Valori attesi di variabili aleatorie • Valore atteso o speranza matematica o valor medio di una variabile aleatoria discreta X con funzione di probabilità pX e insieme di definizione RX X E (X ) = t pX (t) t∈RX • Valore atteso o speranza matematica o valor medio di una variabile aleatoria continua X con funzione di densità fX E (X ) = Z R t fX (t) dt • Notazione unica nel caso di variabili aleatorie discrete e continue: E (X ) = Z R t dFX (t) Espressione riferita alla teoria dell’integrazione di LebesgueStieltjes che prende la forma rispettivamente di somma o di integrale nel caso di variabili aleatorie discrete o dotate di densità. Valori attesi di funzioni di variabili aleatorie • Valore atteso della funzione Y = g (X ) della variabile aleatoria discreta X X E (Y ) = g (t) pX (t) t∈RX • Valore atteso della funzione Y = g (X ) della variabile aleatoria continua X E (Y ) = Z R g (t) fX (t) dt • Valore atteso della funzione reale Y = g (X ) di un vettore aleatorio k-dimensionale discreto X con funzione di probabilità pX1···Xk X E (Y ) = g (t) pX1···Xk (t) t∈RX ⊂Rk • Valore atteso della funzione reale Y = g (X ) di un vettore aleatorio k-dimensionale dotato di densità fX1···Xk E (Y ) = Z Rk g (t) fX1···Xk (t) dt1 · · · dtk Proprietà dei valori attesi • Il valore atteso di una costante è uguale alla costante stessa E (c ) = c • Il valore atteso della funzione di una variabile aleatoria moltiplicata per una costante è uguale alla costante per il valore atteso della funzione della variabile aleatoria E [c h (X )] = c E [h (X )] • Il valore atteso di una combinazione lineare di più funzioni di una variabile aleatoria X è uguale alla stessa combinazione lineare dei valori attesi delle stesse funzioni della variabile aleatoria E n X i=1 c i h i (X ) = n X ciE [hi (X )] i=1 • Il valore atteso del prodotto di due variabili aleatorie è uguale al prodotto dei valori attesi delle variabili se queste sono indipendenti E (X1X2) = E (X1) E (X2) • Disuguaglianza di Schwarz-Hölder: Dati due numeri positivi a e b tali che a−1 + b−1 = 1 e due variabili aleatorie X1 e X2 si ha E (|X1X2|) ≤ [E (|X1| a 1 )] a h E |X2| b • Disuguaglianza di Schwarz (caso particolare) [E (|X1X2|)] 2 2 2 ≤ E X1 E X2 i 1 b