Statistica Descrittiva
• Introducendo il concetto di probabilità parlando di fenomeni
aleatori, si fa riferimento ad eventi dello spazio campionario.
Nella descrizione del mondo reale però spesso è più semplice
descrivere il fenomeno facendo riferimento a particolari
caratteristiche che gli eventi tipici del fenomeno aleatorio
stesso possiedono: queste caratteristiche sono dette caratteri e
possono essere di tipo qualitativo oppure di tipo quantitativo. I
caratteri qualitativi assumono diverse modalità che descrivono
la “qualità” considerata mentre i caratteri quantitativi sono
descritti tramite un numero.
• La necessità di descrizione dei fenomeni tramite caratteri che
possano facilmente essere quantificati porta al concetti di
variabile aleatoria.
Variabili aleatorie
• Definire una variabile aleatoria significa trovare una regola
in base alla quale sia possibile associare un numero reale
(misura) ad ogni risultato di un esperimento aleatorio e
quindi ad ogni elemento dello spazio campionario.
• Definizione: Si consideri una esperienza stocastica definita
su uno spazio campionario Ω. Una variabile aleatoria reale
X associata a questa esperienza è una funzione di valori
reali definita su Ω. L'insieme dei valori assunti da X, cioè
il suo codominio, è denotato con X(Ω). Si parla di
variabile aleatoria discreta se Ω è finito o numerabile
mentre si parla di variabile aleatoria continua se X(Ω) è
tutto l’asse reale.
• Per convenzione le variabili aleatorie (v.a.) sono
denotate da lettere maiuscole mentre i valori che
esse possono assumere, cioè le loro possibili
realizzazioni, sono indicate con lettere minuscole.
• Dato uno spazio campionario
Ω={ω1,ω2,ω3,…ωn,…}, la v.a. X, il cui dominio è
Ω, è una funzione che associa ad ogni ωi un
numero reale: X(ωi) = xk con xk∈ ℜ
• Poiché ad ogni ωi può essere associata una
probabilità, la funzione X trasferisce la probabilità
stessa da Ω ad ℜ
• Si dice spettro il codominio di X , cioè tutte le
possibili realizzazioni della v.a. ed è indicato con
X(Ω)={x1,x2,x3,…,xn,..}.
Rappresentazione di una variabile aleatoria X
1
Ω
E
X(E)
P[X(E)]
0
ℜ
• Si dice distribuzione di probabilità o legge
probabilistica della variabile aleatoria X la
funzione che fa corrispondere a ciascuna
realizzazione xk ∈ X(Ω) la probabilità P(X= xk ),
solitamente denotata anche con pk , con k=1, 2, …,
n,…, e tale che
∞
∑p
k =1
k
=1
• Spesso costruire un modello probabilistico equivale
a fornire la distribuzione di probabilità della
variabile aleatoria che descrive il fenomeno.
• Per caratterizzare la distribuzione di probabilità è
possibile in alternativa fornire degli indicatori.
Variabili aleatorie discrete
• Si parla di variabili aleatorie discrete quando lo
spazio campionario Ω è finito o comunque quando
si considera solo un numero finito di realizzazioni
della v.a. cioè quando il suo spettro è un insieme
numerabile.
• In questo caso anche la distribuzione di probabilità
associata ad X risulta discreta e può essere
rappresentata tramite diagrammi a barre o
istogrammi.
• Nei diagrammi a barre, in corrispondenza di ogni
valore dello spettro si ha una barra di lunghezza
proporzionale alla probabilità della realizzazione
considerata.
• Negli istogrammi, in corrispondenza di ciascun
valore dello spettro si ha un rettangolo la cui base
è centrata sulla realizzazione considerata e la cui
area è proporzionale alla probabilità della
realizzazione considerata.
Diagramma a barre ed istogramma
Diagramma a barre
Istogramma
P(X)
P(X)
x1 x2
xk
X
x1 x2
xk
X
Per determinare la distribuzione di probabilità di una
variabile aleatoria discreta si può utilizzare:
• la definizione frequentista di probabilità cioè
contare il numero di volte (frequenza) in cui X
assume il valore xk su un insieme di prove. In
questo caso si ottiene la cosiddetta distribuzione
empirica o sperimentale o a posteriori della v.a. X
sotto studio.
