CENNI DI TOPOLOGIA IN R Sia x0 un numero reale ed r un numero

CENNI DI TOPOLOGIA IN R
Sia x0 un numero reale ed r un numero reale positivo.
torno (sferico) di centro x0 e raggio r l’insieme
Chiamiamo in-
I (x0 , r) = {x ∈ R tali che |x − x0 | < r}
Sia dato un sottinsieme E ⊆ R ; CE indica il complementare di E rispetto
ad R.
DEFINIZIONE 1 :
Un punto x0 ∈ E si dice interno ad E se esiste un suo intorno I (x0 , r)
contenuto in E, ovvero se ∃ r̄ > 0, tale che I (x0 , r̄) ⊆ E.
Un punto x0 ∈ R si dice esterno ad E se è interno a CE
Un punto x0 ∈ R si dice di frontiera per E se ogni suo intorno ha intersezione non vuota sia con E che con CE
Osserviamo che
- se x0 è interno ad E allora appartiene ad E
- se x0 è esterno ad E allora appartiene a CE
- se x0 è di frontiera per E allora può appartenere sia ad E che a CE
DEFINIZIONE 2 : Un insieme E si dice aperto se tutti i suoi punti sono
interni, ovvero se per ogni x0 ∈ E esiste un intorno I (x0 , r) contenuto in E.
Proprietá: L’unione e l’intersezione tra due insiemi aperti é un aperto.
DEFINIZIONE 3: Un insieme E si dice chiuso se il suo complementare
CE é un insieme aperto
Proprietá: L’unione e l’intersezione tra due insiemi chiusi é un chiuso.
DEFINIZIONE 4: Un punto x̄ ∈ R si dice un punto di accumulazione
per E se in ogni intorno di x̄ cade almeno un punto di E, diverso da x̄.
L’insieme dei punti di accumulazione di un insieme E si chiama il derivato
di E e si indica con DE.
Teorema: Un insieme E é chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di
accumulazione.
Si chiama chiusura di un insieme E e si indica con Ē l’unione di E con
il suo derivato. Gli insiemi chiusi sono quelli che coincidono con la loro
chiusura.
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In generale, un insieme E puó avere oppure non avere punti di accumulazione. Sussiste tuttavia il seguente teorema:
Teorema di Bolzano-Weierstrass: Ogni sottinsieme E di R limitato e con
infiniti punti ha almeno un punto di accumulazione.
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