Numeri irrazionali

Numeri irrazionali
B. Palumbo - Dipartimento di Matematica e Fisica
Università Roma Tre - e.mail: [email protected]
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Esistenza dei numeri irrazionali
Numeri algebrici e trascendenti
Casi facili di dimostrazioni di irrazionalità (radici, logaritmi)
Irrazionalità di alcuni numeri "celebri": e , π
Serie con fattoriali al denominatore
Frazioni continue
Criteri più avanzati: alcuni casi riguardanti la funzione ζ di
Riemann
È ben nota una semplice dimostrazione dell'irrazionalità di 2 (si vedrà tra poco che il
procedimento si può adattare a molti altri casi); tuttavia, prima di presentare questa dimostrazione
bisognerebbe dimostrare che esistono numeri reali non razionali: altrimenti, l'unica conclusione che
si ottiene è che non esiste alcun numero razionale il cui quadrato è 2 (dunque 2 semplicemente
potrebbe NON ESISTERE!)
OCCORRE QUINDI CHE SI ABBIA ALMENO UN'IDEA DELLA STRUTTURA DEI
NUMERI REALI.
La questione non è semplice; alcuni testi per la scuola media superiore definiscono i numeri
reali seguendo in sostanza la costruzione di Dedekind, cioè utilizzando le sezioni dell'insieme Q dei
numeri razionali: un numero reale α si identifica con una sezione (A1 , A2) del campo dei numeri
razionali (si possono anche considerare due "classi contigue" di numeri razionali, cioè due insiemi
A1, A2 ⊂ Q tali che si abbia x < y se x ∈ A1 e y ∈ A2 e tali che valga la proprietà dell'avvicinamento
indefinito, anche se può essere A1 ∪ A2 ≠ Q). Apparentemente è una definizione intuitiva, ma
solleva alcuni problemi teorici. Ad esempio, è abbastanza facile definire la somma di due numeri
reali, ma già il prodotto solleva alcuni problemi; ancor più complicata è la definizione di potenza ad
esponente reale.
Supponendo di aver superato queste difficoltà, si può costruire una sezione di Q che definisce
un numero positivo il cui quadrato è 2: ciò dimostra che esiste in R il numero 2 ; più in generale,
esiste per ogni x reale positivo e per ogni n naturale un numero reale positivo y (unico!) tale che
yn = x: tale numero si indica con n x .
2
Osservazione. Esistono altre definizioni dell'insieme dei numeri reali. Ad esempio, in alcuni testi di algebra per
la scuola superiore si preferisce partire dalla rappresentazione decimale dei numeri (perciò un numero razionale è
definito come un numero che ha una rappresentazione decimale finita o periodica, diversamente un numero è
irrazionale); invece, in molti testi di Analisi a livello universitario, si procede per via assiomatica, cioè prendendo come
punto di partenza le proprietà essenziali di R (assiomi di campo, assiomi dell'ordine, assioma di completezza).
Come si dimostra l'irrazionalità della radice di 2?
Spesso nelle dimostrazioni di irrazionalità, si procede per assurdo. Supponiamo che esistano
a2
a
due numeri interi positivi a e b (privi di fattori comuni) tali che 2 = . Da ciò segue 2 = 2 ,
b
b
perciò a2 = 2b2. Ora, è impossibile soddisfare questa uguaglianza con numeri naturali. Infatti, si
consideri il numero a2: se a contiene il fattore 2 elevato ad un certo esponente, la scomposizione in
fattori primi di a2 conterrà 2 con esponente raddoppiato; perciò al primo membro il fattore 2 appare
con esponente pari.
Lo stesso vale per b2, essendo anch'esso un quadrato perfetto. Ma siccome al secondo membro
appare anche un altro fattore 2, la scomposizione di 2b2 contiene il fattore 2 con un esponente
dispari. Questo non è possibile, per cui si ha l'assurdo. 
Osservazione (molto importante!). Per ottenere l'assurdo, si è data per scontata una proprietà di estrema
importanza in aritmetica, cioè il teorema della fattorizzazione unica: ogni numero naturale maggiore di 1 si scrive in
modo unico come prodotto di potenze di numeri primi.
Con lo stesso procedimento si dimostra l'irrazionalità di altri radicali. Ad esempio, 3 9 è
a
irrazionale, perché se si pone 3 9 =
(a, b naturali con M.C.D. 1), si trova a3 = 32⋅b3; la
b
scomposizione di a3 contiene il fattore 3 con esponente nullo oppure multiplo di 3 (0, 3, 6, 9, ...); lo
stesso vale per b3, quindi il secondo membro contiene il fattore 3 elevato ad un esponente 3k + 2
(cioè 2, 5, 8, ...) ⇒ assurdo!
IN GENERALE: se m ed n ∈ N2, e se m non è una potenza n-esima perfetta (potenza
n-esima di un numero naturale), allora la radice n-esima di m è irrazionale (se n m non è un
intero non può essere neanche razionale).
Un procedimento simile funziona per i logaritmi. Ad esempio, log10 2 è un numero
irrazionale.
(Analogamente a quanto osservato prima sulla radice n-esima, occorre prima aver definito la potenza di una base
positiva ad esponente reale, ed occorre aver dimostrato l'esistenza del logaritmo di un numero positivo x in una qualsiasi
base b positiva e diversa da 1).
Si ragioni ancora per assurdo: sia log10 2 =
a
, a, b ∈ N.
b
a
b
10
Si ha allora
= 2 , da cui 10a = 2b. Questa uguaglianza è assurda, in quanto 10a = 2a⋅5a:
perciò al primo membro appare 5 elevato ad un certo esponente positivo a, mentre al secondo
membro 5 non c'è. 
Più in generale, se M ed N sono due numeri naturali maggiori di 1, sotto quale ipotesi logM N
è razionale?
a
a
Se log M N = (a, b ∈ N), allora M b = N , da cui Ma = Nb.
b
3
Se M contiene un fattore primo che non appare nella scomposizione di N, o viceversa,
l'uguaglianza suddetta è impossibile ⇒ logM N è irrazionale. In altre parole, condizione necessaria
affinché il logaritmo in base M ∈ N2 di un numero naturale N ∈ N2 sia razionale, è che M ed
N contengano gli stessi fattori primi.
Questa però non è una condizione sufficiente! Ad esempio, log9 27 =
3
, ma log20 80 è
2
irrazionale, nonostante 20 e 80 contengano gli stessi fattori primi.
Il motivo è il seguente: affinché sia logM N razionale, non solo base ed argomento devono
avere gli stessi fattori primi, ma ci deve essere proporzionalità tra gli esponenti.
Ad esempio: 20736 = 28 ⋅ 34, 248832 = 210 ⋅ 35 ⇒ log 20736 248832 =
5
(gli esponenti nella
4
scomposizione di N sono quelli della scomposizione di M moltiplicati per 5 ).
4
Un'interessante osservazione di carattere storico. Già la scuola pitagorica era a conoscenza dell'irrazionalità
delle radici di alcuni numeri interi (sarebbe meglio dire "l'incommensurabilità di alcune coppie di segmenti", ad
esempio il lato e la diagonale di un quadrato). Tuttavia, sembra che prima di Euclide l'irrazionalità di numeri quali la
radice di 3, di 5, ecc. fosse dimostrata con procedimenti diversi a seconda del numero, quindi senza l'uso del teorema
della fattorizzazione unica.
Un'ulteriore osservazione didattica. L'irrazionalità della radice quadrata di 2 rappresenta l'argomento
"privilegiato" per giustificare l'introduzione di altri numeri oltre a quelli razionali; occorre però evitare di dare la falsa
impressione che i numeri irrazionali servano soltanto per scrivere le radici! In realtà, è facile vedere che i numeri che si
possono ottenere tramite radicali (con radicandi interi) rappresentano una "piccola minoranza" di tutti i numeri
irrazionali.
NUMERI ALGEBRICI E NUMERI TRASCENDENTI
Un numero reale si dice algebrico se è radice di un'equazione polinomiale a coefficienti interi.
m
Tutti i numeri razionali sono algebrici: infatti
è radice dell'equazione nx − m = 0. Inoltre,
n
alcuni numeri irrazionali sono algebrici, ad esempio 3 2 (radice dell'equazione x3 − 2 = 0). Vi sono
però numeri algebrici non esprimibili tramite radicali (ad esempio, esiste un unico x tale che
x5 + x = 1: esso è un numero algebrico non esprimibile tramite operazioni razionali e radicali).
a+b N
In generale, ogni numero del tipo x0 =
(con a, b, c, N interi, b ≠ 0 ed N non
c
quadrato perfetto) è algebrico, in quanto si scrive facilmente un'equazione di 2° grado che ammette
la radice x0.
11 − 2 2
11 − 2 2
è algebrico. Infatti, l'equazione avente radici
e
4
4
11 + 2 2 
11 − 2 2 
11 + 2 2 
 x −
 = 0 , cioè 16 x 2 − 8 x 11 + 3 = 0 . Se poi si moltiplica
è  x −
4
4
4



