazioni.
Provate a memorizzare questi esempi…