• La definizione classica di probabilità, nel caso sia
possibile per il fenomeno aleatorio considerato. In
questo caso si ottiene la distribuzione di probabilità
a priori per la variabile aleatoria X sotto studio.
Indicatori
• È possibile caratterizzare la distribuzione di
probabilità di una v.a. anche tramite indicatori che
ne riassumano le caratteristiche.
• Gli indicatori più utilizzati sono il valore atteso o
speranza matematica o valor medio, la varianza, la
deviazione standard e i momenti di ordine k.
• Descriveremo nei dettagli le caratteristiche di
questi indicatori.
• Valore atteso o speranza matematica
Si definisce valore atteso o speranza matematica
di una v.a. discreta X con realizzazioni xk con
k=1,2,…,n a cui è rispettivamente associata una
probabilità pk come
n
E ( X ) = μ = ∑ xk pk
k =1
Esso è un indicatore di posizione che fornisce
l'ordine di grandezza dei valori assunti dalla
variabile aleatoria X. È anche detta momento del
primo ordine.
Proprietà del valore atteso
• Se xk = a (a costante ∋ a ≠ 0) per ogni k = 1,…,n
allora E(X) = a. Infatti
n
n
k =1
k =1
E ( X ) = ∑ a ⋅ pk = a ∑ pk = a ⋅ 1 = a
• Se a e b sono due costanti con a ≠ 0 si ha
E(aX+b) = a E(X) + b
Infatti
n
n
n
k =1
k =1
k =1
E ( aX + b) = ∑ ( axk + b) pk = a ∑ xk pk + b∑ pk = aE ( X ) + b
• Se si considera la funzione u(X) della variabile
aleatoria X, si ha
n
E[u( X )] = ∑ u( xk ) pk
k =1
• In particolare si avrà perciò
n
E ( X ) = ∑ x pk
2
k =1
2
k
• Varianza
Si definisce varianza di una v.a. discreta X con
realizzazioni xk con k=1,2,…,n a cui è rispettivamente
associata una probabilità pk come
n
Var ( X ) = σ 2 = ∑ ( xk − μ ) 2 pk = E [( X − E ( X )) 2 ]
k =1
Esso è un indicatore di dispersione cioè misura quanto le
differenti realizzazioni xk sono lontane dal valore atteso
della v.a. E(X). Utilizza gli scarti dal valore atteso al
quadrato. Non è possibile utilizzare gli scarti dal valore
atteso in quanto il valore atteso di questi scarti è nullo. È
anche detta momento del secondo ordine.
Proprietà della varianza
• Per come è definita si ha che
Var(X) ≥ 0
• Inoltre, in base alle proprietà del valore atteso, si
può dimostrare che
Var(X) = E(X2) − E2(X)
Var(aX+b) = a2 Var(X)
con a e b costanti, a>0
• A partire dalla varianza si definisce l'indicatore
che fornisce l'ordine di grandezza degli scarti delle
realizzazioni della v.a. dal suo valore atteso. Esso
è detto scarto quadratico medio o deviazione
standard. È denotato con σ ed è dato da
σ = σ 2 = Var ( X )
Ulteriori proprietà:
• Si definisce variabile aleatoria centrata la v.a. X−E(X). Il
suo valore atteso risulta nullo e la sua distribuzione di
probabilità è la stessa della v.a. X a parte una traslazione
degli assi.
• Si definisce variabile aleatoria centrata ridotta la v.a.
X* = aX + b
tale che E(X*) = 0 e Var(X*) = 1. Si deve quindi avere
a=1/σ e b = − μ/σ, indicando con μ il valore atteso E(X) e
con σ la deviazione standard. Si avrà perciò
X* = (X − μ) / σ
• I momenti di ordine k per una v.a. centrata sono dati da
E(Xk) = E [(x − μ)k]