2
il primo membro di questa equazione per 16 x + 8 x 11 + 3 , si trova 256x4 − 608x2 + 9 = 0 (questa
equazione ha quattro radici reali, tra cui x0).
Altro esempio: un'equazione di grado minimo avente tra le sue radici 2 + 3 + 5 è
8
x − 40x6 + 352x4 − 960x2 + 576 = 0.
Ma anche x0 =
4
Se un numero reale non è algebrico, si dice trascendente.
Stranamente, è facile dimostrare l'esistenza di numeri trascendenti (anzi, essi sono MOLTI di
più dei numeri algebrici), ma è molto difficile dimostrare che un dato numero (ad esempio una delle
"costanti notevoli" dell'Analisi) è trascendente (la trascendenza di π implica l'irrisolubilità di
problemi come la quadratura del cerchio e la rettificazione della circonferenza con riga e
compasso).
Dimostriamo che esistono numeri trascendenti.
Definiamo grado di un numero algebrico α il grado minimo di un'equazione a coefficienti
11quadratici sono di
interi che ammette α come radice. I razionali sono algebrici di grado 1; i radicali
grado 2, la somma di due radicali quadratici invece è di grado 4.
• I numeri razionali costituiscono un insieme numerabile;
• le equazioni di secondo grado a coefficienti interi costituiscono un insieme numerabile
(prodotto cartesiano di insiemi numerabili), perciò gli algebrici di grado 2 costituiscono un
insieme numerabile;
• allo stesso modo, le equazioni a coefficienti interi di terzo grado costituiscono un insieme
numerabile, per cui i numeri algebrici di grado 3 costituiscono un insieme numerabile;
• ecc. ecc.
In conclusione, l'insieme dei numeri algebrici è dato dall'unione numerabile di insiemi
numerabili, quindi è un insieme numerabile.
MA I NUMERI REALI HANNO LA POTENZA DEL CONTINUO, perciò non solo
esistono numeri reali non algebrici, ma essi costituiscono un insieme avente la potenza del continuo
(in altre parole, essi sono "molti di più"!).
IRRAZIONALITÀ DI e, π ED ALTRI NUMERI
AD ESSI COLLEGATI
Sebbene in diverse dimostrazioni di irrazionalità si utilizzino tecniche di Analisi Matematica
(non sempre "avanzate"), spesso i testi di Analisi ignorano l'argomento (solo alcuni riportano la
dimostrazione di irrazionalità del numero e).
Il punto di partenza è la formula di Taylor, che consente di scrivere una funzione (derivabile
n + 1 volte con continuità in un intorno di a) come somma del polinomio di Taylor di ordine n Pn(x)
e di un resto (errore); Pn(x) soddisfa la condizione Pn( k ) (a) = f ( k ) (a) per ogni k = 0, 1, ..., n.
f ( x) = Pn ( x) + Rn ( x) = f (a ) + f ′(a )( x − a ) +
+
f ′′(a )
( x − a)2 +
2!
f ( n) (a)
f ( n +1) (c)
( x − a)n +
( x − a ) n +1 ,
(n + 1)!
n!
per un c compreso tra a ed x.
Questa formula è utile per dare delle approssimazioni numeriche di funzioni altrimenti non
calcolabili (funziona bene soprattutto per x "vicino" ad a.
Sia f(x) = ex, a = 0 ed x = 1; essendo f (k)(x) = ex ∀k, si ha
f (1) = e = 1 + 1 +
n
ec
ec
1 1
1
1
+ ++ +
=∑ +
,
n! (n + 1)! k = 0 k! (n + 1)!
2! 3!
5
con 0 < c < 1. Utilizzando la maggiorazione e < 3, si vede che l'errore Rn (1) =
ec
è compreso
(n + 1)!
n
1
1
3
1
3
e
. Perciò si può scrivere
.
<e−∑ <
(n + 1)! (n + 1)!
(n + 1)!
k! (n + 1)!
k =0
a
Sia per assurdo e = , con a, b ∈ N; scegliamo un numero naturale n maggiore di b e
b
maggiore di 3, e per tale n consideriamo la formula appena scritta. Moltiplicando per n! si ha
n
n!
n!
3n!
< n!e − ∑ <
, cioè
k
n
+ 1)!
(n + 1)!
!
(
k =0
tra
0<
n
3
1
n!
,
< n!e − ∑ <
!
+1
n +1
k
n
k =0
dove si è tenuto conto anche del fatto che il primo membro è positivo.
Ora, b è un divisore di n!, perciò n!⋅e è un intero. Inoltre, ciascun addendo della sommatoria è
n
n!
un intero, visto che k assume tutti i valori tra 0 ed n. Ne segue che n!e − ∑ è un numero intero.
k!
k =0
Ma, essendo n > 3, tale differenza è compresa tra 0 e 3/4, il che è impossibile. 
Esiste una dimostrazione alternativa, che si presta ad interessanti generalizzazioni.
n
∞
n
1
1
1
3
Dalla doppia disuguaglianza 0 < e − ∑ <
si ricava e = ∑
(infatti, ∑
è la
(n + 1)!
k = 0 k!
k = 0 k!
k = 0 k!
3
ridotta n-esima della serie, e d'altra parte lim
= 0 ).
n →∞ ( n + 1)!
a
Supponiamo allora e =
(a, b ∈ N); preso un n ≥ b, consideriamo la differenza tra e e la
b
ridotta n-esima detta sopra:
n
1
1 1 1
1
= e − − − −− .
0! 1! 2!
n!
k = 0 k!
e−∑
Questo numero è positivo, visto che in una serie a termini positivi le somme parziali danno
sempre approssimazioni per difetto della somma. Moltiplichiamo ora per n! e indichiamo con α il
numero così ottenuto:
1 1 1
1

α = n! e − − − −  −  .
0! 1! 2!
n! 

Il numero α è intero, in quanto n! è multiplo di b, e tutti i termini n!/0!, n!/1!, ..., n!/n! sono
interi.
Considerando però la "serie resto", si ottiene
1 1 1
1
1
1

 1

0 < α = n! e − − − −  −  = n!
+
+
+  =
0! 1! 2!
n! 

 (n + 1)! (n + 2)! (n + 3)!

1
1
1
=
+
+
+
n + 1 (n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2)(n + 3)
6
Essendo (n + 1)(n + 2) > (n + 1)2, il termine
simile,
1
1
si maggiora con
; in modo
(n + 1)(n + 2)
(n + 1) 2
1
1
si maggiora con
, ecc.
(n + 1)(n + 2)(n + 3)
(n + 1)3
Perciò, α si maggiora con la somma della serie geometrica
1
1−
1
n +1
−1 =
1
1
1
, che vale
+
+
n + 1 (n + 1) 2 (n + 1)3
1
⇒ assurdo! 
n
Una possibile generalizzazione è la seguente: fissato un p naturale, si consideri la serie
∞
1
∑ p , e si indichi con ep la sua somma: ad esempio, e2 è uguale a
k =0 ( k!)
1
1
1
+
+
+  (e1
2
2
(0!)
(1!)
(2!) 2
coincide con e).
Dimostriamo che ep è irrazionale per ogni p ∈ N.
a
La tecnica è la stessa del caso p = 1. Sia e p = (a, b ∈ N), sia n ≥ b, e si definisca α come il
b
prodotto di (n!)p e della differenza tra ep e la ridotta n-esima
n
1
∑ p:
k =0 ( k!)

