Seconda scheda geometria

LICEO SCIENTIFICO STATALE “MARIE CURIE” Savignano s. R. (FC)
CLASSE 2B – SCHEDA DI PREPARAZIONE CIRCONFERENZA E PROBLEMI
NB: questa scheda è molto più lunga del compito in classe e credo che per essere svolta interamente
richieda circa tre ore. Nel compito ci saranno 3 teoremi, tre problemi e l'esercizio su Euclide e per
prendere la sufficienza (indicativamente) si dovranno fare bene 3 esercizi qualsiasi
TEOREMI
Teorema 1 (facile): Date due circonferenze concentriche dimostrare che due qualsiasi corde della
circonferenza maggiore tangenti alla circonferenza minore sono tra loro congruenti (NB: le corde non
sono parallele e le circonferenze non hanno raggi uno doppio dell’altro).
Teorema 2 (medio – facile): Sia ABC un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza; sull’arco
AC si prenda un punto P qualsiasi e si prolunghi PC e AB fino a che si vengono ad incontrare in D.
Dimostrare che i tre angoli APB, CPB e DPA sono congruenti.
Teorema 3 (medio): Sia ABC un triangolo rettangolo in A e siano M il punto medio del cateto AB, N il
punto medio del cateto AC, H il piede dell’altezza relativa all’ipotenusa BC. Dimostra che il
quadrilatero AMHN è inscrittibile e circoscrittibile.
Teorema 4 (difficile): Sia AB una corda di una circonferenza e P un punto interno ad AB tale che
AP  2 PB . Sia DE la corda passante per P e perpendicolare ad AB. Dimostrare che il punto medio Q di
AP è l’ortocentro di ADE.
PROBLEMI
Problema 1 (solito…): Una semicirconferenza ha diametro AB  2r . Determina sulla
semicirconferenza AB un punto C tale che, detta H la sua proiezione sul diametro AB, si abbia
2
2
2
4 HB  CH   AC  4r 2


Interpretare geometricamente le soluzioni ottenute.
Problema 2: (medio – facile): In un trapezio isoscele di base maggiore AB, l’angolo in B è di 60° e i
lati obliqui sono perpendicolari alle diagonali. Sapendo che l’area del trapezio vale 150 3cm 2
determinare il perimetro del trapezio.
Problema 3: E’ dato il triangolo isoscele ABC; da un punto D sul lato AC si traccia la parallela DE alla
base AB; Si sa che il punto D divide il lato AC in due segmenti CD e DA che stanno nella proporzione
CD: DA = 5: 7. Si sa inoltre che DE misura 30 mm.
a) Dopo aver spiegato perché i triangoli DCE e CAB sono
simili, trovare la lunhezza della base AB;
b) Sapendo inoltre che il perimetro di ABC misura 192mm
trovare perimetro e area del trapezio ABED (è
consigliabile tracciare l’altezza del triangolo ABC);
c) Infine si tracci da E la parallela al lato CA, che incontra in
F la base AB; mostrare che il rapporto tra i perimetri dei
triangoli EFB e ABC è uguale al rapporto di similitudine
tra i due triangoli.
Problema 4: dato un triangolo ABC, rettangolo in A e di cateti
AC=60cm AB=80cm determinare la posizione di un punto P su AB
in modo tale che, condotte da P la parallela all’ipotenusa PQ e la
perpendicolare PH, il rettangolo PHKQ abbia area 900 cm2 (K è la
perpendicolare da Q all’ipotenusa). Interpretare geometricamente le
soluzioni ottenute.
Problema 5 (medio - difficile): Dato il triangolo equilatero ABC di lato a, determinare sul lato AB
un punto P in modo che, dette H e K le proiezioni ortogonali di P rispettivamente su CB e AC (cioè
le perpendicolari condotte da P ai lati obliqui), il triangolo PHK risulti equivalente alla sesta parte
del triangolo dato. Interpretare geometricamente le soluzioni ottenute.
Teoremi di Euclide: Utilizzando i teoremi di Euclide e Pitagora, trovare di volta in volta tutte le
lunghezze dei segmenti del triangolo ABC (rettangolo in C) in figura:
AH = 3
AH =
AH = 5
CH =
CH =
CH =
HB = 9
HB = 16
HB =
AC =
AC = 15
AC = 10
BC =
BC =
BC =
AB =
AB =
AB =