Valori attesi di variabili aleatorie

Valori attesi di variabili aleatorie
• Valore atteso o speranza matematica o valor medio di una
variabile aleatoria discreta X con funzione di probabilità pX
e insieme di definizione RX
X
E (X ) =
t pX (t)
t∈RX
• Valore atteso o speranza matematica o valor medio di una
variabile aleatoria continua X con funzione di densità fX
E (X ) =
Z
R
t fX (t) dt
• Notazione unica nel caso di variabili aleatorie discrete e continue:
E (X ) =
Z
R
t dFX (t)
Espressione riferita alla teoria dell’integrazione di LebesgueStieltjes che prende la forma rispettivamente di somma o di
integrale nel caso di variabili aleatorie discrete o dotate di
densità.
Valori attesi di funzioni di variabili aleatorie
• Valore atteso della funzione Y = g (X ) della variabile aleatoria
discreta X
X
E (Y ) =
g (t) pX (t)
t∈RX
• Valore atteso della funzione Y = g (X ) della variabile aleatoria
continua X
E (Y ) =
Z
R
g (t) fX (t) dt
• Valore atteso della funzione reale Y = g (X ) di un vettore
aleatorio k-dimensionale discreto X con funzione di probabilità pX1···Xk
X
E (Y ) =
g (t) pX1···Xk (t)
t∈RX ⊂Rk
• Valore atteso della funzione reale Y = g (X ) di un vettore
aleatorio k-dimensionale dotato di densità fX1···Xk
E (Y ) =
Z
Rk
g (t) fX1···Xk (t) dt1 · · · dtk
Proprietà dei valori attesi
• Il valore atteso di una costante è uguale alla costante stessa
E (c ) = c
• Il valore atteso della funzione di una variabile aleatoria moltiplicata per una costante è uguale alla costante per il valore
atteso della funzione della variabile aleatoria
E [c h (X )] = c E [h (X )]
• Il valore atteso di una combinazione lineare di più funzioni di
una variabile aleatoria X è uguale alla stessa combinazione
lineare dei valori attesi delle stesse funzioni della variabile
aleatoria

E
n
X
i=1

c i h i (X ) =
n
X
ciE [hi (X )]
i=1
• Il valore atteso del prodotto di due variabili aleatorie è uguale
al prodotto dei valori attesi delle variabili se queste sono
indipendenti
E (X1X2) = E (X1) E (X2)
• Disuguaglianza di Schwarz-Hölder: Dati due numeri positivi
a e b tali che a−1 + b−1 = 1 e due variabili aleatorie X1 e X2
si ha
E (|X1X2|) ≤ [E (|X1|
a
1
)] a
h
E |X2|
b
• Disuguaglianza di Schwarz (caso particolare)
[E (|X1X2|)]
2
2
2
≤ E X1 E X2
i 1
b