1
1
1
1 
.
α = (n!) p  e p −
−
−
−
−

(0!) p (1!) p (2!) p
(n!) p 

Analogamente a quanto detto sopra, questo numero è intero positivo. Considerando ora la
serie resto, si ottiene:

1
1
1
1 
=
−
−
−−
0 < α = (n!) p  e p −
p
p
p
(0!)
(1!)
(2!)
(n!) p 

=
1
1
1
(n!) p
(n!) p
(n!) p
+
+
+ <
+
+
==
p
p
p
p
p
(n + 1)
((n + 1)(n + 2))
((n + 1)(n + 2)(n + 3)) p
((n + 1)!)
((n + 2)!)
((n + 3)!)
<
1
1
1
1
⇒ Assurdo!
+
+
+ =
p
2p
3p
(n + 1)
(n + 1)
(n + 1)
(n + 1) p − 1
In queste dimostrazioni si è ottenuto un assurdo mostrando che una certa espressione
dovrebbe essere un numero naturale ma anche un numero compreso tra 0 e 1.
La stessa idea si può applicare ad altri casi; più esattamente, per dimostrare l'irrazionalità di
un numero si suppone per assurdo che esso sia razionale, e si costruisce un opportuno integrale: se
si riesce a far vedere che questo integrale è un intero positivo, ma si può anche rendere piccolo a
piacere, si ottiene un assurdo.
Per le dimostrazioni che seguono, è necessario considerare certi polinomi che hanno
particolari caratteristiche utili in questi casi.
x n (1 − x) n
Fissato n ∈ N, si definisca p( x) =
.
n!
Le proprietà "notevoli" del polinomio p sono le seguenti:
28
7
1
;
n!
tutte le derivate di p assumono valori interi per x = 0 e per x = 1.
•
al variare di x in (0 , 1) risulta 0 < p( x) <
•
La prima proprietà è ovvia (in realtà è 0 < p ( x) ≤
osservi che p( x) =
2n
cm
xm
∑
m= n n!
1
). Per dimostrare la seconda proprietà, si
4n!
(i numeri cm sono interi). D'altra parte, p(x) si può scrivere come il
polinomio di Taylor di se stesso (di ordine 2n, con a = 0); si ha cioè p ( x) =
2n
p ( m ) (0) m
∑ m! x .
m =0
Confrontando le due espressioni di p, si trova p(0) = p'(0) = ... = p(n−1)(0) = 0, mentre per n ≤ m ≤ 2n
cm p ( m ) (0)
m!
m!
=
si ha
, da cui p ( m ) (0) = cm . Essendo
intero, concludiamo che le derivate p(n)(x),
n!
m!
n!
n!
p(n+1)(x), ..., p(2n)(x) assumono valori interi in x = 0, ed anche per x = 1 (per la simmetria di p).
4
5
6
7
8
Ad esempio, per n = 4 è p ( x) = x − x + x − x + x . Le derivate successive sono:
24 6
4
6 24
p′( x) =
x3 5 x 4 3x5 7 x 6 x 7
−
+
−
+
6
6
2
6
3
;
p′′( x) =
x 2 10 x 3 15 x 4
7 x6
−
+
− 7 x5 +
2
3
2
3
;
p′′′( x) = x − 10 x 2 + 30 x 3 − 35 x 4 + 14 x 5 ;
p ( 4) ( x) = 1 − 20 x + 90 x 2 − 140 x 3 + 70 x 4 ;
p (5) ( x) = −20 + 180 x − 420 x 2 + 280 x 3 ;
p ( 6) ( x) = 180 − 840 x + 840 x 2 ;
p ( 7 ) ( x) = −840 + 1680 x ;
p (8) ( x) = 1680 ;
p (9) ( x) = p (10) ( x) =  = 0 .
Risulta p(0) = p(1) = 0, e lo stesso vale per p', p'', p'''; inoltre si ha p(4)(0) = 1, p(4)(1) = 1, p(5)(0) = −20, p(5)(1) =
20, p (0) = 180, p(6)(1) = 180, p(7)(0) = −840, p(7)(1) = 840, p(8)(0) = 1680, p(8)(1) = 1680.
(6)
Dimostriamo ora che er è irrazionale per ogni esponente razionale r ≠ 0.
Osserviamo che è sufficiente considerare il caso del numero eh per h naturale. Infatti, se eh è
irrazionale, lo è anche e − h = 1 / e h , e lo è anche e r = e h / k = k e h .
a
Sia allora h un numero naturale, e sia per assurdo eh = (a, b ∈ N). Fissiamo un n naturale,
b
definiamo per tale n il polinomio p(x) e consideriamo la funzione
F(x) = h2np(x) − h2n−1p'(x) + ... − h⋅p(2n−1)(x) + p(2n)(x).
La F assume valori interi in x = 0 e in x = 1. Ora calcoliamo la derivata di ehxF(x):
D(ehxF(x)) = ehx(hF(x) + F'(x))=
= e {h(h2np(x) − h2n−1p'(x) + ... − h⋅p(2n−1)(x) + p(2n)(x)) +
+ h2np'(x) − h2n−1p''(x) + ... − h⋅p(2n)(x) + p(2n+1)(x)} =
= eh(x){h2n+1p(x) + p(2n+1)(x)},
hx
che si riduce ad h2n+1eh(x)p(x), essendo p(2n+1)(x) = 0. Allora:
1
[
b ∫ h 2 n +1e hx p ( x)dx = b e hx F ( x)
0
]
1
0
= be h F (1) − bF (0) = aF (1) − bF (0) ∈ N .
8
Essendo però 0 < p ( x) <
1
, si ha la doppia disuguaglianza
n!
1
0 < b ∫ h 2 n+1e hx p ( x)dx < bh 2 n+1e h
0
da cui l'assurdo, perché n abbastanza grande a
lim a
n→∞
1
h 2 n+1
,
=a
n!
n!
h 2 n+1
diventa piccolo a piacere (essendo
n!
h 2 n+1
= 0 ). 
n!
Conseguenza immediata di questo teorema: log r è irrazionale per ogni r razionale (a parte
log 1 = 0).
In modo simile si dimostra che anche π è irrazionale (più esattamente, dimostriamo che π2
è irrazionale).
a
Posto per assurdo π 2 = (a, b ∈ N), fissiamo un n naturale, quindi definiamo la funzione
b
G(x) = bn{π2np(x) − π2n−2p"(x) + π2n−4p(4)(x) − ... + (−1)np(2n)(x)}.
Essendo poi π 2 =
a 4 a2
an
, π = 2 , ..., π 2 n = n , si ha
b
b
b
G(x) = anp(x) − an−1bp"(x) + an−2b2p(4)(x) − ... + (−1)nbnp(2n)(x).
Per quanto detto sopra, G(0) e G(1) sono interi.
Sia H ( x) = G′( x)sen πx − πG ( x) cos πx ; allora:
H ′( x) = G′′( x)sen πx + πG′( x) cos πx − πG′( x) cos πx + πG ( x)sen πx =
(
)
= G′′( x)sen πx + π 2G ( x)sen πx = G′′( x) + π 2G ( x) sen πx .
Calcolando esplicitamente G′′( x) + π 2G ( x) , troviamo:
G"(x) + π2G(x) =
= bn{π2np"(x) − π2n−2p(4)(x) + π2n−4p(6)(x) − ... + (−1)np(2n+2)(x)} +
+ bnπ2{π2np(x) − π2n−2p"(x) + π2n−4p(4)(x) − ... + (−1)np(2n)(x)} =
= bn{π2np"(x) − π2n−2p(4)(x) + π2n−4p(6)(x) − ... + (−1)np(2n+2)(x) +
+ π2n+2p(x) − π2np"(x) + π2n−2p(4)(x) − ... + (−1)nπ2p(2n)(x)},
che si riduce a b n π 2 n+ 2 p ( x) , in quanto i termini intermedi si semplificano, ed inoltre p(2n+2)(x) = 0.
Essendo poi π2 n = an/bn, la derivata di H(x) è π 2 a n p( x)sen πx . Perciò:
 G′( x)sen πx

