PROGRAMMA DEL CORSO DI ALGEBRA E LOGICA
INGEGNERIA INFORMATICA E DELL’AUTOMAZIONE
Anno Accademico: 2015-2016
Facoltà di Ingegneria – Università Politecnica delle Marche
Docente: Chiara Brambilla
Richiami di teoria degli insiemi.
Notazioni. Connettivi logici. Operazioni tra insiemi: unione, intersezione, differenza,
differenza simmetrica, prodotto cartesiano. Insieme delle parti. Definizione di corrispondenza e di funzione. Definizione di funzione iniettiva, suriettiva, biunivoca. Definizione
di funzione composta. Definizione di funzione inversa.
Richiami di aritmetica.
Divisione tra numeri interi. Numeri perfetti e teorema di Euclide (senza dimostrazione).
Numeri primi. Teorema fondamentale dell’aritmetica (senza dimostrazione). Teorema: i
numeri primi sono infiniti. Lemma di Gauss. Definizione di massimo comun divisore.
Identita’ di Bezout e unicita’ del MCD. Numeri primi tra loro (coprimi) e loro caratterizzazione. Definizione di minimo comune multiplo. Algoritmo di Euclide per il calcolo del
MCD.
Relazioni di equivalenza.
Definizione di relazione di equivalenza ed esempi. Definizione di classe di equivalenza,
insieme quoziente e proiezione canonica. Congruenza modulo n e insieme delle classi resto.
Descrizione dell’insieme delle classi di resto modulo n. Definizione di cardinalita’ di un
insieme e proprieta’ degli insiemi finiti.
Relazioni d’ordine e insiemi ordinati.
Definizione di relazione d’ordine parziale e totale ed esempi. Definizione di minimo,
massimo, elemento minimale e massimale, minorante e maggiorante, estremo inferiore e
superiore. Proprieta’ di massimo, massimale, sup. Definizione di reticolo e sue proprieta’.
Gruppi.
Definizione di operazione ed esempi. Definizione di semigruppo ed esempi. Sottoinsieme
chiuso per un’operazione. Sottosemigruppo. Potenze e multipli e relative proprieta’.
Elemento neutro e sue proprieta’. Definizione di monoide ed esempi. Sottomonoide,
sottomonoide generato da un sottoinsieme, sottomonoide ciclico. Definizione di elemento
invertibile e inverso. Proprieta’ dell’inverso.
Definizione di gruppo ed esempi. Gruppo degli elementi invertibili di un monoide.
Definizione di sottogruppo e criterio. Esempi: matrici ortogonali, radici complesse dell’unita’.
Definizione di permutazione e di gruppo simmetrico Sn su n oggetti. Definizione di sottogruppo generato da un sottoinsieme e di gruppo ciclico.
Omomorfismo di insiemi ordinati, di semigruppi, di monoidi. Definizione di omomorfismo di gruppi e relative proprieta’. Definizione di isomorfismo, endomorfismo, automorfismo. Definizione di classe laterale destra e sinistra. Lemmi sulle proprieta’ delle classi
laterali e Teorema di Lagrange. Definizione di sottogruppo normale e criterio di normalita’. Relazione di equivalenza associata a un sottogruppo normale. Gruppo quoziente
G/N e proiezione canonica. Nucleo di un omomorfismo di gruppi. Il nucleo e’ sottogruppo
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normale. Criterio di iniettivita’ per omomorfismi di gruppi. Teorema fondamentale di isomorfismo per i gruppi.
Anelli e campi.
Definizione di anello e anello commutativo. Proprieta’ degli anelli, esempi. Definizione
di multipli e potenze. Sottoanello: definizione e criterio. Definizione di divisori dello
zero e di dominio di integrita’. Definizione di corpo e di campo. Esempi. Ogni campo
e’ dominio di integrita’. Definizione di ideale ed esempi. Proprieta’ degli ideali. Ideali
generati e ideali principali. Anello quoziente. Esempio di anello quoziente: Zn classi di
resto modulo n.
Omomorfismo di anelli . Nucleo di un omomorfismo di anelli. Il nucleo e’ un ideale.
Anello dei polinomi a coefficienti in un anello. Divisione tra polinomi e MCD. L’anello
delle classi resto modulo n, Zn . Caratterizzazione dei campi Zp . La caratteristica di un
anello.
Logica proposizionale.
Introduzione: denotazione e connotazione, sintassi e semantica. Sintassi: definizione di
formula ben formata. Sottoformula. Principio di induzione strutturale.
Semantica: definizione di interpretazione. Tavole di verita’. Proposizione soddisfacibile, tautologica, contraddittoria. Definizione di conseguenza semantica. Teorema di
deduzione semantica. Definizione di equivalenza semantica. Teorema di sostituzione.
Equivalenze semantiche notevoli (idempotenza, ecc...) Funzione di verita’ e connettivi
derivabili. Definizione di forma normale disgiuntiva e congiuntiva. Metodi per ridurre a
fnd e fnc. Teorema di completezza funzionale e corollario.
Sistemi di calcolo: la Deduzione Naturale. Sintassi degli alberi di prova e regole di
inferenza. Teorema di correttezza per la deduzione naturale. Corollari del teorema di correttezza. Definizione di insieme consistente, inconsistente e consistente massimale Esercizi
di calcolo in deduzione naturale. Proprieta’ degli insiemi consistenti massimali. Teorema
di completezza. Teorema di compattezza.
Logica dei predicati.
Sintassi della logica dei predicati. Alfabeto: variabili, costanti, funzioni e quantificatori. Insieme dei termini TER e delle formule ben formate FBF. Teorema di induzione
strutturale (senza dimostrazione). Variabili libere FV e legate BV. Sostituzione.
Semantica della logica dei predicati. Definizione di mondo (o struttura) e di ambiente.
Definizione di interpretazione. Semantica: definizione di valore di un termine e di valore
di verita’ di una formula. Formula soddisfatta, soddisfacibile, vera, valida. Definizione di
conseguenza e equivalenza semantica. Equivalenze logiche notevoli (senza dimostrazione).
Forma normale prenessa.