∫0 πa p( x)sen πx dx =  π − G( x) cos πx 0 = G(0) + G(1) ,
1
1
n
9
che
per
quanto
detto
1
0 < ∫ πa n p ( x)sen πx dx <
0
prima
è
un
intero.
Ma
risulta
0 ≤ p ( x)sen πx ≤
1
,
n!
da
cui
πa n
πa n
⇒ ASSURDO! Infatti, per n abbastanza grande è
< 1 .
n!
n!
Nota: l'irrazionalità di e e di π fu dimostrata da Lambert nel 1761; la dimostrazione dell'irrazionalità di er vista
sopra è basata su quella di Hermite. Nel libro di I. Niven (vedi bibliografia) si trova una dimostrazione (basata su idee
essenzialmente simili, ma più complicata nei dettagli) del fatto che cos r è irrazionale per ogni r razionale diverso da 0;
da ciò si deduce immediatamente che π è irrazionale, perché cos π = −1. Lo stesso autore però subito dopo riporta la
dimostrazione vista sopra, decisamente più semplice, dell'irrazionalità di π2 (trovata da Legendre nel 1794).
Dall'irrazionalità di cos r si ricava anche l'irrazionalità di sen r e di tg r per ogni r razionale non nullo, e di conseguenza
l'irrazionalità dei valori assunti dalle funzioni goniometriche arcsen, arccos, arctg per argomenti razionali (esclusi i casi
in cui esse sono nulle).
Torniamo ora alla serie che esprime il numero e, per vedere una generalizzazione in un altro
senso.
Se b è un numero naturale maggiore di 1 fissato (base), possiamo rappresentare ogni numero
naturale in modo unico in base b. Ad esempio, il numero scritto in base 6 come 20135 vale nella
nostra base decimale
2⋅64 + 0⋅63 + 1⋅62 + 3⋅61 + 5⋅60 = 2651.
Viceversa, per convertire un numero dall'ordinaria base 10 ad un'altra base b si può procedere
per divisioni successive:
2651
5
Leggendo l'ultimo quoziente e i resti (in
ordine inverso), si trova 20135, rappresentazione in
base 6 del numero decimale 2651. Ogni n ∈ N si
6
441
3
m
6
scrive in maniera unica nella forma
73
1
6
12
6
0
2
ck ⋅ b k .
∑
k =1
I
numeri ck (interi compresi tra 0 e b − 1) sono le
cifre della rappresentazione di N in base b (nella
sommatoria sono scritte in ordine inverso rispetto a
quello solito).
Se un numero α non è intero, si ha un'analoga rappresentazione in una qualsiasi base b > 1, in
generale costituita di una sequenza infinita di cifre (ad essere rigorosi, questo "allineamento di
cifre" va in realtà interpretato come una serie):
α → (in base b) cncn−1...c1c0,a1a2a3... =
n
∞
ak
,
k
k =1 b
∑ ck ⋅ bk + ∑
k =1
dove le cifre ck sono numeri interi compresi tra 0 e b − 1 (se b > 10 occorre introdurre dei simboli,
oltre le classiche cifre da 0 a 9, per rappresentare i possibili valori di ck compresi tra 10 e b − 1).
Comunque si fissi la sequenza delle cifre, la serie suddetta è convergente, perché si maggiora
b −1
con una serie geometrica di ragione
. Ma, dato il numero reale α, come possiamo trovare la
b
sequenza delle cifre in base b?
10
Consideriamo il caso 0 < α < 1 (perciò [α] = 0). Sia ad esempio α =
53
(che in base 10 dà
288
0,184027 ), e sia b = 6.
Moltiplichiamo α per 6, e nel risultato separiamo la parte intera da quella decimale; la parte
intera dà la prima cifra dopo la virgola. Quindi iteriamo il procedimento utilizzando ogni volta la
parte decimale trovata al passaggio precedente:
53
318
5
⋅6 =
=1+
⇒ a1 = 1 ;
288
288
48
5
5
5
⋅ 6 = = 0 + ⇒ a2 = 0 ;
8
8
48
5
15
3
⋅ 6 = = 3 + ⇒ a3 = 3 ;
8
4
4
3
9
1
⋅ 6 = = 4 + ⇒ a4 = 4;
4
2
2
1
⋅ 6 = 3 ⇒ a5 = 3 .
2
Si è ottenuta così la rappresentazione finita 0,10343 (infatti,
53
1 0
3
4
3
).
+ 2+ 3+ 4+ 5=
1
288
6 6
6 6
6
Il procedimento può non avere termine; ad esempio, con α =
21
si trova:
25
21
126
1
= 5+
⇒ a1 = 5 ;
⋅6 =
25
25
25
1
6
6
⋅6 =
= 0+
⇒ a2 = 0 ;
25
25
25
6
36
11
⋅6 =
= 1+
⇒ a3 = 1 ;
25
25
25
11
66
16
⋅6 =
= 2+
⇒ a4 = 2;
25
25
25
16
96
21
⋅6 =
= 3+
⇒ a5 = 3 .
25
25
25
21
, per cui il ciclo ricomincia; si ha perciò il numero periodico 0, 50123
25
5 0 1
2
3
5
0 1
2
3
21
(cioè, la somma della serie 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 +  è
).
25
6 6
6 6
6
6
6
6 6
6
La proprietà di un numero reale α di essere razionale o irrazionale è "intrinseca"; invece, il
fatto che un numero razionale abbia rappresentazione finita o periodica dipende dalla base: 53/288
ha rappresentazione finita in base 6, infinita periodica in base 10; viceversa, 21/25 si scrive come
0, 50123 in base 6, ma come 0,84 in base 10.
Abbiamo ritrovato
In base b, un numero razionale ha rappresentazione finita solo se i fattori primi del
denominatore sono anche divisori di b (ad esempio, in base 10 i numeri con denominatore 4,
20, 80, 3200 sono numeri decimali finiti).
11
Ma se un numero termina con infinite cifre b − 1? Ad esempio, in base 10 0,2469 = 0,247
(basta applicare la regola della frazione generatrice); se un numero razionale non nullo ha una
rappresentazione finita, ne ha anche una periodica, ottenuta riducendo di 1 l'ultima cifra e
terminando con infiniti 9 (se il numero è intero si riduce di 1 la parte intera):
3,14 = 3,139
5,301 = 5,3009
12 = 11, 9
Un esempio nel sistema esadecimale: 2,1b34 si può anche scrivere 2,1b33fffffff.....
34509
).
(corrisponde a
16384
Adottiamo ora un procedimento diverso. Sia 0 < α < 1; moltiplichiamo dapprima α per 2,
separiamo la parte intera, quindi moltiplichiamo il numero così trovato per 3, separiamo la parte
intera e moltiplichiamo per 4, procedendo sempre allo stesso modo.
Se indichiamo con a2, a3, ... gli interi così trovati (che verificheranno la condizione
0 ≤ ak ≤ k − 1 per ogni k ≥ 2), possiamo scrivere il numero α come segue:
α=
∞
a2 a3 a4
ak
+ + + = ∑ .
2! 3! 4!
k = 2 k!
Possiamo chiamare "rappresentazione fattoriale" questo particolare modo di scrivere i numeri
reali. Se α ha anche una parte intera A, possiamo scrivere
α = (!)(A ; a2, a3, a4, a5, ...).
Ad esempio, sia α =
83
; abbiamo allora:
100
83
83
33
⋅2 =
= 1 + ⇒ a2 = 1 ;
100
50
50
49
98
23
⋅4 =
= 3+
⇒ a4 = 3 ;
50
25
25
3
18
3
⋅ 6 = = 3 + ⇒ a6 = 3 ;
5
5
5
1
8
3
⋅ 8 = = 1 + ⇒ a8 = 1 ;
5
5
5
2
⋅ 10 = 4 ⇒ a10 = 4 .
5
Perciò
scriviamo
33
99
49
⋅3 =
=1+
⇒ a3 = 1 ;
50
50
50
23
23
3
⋅5 =
= 4 + ⇒ a5 = 4 ;
25
5
5
3
21
1
⋅7 =
= 4 + ⇒ a7 = 4 ;
5
5
5
3
27
2
⋅9 =
= 5 + ⇒ a9 = 5 ;
5
5
5
83 1 1 3 4 3 4 1 5 4
= + + + + + + + +
,
100 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 10!
oppure
sinteticamente
83
= (!)(0 ;1,1, 3 , 4 , 3 , 4 ,1, 5 , 4) .
100
Il numero A può essere un intero qualsiasi (anche negativo); la prima "cifra" dopo il punto e
virgola può essere 0 o 1, la seconda 0, 1, 2, la terza 0, 1, 2, 3, ecc.
12
OGNI NUMERO RAZIONALE α AMMETTE UNA RAPPRESENTAZIONE
FATTORIALE FINITA.
m
La sommatoria
a
k
∑
k
k =2 !
termina al minimo m tale che il denominatore di α divide m!; ad
113
sarà necessario arrivare ad m = 15, visto che 15! è il più piccolo
1000
fattoriale divisibile per 1000.
Pertanto, può sembrare facile enunciare un criterio di irrazionalità: se la rappresentazione
fattoriale di α è infinita, α è irrazionale. Purtroppo non è così semplice, perché c'è un problema
analogo a quello detto prima a proposito dei numeri che terminano con infiniti 9.
esempio, per il numero
Si consideri infatti il numero α = (!)(0; 1, 2, 3, 4, ...) (supponiamo cioè che per ogni k ≥ 2 sia
1 2 3 4 5
ak = k − 1). Allora α = + + + + +  ; la somma n- esima è
2! 3! 4! 5! 6!
1 2 3 4
n −1 1  3 1   4 1   5 1 
n 1
+ + + ++
= +  −  +  −  +  −  ++  −  =
2! 3! 4! 5!
n!
2!  3! 3!   4! 4!   5! 5! 
 n! n! 
1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
= + − + − + − ++
− = 1− ,
2! 2! 3! 3! 4! 4! 5!
(n − 1)! n!
n!
 1
da cui α = lim 1 −  = 1 . In modo analogo, si vede che se nella rappresentazione fattoriale di un
n→∞
n! 
numero è definitivamente ak = k − 1, il numero è razionale: ad esempio, se
1
β = (!)(0 ; 0 , 0 ,, 0 , m , m + 1, m + 2,) , allora β = . La situazione quindi è simile a quella detta



m!
da a2 ad am
prima per i numeri decimali finiti: un numero razionale non nullo si può scrivere nella forma
α = (!)(A ; a2, a3, a4, ..., am), ma è anche α = (!)(A; a2, a3, a4, ..., am − 1, m, m + 1, m + 2, ...) (se α è
intero diventa (!)(A − 1; 1, 2, 3, ...)).
Quindi il criterio di irrazionalità per le rappresentazioni fattoriali è: sia (!)(A ; a2 , a3, a4, ...) la
rappresentazione fattoriale del numero α; se NON è definitivamente ak = 0, e NON è
definitivamente ak = k − 1, allora α è irrazionale.
Si ritrova così l'irrazionalità di e, in quanto si può scrivere e = (!)(2; 1, 1, 1, 1, ...) =
1 1 1 1
= 2 + + + + +
2! 3! 4! 5!
In alcuni casi possiamo anche calcolare esplicitamente la somma di serie di questo tipo. Ad
esempio, sia α = (!)(0; 1, 2, 1, 2, ...) (ak = 1 per k pari, ak = 2 per k dispari). Allora α si può scrivere
come segue:
1 1 1
 1 1 1

α =  + + +  + 2 + + +  .
 2! 4! 6!
  3! 5! 7!

13
∞
∞
x 2k
x 2 k +1
e senh x = ∑
, si trova α = cosh 1 − 1 + 2(senh1 − 1) =
k =0 ( 2k )!
k =0 ( 2k + 1)!
Essendo cosh x = ∑
=
3
1
3e 2 − 6e − 1
.
e− −3=
2
2e
2e
1 1 1 1 1 1
+  (serie dei reciproci dei fattoriali dei numeri
Altro esempio: ∑ = + + + +
2! 3! 5! 7! 11!
p p!
primi) dà una somma irrazionale, perché rientra nel criterio suddetto, con ak = 1 per k primo e ak = 0
per k composto.
In generale, una condizione sufficiente affinché α = (!)(A; a2, a3, a4, ...) sia un numero
irrazionale è che la successione {a2, a3, a4,...} non sia definitivamente nulla e sia superiormente
limitata.
Osservazione. A livello "pratico", la possibilità di ricavare le costanti ak della rappresentazione fattoriale è
subordinata alla conoscenza di α con tutta la precisione necessaria (il che d'altra parte è vero anche per la scrittura di α
in una qualsiasi base b). Ad esempio, si consideri il numero α = 2 ; ripetendo il ragionamento già visto, si ottiene:
2
α ⋅ 2 = 2 = 1 + ( 2 − 1) ⇒ a2 = 1 ;
( 2 − 1) ⋅ 3 = 3 2 − 3 = 1 + (3 2 − 4) ⇒ a3 = 1 ;
(3 2 − 4) ⋅ 4 = 12 2 − 16 = 0 + (12 2 − 16) ⇒ a4 = 0 ;
(12 2 − 16) ⋅ 5 = 60 2 − 80 = 4 + (60 2 − 84) ⇒ a5 = 4 ;
(60 2 − 84) ⋅ 6 = 360 2 − 504 = 5 + (360 2 − 509) ⇒ a6 = 5 ;
(360 2 − 509) ⋅ 7 = 2520 2 − 3563 = 0 + (2520 2 − 3563) ⇒ a7 = 5 ;
(2520 2 − 3563) ⋅ 8 = 20160 2 − 28504 = 6 + (20160 2 − 28510) ⇒ a8 = 6 ;
...
Si ha quindi α = (!)(0; 1, 1, 0, 4, 5, 5, 6, ...); ma per proseguire occorre valutare A 2 − B per A e B sempre più
grandi: se ad esempio si conosce 2 solo fino alla 6ª cifra decimale, quando A e B sono dell'ordine di 106 non si può
calcolare in modo attendibile la parte intera di A 2 − B .
42
È possibile utilizzare questo criterio per dimostrare l'irrazionalità di un numero α definito
come la somma di una generica serie (convergente) a termini razionali? Si può provare a scrivere
ciascun termine come una somma finita di frazioni con fattoriali al denominatore, per poi sommare
per colonne; può essere però molto complicato eseguire i riporti e soprattutto far vedere se è
definitivamente ak = k − 1 oppure no.
∞
Ad esempio, si consideri la nota "serie di Mengoli"
scrivendo per i primi termini la rappresentazione fattoriale, si ha:
1 1
=
2 2!
1 1
=
6 3!
1 2
=
12 4!
1 1 1
= +
20 4! 5!
1
1
1
1
1
= + + +
+;
∑
2 6 12 20
k =1 k ( k + 1)
14
1 4
=
30 5!
1 2 5 1
= + +
42 5! 6! 7!
1 2 6
= +
56 5! 7!
...
Sommando, si ha:
1
+
2!
1
+
3!
2
+
4!
1
+
4!
1
+
5!
4
+
5!
2
+
5!
2
+
5!
5
+
6!
1
+
7!
6
+
7!
Per effettuare la somma, si osservi che se sulla colonna relativa a k! si trova un numeratore
n ≥ k, occorre scrivere il numeratore n (mod k), mentre il quoziente intero si riporta alla colonna
precedente (analogamente a un'addizione eseguita manualmente).
1 6 7 1
+ = = ⇒ sulla colonna relativa a 7! si trova 0;
7! 7! 7! 6!
5 1
6 1
+ (riporto) = = ⇒ sulla colonna relativa a 6! si trova 0;
6! 6!
6! 5!
1 4 2 2 1 10 2
⇒ sulla colonna relativa a 5! si trova 0;
+ + + + = =
5! 5! 5! 5! 5! 5! 4!
2 1 2 5 1 1
+ + = = +
4! 4! 4! 4! 3! 4!
1 1 2
+ =
3! 3! 3!
1 1
=
2! 2!
______________________________________
Somma di questi primi termini:
1 2 1
+ + .
2! 3! 4!
1
, per cui la gestione dei
k (k + 1)
riporti diventa proibitiva ⇒ impossibile capire se è definitivamente ak = k − 1 oppure no.
Purtroppo, è difficile dare una formula per il generico termine
15
Analoga difficoltà per la serie
∞
π
1
1
1
1
1
1
;
=
+
+
+
+
+ = ∑
8 1 ⋅ 3 5 ⋅ 7 9 ⋅11 13 ⋅15 17 ⋅19
k =0 ( 4k + 1)(4k + 3)
1 2
=
3 3!
1 3 2 4
= + +
35 5! 6! 7!
1 1 1 1 7 2 4
6
= + + + + +
+
99 5! 6! 7! 8! 9! 10! 11!
1
3 4 6 6 9
2
6
6
= + + + +
+ +
+
195 6! 7! 8! 9! 10! 11! 12! 13!
2 1 1 3 6 3
8
6
6
; purtroppo, anche in questo
+ + + + +
+ +
+
3! 4! 6! 7! 8! 10! 11! 12! 13!
caso non si riesce a dare una formula generale, perciò non si può escludere che per ogni k > k* si
La somma parziale è
abbia ak = k − 1; ciò perché la serie converge lentamente. Invece, per la serie
1
1
=
1!⋅2! 2!
1
=
2!⋅3!
1
=
3!⋅4!
1
=
4!⋅5!
1
=
5!⋅6!
1
=
6!⋅7!
1
=
7!⋅8!
∞
1
, si trova
∑
k =1 k!( k + 1)!
2
4!
5
6!
1
7!
+
6
8!
4
9!
2
10!
1
+
10!
+
2
12!
+
4
13!
+
9
14!
1 2 5 1 6 4 3
2
4
9
; visto il rapido "spostamento a destra"
+ + + + + +
+
+
+
2! 4! 6! 7! 8! 9! 10! 12! 13! 14!
delle rappresentazioni fattoriali, potrebbe essere meno difficile dimostrare che non si può avere
definitivamente ak = k − 1.
Qui è sn =
16
APPROSSIMABILITÀ DEI NUMERI IRRAZIONALI
Punti reticolari: sono i
punti del piano cartesiano
aventi coordinate intere.
L'insieme dei numeri reali
positivi si può mettere in
corrispondenza
biunivoca
con l'insieme delle semirette
uscenti da O e giacenti
internamente
al
primo
quadrante.
y = αx
Dato il numero reale
positivo α, basta infatti
tracciare la semiretta s di
equazione y = αx.
Ora, sono possibili due casi:
•
•
h
(h, k primi tra loro); allora, s passa per gli infiniti punti
k
reticolari (k ; h), (2k ; 2h), (3k ; 3h), ecc.
α è IRRAZIONALE; in questo caso, s non passa per alcun punto reticolare.
α è RAZIONALE, diciamo α =
Ma si può osservare un'altra fondamentale differenza di comportamento tra i due casi.
4
; perciò il
7
primo punto reticolare su s è (7 ; 4).
Comunque si prenda un'ascissa
intera positiva n < 7, s interseca la
retta di equazione x = n in un punto
di ordinata nα non intera.
Sia ad esempio51 α =
Quindi ad ogni n = 1, 2, ..., 6
si può associare un numero intero
positivo m tale che m < nα < m + 1. Valutiamo più in dettaglio le differenze nel caso considerato:
17
•
•
•
•
•
•
per n = 1, la semiretta s interseca la retta x = 1 in un punto di ordinata compresa tra 0 e 1; si ha
4
quindi 0 < 1 ⋅ α = < 1 . L'errore minore si ha calcolando la differenza con 1, e tale errore vale
7
3
(in modulo) ;
7
8
1
8
per n = 2, si ha 1 < 2 ⋅ α = < 2 ; l'errore minore è − 1 = ;
7
7
7
12
2
12
per n = 3, si ha 1 < 3 ⋅ α = < 2 ; l'errore minore è
−2 = ;
7
7
7
16
2
16
per n = 4, si ha 2 < 4 ⋅ α =
< 3 ; l'errore minore è
−2 = ;
7
7
7
20
1
20
per n = 5, si ha 2 < 5 ⋅ α =
< 3 ; l'errore minore è
−3 = ;
7
7
7
24
24
3
per n = 6, si ha 3 < 6 ⋅ α =
< 4 ; l'errore minore è
−3 = .
7
7
7
A questo punto il ciclo si ripete. Infatti, se si prende il rettangolo avente vertici opposti (0 ; 0)
e (7 ; 4) e lo si trasla di 7 unità di misura a destra e di 4 in alto, esso si sovrappone al rettangolo di
vertici opposti (7 ; 4) e (14 ; 8), nel quale la semiretta s costituisce ancora la diagonale (lo stesso
vale naturalmente per ulteriori traslazioni):
(7 ; 4)
(14 ; 8)
(21 ; 12)
In conclusione, se α è razionale, l'insieme dei possibili valori positivi | m − nα | ammette un
1
minimo (nel nostro caso tale minimo è ). L'unico valore possibile al disotto di questo è 0.
7
Per α irrazionale la situazione è completamente diversa. La semiretta s non tocca nessun
punto reticolare, però SI AVVICINA INDEFINITAMENTE all'insieme di tali punti. Ad esempio,
5 −1
si consideri la semiretta s di coefficiente angolare α =
≅ 0,618 . Sebbene s non incontri alcun
2
punto reticolare, tuttavia essa passa "molto vicino" ad alcuni di essi, ad esempio (5 ; 3), (8 ; 5),
(13 ; 8) e (21 ; 13).
18
(8 ; 5)
(5 ; 3)
(13 ; 8)
(21 ; 13)
Si considerino ora le differenze tra m ed nα per tali coppie di numeri:
(5 ; 3) ⇒
| 3 − 5α |= 3 − 5
5 − 1 11 − 5 5
=
≅ 0,09017 ;
2
2
(8 ; 5) ⇒
| 5 − 8α |= 5 − 8
5 −1
= 9 − 4 5 ≅ 0,055728 ;
2
(13 ; 8) ⇒ | 8 − 13α |= 8 − 13 5 − 1 = 29 − 13 5 ≅ 0,0344418 ;
2
2
(21 ; 13) ⇒ | 13 − 21α |= 13 − 21 5 − 1 = 47 − 21 5 ≅ 0,0212862 .
2
2
In questo caso la differenza | m − nα | non può essere nulla, ma si può rendere piccola a
piacere: non esiste cioè un minimo (né un estremo inferiore positivo) per | m − nα |: andando avanti
incontriamo altri numeri razionali per i quali | m − nα | è sempre più piccolo; otteniamo così per il
numero α approssimazioni razionali sempre migliori:
3
= 0,6
5
8
= 0, 615384
13
err. ≅ 0,018034;
err. ≅ 0,002649373;
5
= 0,625
8
13
= 0, 619047
21
err. ≅ 0,006966011;
err. ≅ 0,00101363, ...
Se un numero razionale m / n dà una buona approssimazione di α, non è detto che si ottenga
un risultato migliore con un qualsiasi denominatore n' > n. Si osservino ad esempio le seguenti
approssimazioni razionali di π:
22
= 3,142857
7
333
≅ 3,14150943396
106
355
≅ 3,141592920354
113
errore ≅ 0,00126449;
errore ≅ 0,0000832196;
errore ≅ 0,000000266764.
Questo però non implica che con denominatore 114, 115, ... si abbiano approssimazioni
razionali più accurate.
19
Per ottenere un'approssimazione migliore occorre arrivare al denominatore 33102; si ha allora
103993
≅ 3,1415926530119026
33102
errore ≅ 0,0000000005778906.
Queste osservazioni sull'approssimabilità di un numero irrazionale forniscono un importante
criterio di irrazionalità.
CRITERIO DI IRRAZIONALITÀ. Sia α un numero reale positivo. Supponiamo che
esistano due successioni {uk} e {vk} di numeri naturali che verificano la seguente proprietà:
per ogni ε > 0 fissato esiste un k tale che 0 < | uk − α vk | < ε. Allora α è irrazionale.
In alternativa, si può supporre che sia α reale, e che le successioni {uk} e {vk} siano costituite
di numeri interi; in tal caso è indifferente scrivere | uk + α vk | al posto di | uk − α vk |.
ATTENZIONE! La principale difficoltà nell'applicazione di questo criterio consiste nel
trovare esplicitamente le due successioni suddette.
Tornando alle approssimazioni razionali viste prima, ci si può chiedere: come si fa a trovare
concretamente queste approssimazioni? Si possono ad esempio utilizzare le frazioni continue.
FRAZIONI CONTINUE
Un'espressione del tipo
a0 +
1
a1 +
1
a2 +
1
a3 + 
1
+
aN
viene detta frazione continua finita. Si usano di solito le notazioni più comode a0 +
1 1
1

a1 + a2 + aN
e [a0; a1, a2, ..., aN].
Nel seguito considereremo solo le cosiddette frazioni continue "semplici", con numeratori 1 e
con termini a0 ∈ Z e a1, a2, ... ∈ N.
Per calcolare il valore di una frazione continua si può cominciare dall'ultima frazione e poi
procedere a ritroso:
1
2+
5+
1
3+
1
= 2+
1
1
= 2+
5+
1
4
3+
1
5
5
1+
4
4
1
1
19 219
.
= 2+
= 2+
= 2+
=
5
100
100 100
5+
19
19
1
5+
1
= 2+
3+
1
1
5+
19
5
=
20
Si può ottenere il risultato in modo diverso, costruendo una sequenza finita di "convergenti",
cioè di frazioni intermedie che progressivamente si avvicinano al risultato finale. Questi
convergenti coincidono con i valori delle frazioni continue [a0], [a0; a1], [a0; a1, a2], ...
pn
è l'n-esimo convergente, le due successioni di interi {pn} e {qn} sono definite dalle
qn
seguenti formule:
Se
 p0 = a0

 p1 = a0 a1 + 1
p = a p + p
per n ≥ 2
n n −1
n−2
 n
q0 = 1

q1 = a1
q = a q + q
per n ≥ 2.
n n −1
n−2
 n
Ad esempio, per la frazione continua [2 ; 5 , 3 , 1 , 4] abbiamo a0 = 2, a1 = 5, a2 = 3, a3 = 1,
a4 = 4. Allora:
p0 = 2;
q0 = 1;
p1 = 2⋅5 + 1 = 11;
q1 = 5;
p2 = 3⋅11 + 2 = 35;
q2 = 3⋅5 + 1 = 16;
p3 = 1⋅35 + 11 = 46;
q3 = 1⋅16 + 5 = 21;
p4 = 4⋅46 + 35 = 219
q4 = 4⋅21 + 16 = 100,
per cui si hanno i convergenti:
11
= 2,2
5
2
35
= 2,1875
16
46
= 2,190476
21
Valgono per i convergenti di una frazione continua le seguenti proprietà:
•
•
•
•
I convergenti sono frazioni già ridotte ai minimi termini (cioè, pn e qn non possono avere
fattori comuni);
i convergenti di ordine pari costituiscono una successione strettamente crescente, che
approssima per difetto del numero x; analogamente, i convergenti di ordine pari costituiscono
una successione strettamente decrescente, che approssima per eccesso x (l'ultimo convergente
coincide con x);
p
p
presi due convergenti consecutivi n −1 e n , vale la relazione pn ⋅ qn−1 − pn−1 ⋅ qn−1 = (−1)n;
qn −1
qn
la differenza tra x e un suo convergente
1
pn
è in modulo minore di 2 (ad esempio,
qn
qn
46 219
1
1
).
−
=
<
21 100 2100 212
64
Come si scrive la frazione continua relativa ad un numero razionale r assegnato?
•
Si scrive r come frazione (ridotta ai minimi termini), quindi si separa la parte intera a0, per cui è
r = a0 + α1, dove 0 < α1 < 1;
•
si calcola 1 , che risulta un numero maggiore di 1;
•
 
1
si definisce a1 =  1  , da cui
= a1 + α 2 , dove 0 < α2 < 1;
α1
 α1 
α1
65
21
•
si itera il procedimento, fino a trovare un numero intero aN, cioè un caso in cui αN+1 = 0; la
frazione continua allora è [a0; a1, a2, ..., aN] (siccome però aN ≥ 2, si può indifferentemente
scrivere [a0; a1, a2, ..., aN − 1, 1].
Ad esempio, per la frazione 577/113, si ha successivamente
577
12
;
=5+
113
113
113
5
=9+ ;
12
12
12
2
= 2+ ;
5
5
5
1
= 2+ ;
2
2
2
= 2,
1
577
577
= [5 ; 9 , 2 , 2 , 2] , oppure
= [5 ; 9 , 2 , 2 , 1 , 1] (la rappresentazione è unica se si pone
113
113
la condizione che il termine finale non valga 1).
per cui
MA È MOLTO PIÙ INTERESSANTE APPLICARE QUESTA TEORIA AI NUMERI
IRRAZIONALI!
Sia infatti α un numero irrazionale. Possiamo ripetere lo stesso procedimento già visto, e
quindi determinare successivamente a0, a1, a2,...
2 = 1 + (3 2 − 1) ;
1
= 3 4 + 3 2 + 1 = 3 + (3 4 + 3 2 − 2) ;
3
2 −1
1
33 4 + 43 2 − 8
1
=
+
3
4 +3 2 −2
10
3
10
4−3 2
29 − 233 2
=
=
+
5
33 4 + 43 2 − 8 43 2 − 5
43 2 − 5
3
⇒
3
2 = [1 ; 3, 1, 5 , ...]
Se α è irrazionale, la frazione continua è sempre infinita (ma è difficile in generale trovarne
esplicitamente i termini, perché si ha un problema analogo a quello visto prima per la
rappresentazione fattoriale: dopo alcuni passaggi si osserva che per calcolare la parte intera del
reciproco occorre conoscere α con tutta la precisione necessaria).
Vediamo ad esempio cosa succede per il numero π:
π = 3 + (π − 3);
22 − 7 π
1
;
(≅ 7,0625133) = 7 +
π−3
π−3
π−3
106π − 333
(≅ 15,9965944) = 15 +
;
22 − 7 π
22 − 7 π
22 − 7 π
355 − 113π
(≅ 1,00341723) = 1 +
;
106π − 333
106π − 333
106π − 333
33102π − 103993
(≅ 292,634591) = 292 +
.
355 − 113π
355 − 113π
Si ha quindi la frazione continua [3; 7, 15, 1, 292, ...]; ma per proseguire è necessario
355 − 113π
calcolare la parte intera di
: poiché numeratore e denominatore sono molto
33102π − 103993
piccoli, occorre conoscere molte cifre esatte di π per ottenere un risultato attendibile.
22
Data una frazione continua (infinita) [a0; a1, a2, ... ], costruiamo le successioni dei convergenti
con le regole dette sopra, cioè:
 p0 = a0

 p1 = a0 a1 + 1
p = a p + p
n n −1
n − 2 per n ≥ 2
 n
q0 = 1

q1 = a1
q = a q + q
n n −1
n − 2 per n ≥ 2.
 n
Ad esempio, nel caso della frazione continua relativa a π abbiamo a0 = 3, a1 = 7, a2 = 15,
a3 = 1, a4 = 292. Allora:
p0 = 3;
p1 = 3⋅7 + 1 = 22;
p2 = 15⋅22 + 3 = 333;
p3 = 1⋅333 + 22 = 355;
p4 = 292⋅355 + 333 = 103993;
...
da cui la successione dei convergenti 3 ,
q0 = 1;
q1 = 7;
q2 = 15⋅7 + 1 = 106;
q3 = 1⋅106 + 7 = 113;
q4 = 292⋅113 + 106 = 33102;
...,
22 333 355 103993
,
,
,
, ...
7 106 113 33102
Si trovano così le approssimazioni "migliori" viste prima, cioè i punti reticolari più vicini alla
semiretta di coefficiente angolare α. Ogni frazione continua è convergente, e se definiamo il suo
pn
osserviamo che i convergenti danno alternativamente approssimazioni di x
n →∞ q
n
valore x come lim
per difetto e per eccesso. Inoltre, per ogni convergente vale la disuguaglianza x − pn < 12 ; perciò
qn
ad esempio la frazione
qn
103993
1
differisce da π meno di
≅ 9,126 ⋅10−10 .
2
33102
33102
In alcuni casi è facile determinare in modo esatto la frazione continua per un irrazionale α; ad
esempio:
1 + 3 = 2 + ( 3 − 1)
1
3 +1
3 −1
=
=1+
2
2
3 −1
2
2( 3 + 1)
=
= 3 + 1 = 2 + ( 3 − 1)
2
3 −1
⇒ a0 = 2;
⇒ a1 = 1;
⇒ a2 = 2.
A questo punto abbiamo ritrovato lo stesso "resto" del primo passaggio, perciò la sequenza
{2 , 1} si ripete indefinitamente. Abbiamo quindi la frazione continua periodica
1 + 3 = [2 ; 1 , 2 , 1 , 2 , 1 , 2 , ...] = [ 2 , 1 ] .
La sequenza dei termini può anche essere periodica solo da un certo indice in avanti. Ad
esempio:
23
17 − 37
17 − 37
(≅ 0,3899) = 0 +
28
28
28
17 + 37
37 − 1
=
(≅ 2,5648) = 2 +
17 − 37
9
9
9
37 + 1
37 − 3
=
(≅ 1,77069) = 1 +
37 − 1
4
4
4
37 + 3
37 − 4
=
(≅ 1,29754) = 1 +
37 − 3
7
7
7
37 + 4
37 − 5
=
(≅ 3,36092) = 3 +
37 − 4
3
3
3
37 + 5
37 − 3
=
(≅ 2,77069) = 2 +
37 − 5
4
4
⇒ a0 = 0;
⇒ a1 = 2;
⇒ a2 = 1;
⇒ a3 = 1;
⇒ a4 = 3;
⇒ a5 = 2 (stesso resto della 3ª riga);
A questo punto il ciclo {1 , 3 , 2} si ripete, per cui si ha per il numero α la frazione continua
[0 ; 2 , 1 , 1 , 3 , 2 ]
TEOREMA. I numeri reali che hanno rappresentazione in frazione continua periodica
(infinita) sono tutti e soli i numeri della forma a + b c (a, b, c razionali, b ≠ 0, c non quadrato
perfetto).
Viceversa, come si trova esplicitamente il valore di una frazione continua periodica?
Vediamo un caso in cui sia a0 = 0 e il periodo cominci già dal termine a1, ad esempio
1
x = [0 ; 2, 3, 2, 3, ...] =
.
1
2+
1
3+
2+
1
3+
1
Per la periodicità, si può scrivere x =
2+
1
3+ x
=
3+ x
, da cui l'equazione x(7 + 2x) = 3 + x,
7 + 2x
15 − 3
.
2
Vediamo invece un caso in cui la successione è periodica solo da un certo punto in avanti, ad
esempio x = [7 ; 1 , 1 , 2 , 2 ] ; posto y = [0; 1 , 2 , 2 ] , si ha (effettuando calcoli simili a quelli visti
1
5 + 2y
1
8+ 7y
85 − 5
=
=
sopra) y =
, da cui y =
. Essendo poi x = 7 +
, si trova
1
+
7
3
y
1
+
y
1
+
y
6
1+
1
2+
2+ y
85 − 5
8+7
561 − 85
6
x=
=
.
85 − 5
81
1+
6
cioè 2x2 + 6x − 3 = 0. L'unica radice positiva di questa equazione è x =
24
LA FUNZIONE ζ DI RIEMANN
Per s reale > 1 (oppure per s complesso con Re(s) > 1) si definisce la funzione ζ tramite la
∞
1
formula: ζ ( s ) = ∑ s .
n =1 n
Già Eulero si era interessato alle proprietà di questa funzione (un suo risultato di particolare
1
importanza è la formula nota come "prodotto di Eulero", cioè ζ ( s ) = ∏
, dove la serie è
−s
p 1− p
estesa ai valori primi di p); la funzione è universalmente nota come "zeta di Riemann" perché
Riemann ne dimostrò l'estendibilità a tutto il piano complesso con l'esclusione di s = 1 e ne studiò
varie proprietà (la celebre "ipotesi di Riemann" afferma che gli zeri "non banali" di ζ hanno tutti
parte reale 1/2).
Nel seguito consideriamo la funzione ζ solo per s reale.
Nel 1735 Eulero risolse il "problema di Basilea", dimostrando che ζ(2), cioè la serie dei
reciproci dei quadrati dei numeri naturali, è π2 / 6.
Il risultato si può estendere: per ogni n ∈ N, ζ(2n) è un multiplo razionale di π2n (perciò è
sempre irrazionale):
π4
ζ (4) =
≅ 1,08232323
90
(Si può dare una formula generale per
π6
ζ (6) =
≅ 1,017343
ζ(2n), nella quale si utilizzano i numeri di
945
Bernoulli).
π8
ζ (8) =
≅ 1,004077
9450
Molto meno invece si sa sui valori di ζ(n) per n naturale dispari (è improbabile che ζ(3) sia
multiplo razionale di π3). Non solo non ci sono formule esplicite, ma fino al 1978 neanche per un
solo valore dispari si sapeva se il corrispondente valore di ζ fosse razionale o irrazionale.
TEOREMA DI APÉRY. ζ(3) è un numero irrazionale.
La dimostrazione è molto complessa, ma essenzialmente l'idea consiste dapprima
nell'esprimere ζ(3) con una serie che converge più rapidamente, e poi nel costruire una successione
di approssimazioni razionali uk / vk in modo da applicare il criterio detto prima (se | uk − αvk | è
positivo e si può rendere minore di un qualunque ε, allora α è irrazionale).
Successivamente (1979) il matematico olandese F. Beukers ha fornito una diversa
dimostrazione, che ottiene lo stesso risultato definendo in modo meno complicato le successioni
approssimanti.
DIMOSTRAZIONE DI BEUKERS (linee essenziali)
Sia Cn il cubo unitario n-dimensionale, cioè Cn = [0 ,1]×[0 ,1]×× [0 ,1] , e sia dn il minimo

n volte
n
comune multiplo dei numeri 1, 2, ..., n (vale la limitazione dn < 3 , per n sufficientemente grande).
25
LEMMA. Siano r ed s numeri interi non negativi. Allora:
•
se r > s,
∫∫
C
− log xy r s
x y dxdy è un numero razionale il cui denominatore è sottomultiplo
1 − xy
∫∫
C
− log xy r r
1 1
1

x y dxdy = 2 ζ (3) − 3 − 3 −  − 3  ; in particolare, per r = s = 0 si
1 − xy
1 2
r 

2
di
•
d n3 ;
se r = s,
2
trova
∫∫
C
− log xy
dxdy = 2ζ (3) .
1 − xy
2
Ne segue che, per un qualsiasi polinomio Q(x , y) a coefficienti interi, in cui x ed y appaiono
− log xy
Q( x, y )dxdy è una combinazione lineare (a coefficienti interi) di
al massimo al grado n, ∫∫
C 1 − xy
2
ζ(3)
∫∫
C
2
e
di
numeri
razionali
i
cui
denominatori
sono
divisori
di
d n3
⇒
− log xy
A + Bζ (3)
Q( x, y )dxdy =
(A , B ∈ Z).
1 − xy
d n3
n
Dato n naturale, si definisca Pn ( x) = 1 d n ( x n (1 − x) n ) (nonostante la presenza di n! al
n! dx
denominatore, Pn è un polinomio di grado n a coefficienti interi).
Si consideri ora
1
∫0 f ( x) Pn ( x)dx ; se f è derivabile n volte con continuità in [0 , 1], integrando
per parti n volte si "scaricano" le derivate sulla f e si ha
Consideriamo ora
∫∫
C
1
∫0
f ( x) Pn ( x)dx =
(−1) n
n!
1
∫0 f
(n)
( x) x n (1 − x) n dx .
− log xy
P ( x) Pn ( y )dxdy ; per quanto osservato prima, questo si può
1 − xy n
2
− log xy 1
dz
=∫
,
0 1 − (1 − xy ) z
1 − xy
− log xy
P ( x) Pn ( y )
Pn ( x) Pn ( y )dxdy si scrive come ∫∫∫ n
dxdydz .
∫∫
1 − (1 − xy ) z
1 − xy
C
C
scrivere
A + Bζ (3)
d n3
(A, B ∈ Z).
Essendo
2
poi
vediamo
che
3
Con alcune trasformazioni (ed utilizzando anche quanto detto prima sull'integrazione per parti
x n (1 − x) n y n (1 − y ) n w n (1 − w) n
dxdydw .
n volte), questo integrale diventa a sua volta ∫∫∫
n +1
(
1
(
1
)
)
−
−
xy
w
C3
Ora
scriviamo
la
funzione
integranda
nella
forma
(Φ( x, y, w) )n ,
dove
1 − (1 − xy ) w
x(1 − x) y (1 − y ) w(1 − w)
dxdydw
Φ ( x, y, w) =
= 2ζ (3)
; si ha allora Φ(x , y , w) < ( 2 − 1) 4 e ∫∫∫
1 − (1 − xy ) w
C 1 − (1 − xy ) w
3
⇒
<
∫∫∫
C
3
2( 2 − 1) ζ (3) .
4n
26
Si ha allora 0 < A + Bζ (3) < 2ζ (3)( 2 − 1) 4 n d n3 , che per ogni n abbastanza grande è minore di
( )
(
3
)
n
2ζ (3)( 2 − 1) 4 n ⋅ 3n = 2ζ (3) 27( 2 − 1) 4 .
Ma
27( 2 − 1) 4
è
circa
0,7948 <
4/5
⇒
n
0 < A + Bζ (3) < 2ζ (3) 4  . Per n abbastanza grande questo diventa piccolo a piacere, e da ciò
5
segue l'irrazionalità di ζ(3). 
ALCUNI PROBLEMI IRRISOLTI
•
•
Come si comporta ζ(n) per i successivi interi dispari? È stato dimostrato che esistono
infiniti valori irrazionali di ζ(2n + 1) (Rivoal, 2000); il miglior risultato oggi noto è: UNO
ALMENO tra i numeri ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) è irrazionale (Zudilin, 2001).
1
 1 1

Sia γ = lim 1 + + +  + − log n  (costante di Eulero-Mascheroni, di valore
n → ∞
2 3
n

approssimato 0,5772156649); non si sa se è irrazionale (ma si sospetta che lo sia).
27
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI
G.H. Hardy - E.M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford Science
Publications, V edizione, 1978.
I. Niven, Irrational Numbers, The Carus Mathematical Monographs, n. 11, The Mathematical
Association of America, 1956.
R. Apéry, Irrationalitè de ζ 2 et ζ 3, Societè Mathématique de France Asterisque 61 (1979),
pag. 11-13.
F. Beukers, A note on the irrationality of ζ(2) and ζ(3), Bull. London Math. Soc. 11 (1979),
pag. 268-272.
M. Du Sautoy, L'enigma dei numeri primi, Saggi BUR, X edizione, 2009.